Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц
Впервые на сайте?
Регистрация Вход

0
Мы в социальных сетях
Каталог Каталог
Ознакомиться

Контрпримеры в теории вероятностей. (новое, дополненное и переработанное)

Покупка
Тематика: Теория вероятностей. Математическая статистика
Издательство: Московский Центр Непрерывного Математического Образования
Автор: Стоянов Й.
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 296
Дополнительно
Вид издания: Учебное пособие
Уровень образования: ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-2040-5
Артикул: 682469.01.99
Как получить доступ?
Студенту или преподавателю
Отправьте заявку на получение ключа доступа в библиотеку Вашего учебного заведения
Представителю организации
Отправьте заявку на подключение к Znanium по договору
  • Аннотация
  • Оглавление
  • Коллекции
  • Классификаторы
  • Бибзапись
Книга содержит около 300 разнообразных контрпримеров и при- меров, относящихся к основным разделам теории вероятностей и слу- чайных процессов. Во второе издание добавлен новый материал, рас- ширен список литературы. Книгу можно активно использовать при изучении теории вероятностей и случайных процессов. Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников физико-математических специальностей.
  Предисловие к русскому изданию
13
  Предисловие автора
15
  Основные обозначения и сокращения
17
  Глава 1. Случайные события и их вероятности
18
  § 1. Классы случайных событий
18
  1.1. Класс событий, который образует алгебру, но не является σ-алгеброй
19
  1.2. О замкнутости класса событий относительно операций объединения, пересечения и дополнения
20
  1.3. Каждая алгебра событий является полуалгеброй, но не наоборот
20
  1.4. В σ-алгебре подмножеств множества Ω могут не содержаться все его подмножества
20
  1.5. Каждая σ-алгебра является d-системой, но обратное неверно
21
  1.6. Множества, которые не являются событиями в произведении соответствующих σ-алгебр
22
  1.7. Объединение σ-алгебр может не быть σ-алгеброй
22
  § 2. Вероятность
25
  2.1. Вероятностная мера, которая является аддитивной, но не σ-аддитивной
26
  2.2. Две вероятностные меры могут совпадать на заданном классе событий и не совпадать на σ-алгебре, порожденной этим классом
27
  2.3. Теорема Колмогорова о продолжении меры в пространстве (R∞, B∞)
28
  2.4. О регулярных условных вероятностях
29
  § 3. Независимость случайных событий
31
  3.1. О роли вероятностной меры в свойстве независимости
32
  3.2. Попарная независимость событий не влечет их независимости в совокупности
33
  3.3. Из соотношения P(ABC) = P(A)P(B)P(C) не следует, что события A, B и C независимы в совокупности
34
  3.4. Система из n + 1 зависимых событий, каждые n из которых независимы в совокупности
35
  3.5. О независимости и условной независимости случайных событий
37
  3.6. Об одном выборе условий типа независимости, из которого не следует независимость в совокупности
38
  3.7. Из независимых в совокупности событий можно формировать зависимые классы событий
39
  3.8. Семейства случайных событий с «необычными» свойствами независимости/зависимости
39
  § 4. Разные свойства случайных событий и их вероятностей
41
  4.1. Вероятностные пространства без нетривиальных независимых событий
41
  4.2. О лемме Бореля–Кантелли
42
  4.3. Может ли класс событий обладать свойством независимости и быть исчерпывающим?
43
  Глава 2. Распределения. Случайные величины
46
  § 5. Функции распределения случайных величин
46
  5.1. Эквивалентные случайные величины распределены одинаково, но обратное неверно
49
  5.2. Если случайные величины X, Y и Z заданы на одном вероятностном пространстве, то из X d= Y не следует, что XZ d= Y Z
50
  5.3. Функция, которая является метрикой в пространстве распределений, но не является метрикой в пространстве случайных величин
50
  5.4. Об n-мерных распределениях
51
  5.5. Отсутствие атомов не влечет непрерывности многомерных функций распределения
51
  5.6. Об абсолютной непрерывности распределений случайного вектора и его компонент
53
  5.7. Многомерные функции распределения не определяются однозначно своими маргинальными распределениями
54
  5.8. О свертках функций распределений
55
  5.9. О несохранении свойства унимодальности при свертках унимодальных распределений
56
  § 6. Математическое ожидание
59
  6.1. О линейности математического ожидания
61
  6.2. Об интегрируемости последовательности случайных величин и ограниченности их супремума
63
  6.3. У симметричного распределения все моменты нечетного порядка равны нулю, но обратное неверно
63
  6.4. Об одном свойстве моментов случайных величин, которое не имеет аналога для случайных векторов
64
  6.5. О справедливости теоремы Фубини
65
  6.6. Семейство интегрируемых случайных величин, которое не является равномерно интегрируемым
66
  6.7. Всегда ли справедливо равенство E{E(X|Y )} = EX?
67
  6.8. О невозможности расширить одно из свойств условного математического ожидания
68
  § 7. Независимость случайных величин
69
  7.1. О попарной независимости случайных величин и их независимости в совокупности
69
  7.2. Множество зависимых случайных величин, каждое собственное подмножество которого обладает свойством независимости
70
  7.3. Зависимые случайные величины X и Y, такие что случайные величины X2 и Y 2 независимы
73
  7.4. Независимость случайных величин в терминах характеристических функций
74
  7.5. Независимость случайных величин в терминах производящих функций
76
  7.6. Свертка функций распределений может быть распределением суммы зависимых случайных величин
77
  7.7. Некоррелированные, но зависимые случайные величины
77
  7.8. Из равенства E(Y |X) = EY почти наверное не всегда вытекает, что X и Y независимы
78
  7.9. Существует ли связь между понятиями независимости и условной независимости случайных величин?
79
  § 8. Характеристические и производящие функции
80
  8.1. Характеристические функции, совпадающие на конечном отрезке, но не на всей числовой прямой
82
  8.2. Дискретное и абсолютно непрерывное распределения с характеристическими функциями, совпадающими на отрезке [−1, 1]
83
  8.3. Абсолютно непрерывное распределение может иметь характеристическую функцию, которая не интегрируема абсолютно
84
  8.4. Неинтегрируемая дискретная случайная величина с дифференцируемой характеристической функцией
85
  8.5. Неинтегрируемая абсолютно непрерывная случайная величина с дифференцируемой характеристической функцией
86
  8.6. Производящая функция может не существовать, даже если случайная величина имеет моменты любого порядка r, r = 1, 2, ...
87
  § 9. Безгранично делимые и устойчