Натурные и модельные исследования динамических явлении в строительных конструкциях энергетических и гражданских объектов

Библиотека научных разработок и проектов МГСУ

Г. Э. Шаблинский, Д. А. Зубков

НАТУРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ 
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ 
ЯВЛЕНИЙ В СТРОИТЕЛЬНЫХ 
КОНСТРУКЦИЯХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ 
И ГРАЖДАНСКИХ ОБЪЕКТОВ

 москва 2017

М И Н И С Т Е Р С Т В О  О Б РА З О В А Н И Я  И  Н А У К И 
Р О С С И Й С К О Й  Ф Е Д Е РА Ц И И

Ф Г Б О У  В П О  « М О С К О В С К И Й  Г О С УД А Р С Т В Е Н Н Ы Й 
С Т Р О И Т Е Л Ь Н Ы Й  У Н И В Е Р С И Т Е Т »

2-е издание (электронное)

УДК 624.042.8 
ББК 38.112

Ш 13

СЕРИЯ ОСНОВАНА В 2008 ГОДУ

Рецензенты: 
доктор технических наук Б.  М. Бахтин , 
профессор Московского государственного университета природообустройства;
доктор технических наук, профессор А.  Е. Саргсян , 
директор АИО НТЦ «РГОТУПС», 
начальник научно-исследовательского отдела динамики 
и сейсмостойкости атомных станций ОАО «Атомэнергопроект»

Монография рекомендована к публикации
научно-техническим советом МГСУ

Шаблинский, Георгий Эдуардович. 

Ш 13         Натурные и модельные исследования динамических явлений  
в строительных конструкциях энергетических и гражданских объектов [Электронный  ресурс] : монография / Г. Э. Шаблинский , 
Д. А. Зубков ; Мин-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. 
гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. 
(1 фай л pdf : 485 с.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — 
(Библиотека научных разработок и проектов МГСУ). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

ISBN 978-5-7264-1698-4

Охватывает широкий круг вопросов динамики строительных конструкций различного типа сооружений, решенных на основе экспериментальных исследований  .

Для проектировщиков, инженеров, научных работников, исследователей, аспирантов.

УДК 624.042.8 
ББК 38.112

ISBN 978-5-7264-1698-4 

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: 
Натурные и модельные исследования динамических явлений  в строительных конструкциях энергетических и гражданских объектов : монография / Г. Э. Шаблинский , Д. А. Зубков ; Мин-во образования и науки 
Рос. Федерации , Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство МИСИ—
МГСУ, 2012. — 484 с. — ISBN 978-5-7264-0623-7.

©  Национальный  исследовательский

Московский  государственный  
строительный  университет, 2012

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать 
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ . . . 7
1.1. Методика модельных исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Условия подобия при проведении модельныхисследований  . . . . . . . . 8
1.1.2. Вибростенд для модельных исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Виброизмерительная аппаратура для модельных исследований. . . . 15
1.2. Методика натурных исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Проблема возбуждения колебаний в натурных конструкциях. . . . . . 16
1.2.2. Принципиальная схема работы вибраторов направленного
            действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Конструкция привода вибромашины  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4. Особенности конструкции вибромашины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Виброизмерительная аппаратура для полигонных
        и натурных исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.3.1. Измерительная техника для проведения экспериментов  . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Программно-аппаратный комплекс автоматизации 
            измерений АСTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3. Метрологическое обеспечение экспериментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Натурные исследования на полигоне МГСУ в г. Мытищи . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Организация испытательного полигона и методы 
           проведения эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.2. Результаты исследования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫСОКИХ БЕТОННЫХ ПЛОТИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2.1. Исследования сейсмостойкости плотины 
        массивно-контрфорсного типа на крупномасштабной модели 
        в полигонных условиях  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2.1.1. Выбор площадки для создания полигона  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2. Изучение геологической структуры и планировка 
            площадки-полигона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.3. Исследование динамических характеристик площадки 
            для сооружения модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
 2.1.4. Проектирование и изготовление фрагмента модели плотины . . . . . 62
2.1.5. Измерительная техника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
2.1.6. Методика исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.7. Результаты исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2. Натурные динамические исследования 
         массивно-контрфорсной плотины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.1. Общий подход к проблеме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.2. Использование ударных волн специальных взрывов. . . . . . . . . . . . .104

Оглавление

2.2.3. Использование специального мощного вибратора 
            (вибромашины)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
2.2.4. Использование записей слабых землетрясений  . . . . . . . . . . . . . . . . .148
2.3. Натурные исследования динамических характеристик плотины 
         Саяно-Шушенской ГЭС   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
2.3.1. Краткое описание конструкции плотины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
2.3.2. Методика проведения экспериментов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
2.3.3. Результаты экспериментальных исследований. . . . . . . . . . . . . . . . . .169

3.  ДИНАМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 
АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
3.1. Модельные исследования реакторного отделения АЭС с ВВЭР-1000. . . . .183
3.1.1. Конструкция здания, модель, методика экспериментов  . . . . . . . . . .183
3.1.2. Результаты исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2. Натурные исследования реакторного отделения с ВВЭР–1000. . . . . . . . . .193
3.2.1. Объект исследования. Общая характеристика. 
            Состояние строительных конструкций в период исследования  . . .195
3.2.2. Эксперименты с использованием вибромашины. . . . . . . . . . . . . . . .198
3.2.3.  Эксперименты с использованием импульсной (ударной) 
             нагрузки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
3.2.4. Эксперименты с использованием сейсмического эффекта 
            специальных взрывов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
3.2.5. Результаты исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
3.3. Натурные исследования строительных конструкций 
        Калининской атомной электростанции (КАЭС)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
3.3.1. Особенности конструкции реакторного отделения  . . . . . . . . . . . . . .222
3.3.2. Особенности конструкции машзала  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
3.3.3. Результаты исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
3.4. Динамические исследования 4-го энергоблока и спецкорпуса 
         Нововоронежской АЭС (НВАЭC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
3.4.1. Краткое описание конструкции главного корпуса и спецкорпуса. .256
3.4.2. Методика проведения исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
3.4.3. Результаты измерений колебаний главного корпуса 
            и спецкорпуса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
3.4.4. Расчет динамических характеристик главного корпуса 
            по схеме плоской рамы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326
3.4.5. Расчет динамических характеристик главного корпуса 
            НВАЭС как пространственной системы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332
3.5. Динамические исследования строительных конструкций 
        реакторного отделения атомной станции теплоснабжения (АСТ)  . . . . . .340
3.5.1. Описание конструктивной схемы АСТ и моделей. . . . . . . . . . . . . . . .340
3.5.2. Порядок проведения экспериментов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344
3.5.3. Результаты исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344 

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ  .354
4.1. Комплексные динамические исследования 16-этажного жилого дома. . .354
4.1.1. Описание объекта и задача исследования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354
4.1.2. Монтаж вибромашины на объекте испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . .355

4.1.3. Размещение приборов на здании в процессе проведения 
             экспериментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358
4.1.4. Результаты измерений фоновых колебаний здания . . . . . . . . . . . . . .360
4.1.5. Результаты измерений поперечных колебаний здания, 
            создаваемых вибромашиной  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361
4.1.6. Анализ полученных экспериментальных результатов
            динамических испытаний здания с позиций экстраполяции их 
            на максимальную расчетную сейсмическую нагрузку 9 баллов  . . .373
4.2. Изучение эффективности виброизоляторов фирмы 
        «Вибросейсмозащита» на примере жилых многоэтажных зданий, 
        возведенных вблизи тоннелей метро мелкого заложения. . . . . . . . . . . . . .378
4.2.1. Результаты измерений колебаний в точках на грунте  . . . . . . . . . . . .380
4.2.2. Результаты измерений вибраций в т. 2 (на грунте) и 
            3 (в подвале 18-этажного здания с виброизоляцией)  . . . . . . . . . . . .385
4.2.3. Результаты измерений вибраций в т. 3 (в подвале) и 
            4 (над т. 3 на отметке пола 3-го этажа) 18-этажного здания 
            с виброизоляцией. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
4.2.4. Результаты измерений вибраций на 18-м этаже 18-этажного 
            здания с виброизоляцией  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
4.2.5. Измерения вибраций на 2-м этаже 22-этажного здания 
            с виброизоляцией. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403
4.2.6. Измерение вибраций в 18-этажном здании без виброизоляции  . . .407
4.3. Динамический мониторинг 8-этажного каркасного здания. . . . . . . . . . . .414
4.3.1. Особенности конструкции здания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414
4.3.2. Результаты измерений колебаний здания до проходки туннеля  . . .417
4.3.3. Результаты измерения колебаний здания  после проходки 
            туннеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426
4.4. Натурные динамические исследования купола здания гипермаркета, 
        возведенного в г. Волжском для установления соответствия его 
        расчетным показателям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431
4.4.1. Краткое описание несущих конструкций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432
4.4.2. Содержание экспериментов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432
4.4.3. Организация и проведение экспериментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
4.4.4. Результаты проведенного эксперимента  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436
4.4.5. Анализ результатов экспериментов и расчетов. . . . . . . . . . . . . . . . . .458
4.5. Определение динамических характеристик высотных зданий  . . . . . . . . .461
4.5.1. Измерения динамических характеристик «сталинской» высотки 
           по адресу: Садово-Кудринская площадь, дом 1  . . . . . . . . . . . . . . . . . .462
4.5.2. Измерения динамических характеристик административного 
            здания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467
4.5.3. Определение частот собственных колебаний 40-этажного 
            здания (жилой комплекс «Северный парк» по адресу: Москва, 
           Ленинградское шоссе, 25)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471
4.5.4. Определение частот собственных колебаний 40-этажного 
            здания на ул. Маршала Жукова в Москве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475

Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .480

Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482

Введение

Настоящая монография посвящена натурным и модельным экспериментальным динамическим исследованиям строительных конструкций гидротехнических сооружений, атомных электростанций, 
жилых и общественных зданий, проведенным примерно с конца 
1960-х гг. по 2011 г. В монографию включены только наиболее интересныерезультаты, полученные в этот период. Целью исследований 
было изучение динамических явлений в строительных конструкциях, 
связанных с техногенными вибрациями различного происхождения, 
оценкой сейсмостойкости и вибрационной прочности конструкций, 
оценкой влияния специальных мероприятий по виброизоляции, а 
также изучение изменений динамических характеристик зданий, 
обусловленных их конструктивными изменениями. Мы полагаем, что 
динамические характеристики строительных конструкций (частоты и формы собственных колебаний, логарифмические декременты 
колебаний) сами по себе представляют тонкий инструмент анализа 
их состояния. При этом, как показала наша практика, современные 
методы динамических расчетов сложных инженерных конструкций, 
при всех их огромных возможностях, часто дают результаты весьма 
далекие от реальных. И это связано не с недостатками численных 
методов, а с неопределенностью некоторых параметров расчетных 
моделей. В расчетную модель, как правило, закладываются только 
проектные характеристики. Это касается свойств материалов несущих конструкций, характера связей между элементами конструкций, 
физико-механических свойств грунтового основания. Для самонесущих элементов в виде различного рода перегородок, навесных панелей 
и некоторых других элементов конструкций, в лучшем случае, в расчетах учитывается их масса. В действительности, как показали наши 
исследования, реальные свойства конструкций могут существенно 
отличаться от проектных, и при динамических расчетах необходимо учитывать также жесткость ненесущих конструкций. По нашему 
мнению, дальнейший прогресс в динамических расчетах строительных конструкций связан с накоплением данных экспериментальных натурных исследований. Монография адресована инженерампроектировщикам, научным работникам и студентам старших курсов 
строительных специальностей различного направления.

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Экспериментальные исследования динамических явлений в строительных конструкциях зданий и сооружений, представленные в данной работе, осуществлялись двумя способами: 1) модельные динамические исследования; 2) натурные динамические исследования.
В первом случае исследования проводились в лабораторных условиях или на специальном полигоне, на моделях конструкций, геометрически подобных натуре. Динамические нагрузки на конструкции 
в этих случаях создавались либо с помощью специального вибростенда, либо на специальном полигоне с помощью короткозамедленных 
камуфлетных взрывов. Регистрация динамических явлений в моделях 
производилась виброизмерительным комплексом для модельных исследований. Для пересчета результатов исследований на натуру использовались формулы, полученные на основе анализа размерностей.
Во втором случае исследования проводились на реальных натурных конструкциях. При этом использовались различные источники 
возбуждения колебаний, включая мощнуювибромашину и специальные взрывы. 
Ниже мы подробнее остановимся на методике модельных и натурных динамических исследований.

1.1. Методика модельных исследований

Для проведения модельных динамических исследований в лабораторных условиях необходимо решить следующие вопросы: 
–  выполнить определенные условия подобия, позволяющие однозначно пересчитывать полученные результаты на натурные конструкции;
–  определить масштаб модели и материал для ее изготовления, что 
связано с конструкцией и характеристиками вибростенда, переходными устройствами для закрепления модели, специальными вибраторами для создания динамических нагрузок и др. Особого внимания 

требуют вопросы регистрации, обработки и анализа динамических 
параметров с учетом качественных изменений произошедших в последние годы в измерительной технике.

1.1.1. Условия подобия при проведении модельных
исследований

Физическое моделирование основано на известном понятии о подобии явлений: два явления называются подобными, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого умножением на постоянные коэффициенты (масштабы, множители 
подобия).
Среди трудов, посвященных этой проблеме, можно выделить работы 
Л. И. Седова, В. Б. Геронимуса, М. В. Кирпичева, А. Г. Назарова, Г. С. Варданяна, Д. В. Монахенко. В работах последних трех авторов большое 
внимание уделяется «смягчению» условий моделирования и за счет этого расширению возможностей метода. В этих целях А. Г. Назаровым введено понятие «расширенного механического подобия твердых деформируемых тел»; Г. С. Варданяном разработана «аксиоматическая теория 
размерностей и ее применение в механике деформируемого твердого 
тела»; Д. В. Монахенко предложена «линейная теория моделирования».
Физическое моделирование используется и в настоящей работе 
в качестве одного из методов изучения динамических явлений в различных сооружениях. При этом формулы для пересчета изучаемых 
параметров с модели на натуру могут быть получены либо на основе 
теории подобия с использованием метода сил, либо на основе анализа 
размерностей.
Примем следующие обозначения для характерных значений ряда 
параметров, являющихся существенными для изучаемых явлений:
L — линейные размеры;
t — промежутки времени;
p — плотность материала;
E — модуль упругости;
ε — относительные деформации; 
U — перемещения; 
P — силы;
V — скорости;
W — ускорения; 
σ — напряжения;
μ — коэффициент Пуассона;
δ — логарифмический декремент колебаний.

Введем обозначения: для параметров натуры — индекс «Н», для 
параметров модели — индекс «М».
Рассмотрим сначала подобие на основе метода сил, который можно сформулировать следующим образом: «две системы ведут себя подобным образом, если выполняются геометрическое, кинематическое 
и динамическое подобия», которые выполняются, «если две системы 
геометрически подобны, и если безразмерные отношения всех существенных для данного процесса сил одинаковы в этих системах».
Для условий динамического подобия существенными являются 
инерционные силы 

H
H
M
M
2
2
H
Н
M
M
idem .
P L
P L

m V
m V
=
=

Это выражение представляет общий закон динамического подобия и называется обычно критерием подобия Ньютона. Из него могут 
быть получены некоторые частные случаи. Например, при преобладающем влиянии сил тяжести — критерий подобия Фруда

2
2
H
M

H
H
M
M
Fr,
V
V
g L
g L
=
=

при преобладающем влиянии сил упругости и сил инерции — критерий подобия Коши

2
2
H
H
M
M

H
M
Ca.
V
V
E
E
ρ
ρ
=
=

При этом для одновременного удовлетворения критериям подобия Коши и Фруда необходимо выполнить условие

Н
M
H

M
H
M
.
E
L
E
L
ρ
=
= λ
ρ

Для модельных исследований крупных сооружений, линейные размеры которых достигают 100 м и более, выполнение последнего условия 
при реальных геометрических масштабах λ = 100…500 связано с очень 
жесткими требованиями к модельным материалам. Поэтому во многих 
случаях, ограничиваемых линейно-упругой постановкой задачи, модельные исследования проводятся на основе критерия подобия Коши.
В настоящее время в связи с постановкой и решением все более 
сложных задач физического моделирования метод сил имеет ограни

ченное применение. В то же время значительное развитие в решении 
различных задач физического моделирования получил метод анализа 
размерностей. Ниже мы применим этот метод к выводу формул пересчета с модели на натуру для ряда характерных параметров изучаемого процесса. При этом в качестве основы для получения таких формул 
будем пользоваться работой Г. С. Варданяна. Запишем сначала в его 
редакции формулировку π-теоремы: число r безразмерных комплексов π равно числу n всех физически размерных величин, существенных для процесса, за вычетом числа первичных величин m.
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние конструкции, для которой исследуемый процесс можно представить в виде 
функциональной зависимости

F (σ, ε, U, E, P, L, ρ, t, W, δ, μ). 
(1.1)

В механической системе единиц L, P, T величины, входящие в (1.1), 
имеют следующие размерности:

 
[L] = [U] = L; [ε] = [δ] = [μ] =1; [P] = P; [σ] = [E] = PL2;

[ρ] = PT2 L–4; [t] = T; [W] = LT –2.
(1.1.1)

Таким образом, количество величин, определяющих изучаемое явление, n = 11, а количество первичных величин m = 3, тогда 
n – m = 8 — количество безразмерных комплексов, соответствующих 
исследуемому процессу:

1
2
3
4
5
2
2
2
4
2

6
7
8

;
;
;
;
;

;
;
.

E
U
W
L
PL
PL
LЕ
PL T
−
−
−
−
σ
ρ
π =
π =
π =
π =
π =

π = ε π = μ π = δ
(1.1.2)

Комбинируя полученные комплексы, можно ввести новые критерии:

π′1 = π1/π2 = σ/E; π′2 = π2/π5 = ET2 L–2 ρ–1; π′3 = π4/π′2 =WρL/E;

π′4 = π5/π4 =ρW/PL–3. 
(1.1.3)

На основании полученных критериев имеем следующие формулы 
для пересчета ряда параметров с модели на натуру:

время, периоды колебаний
M
H
H
M
H
M
;
E
T
T
E
ρ
=
λ
ρ
(1.2)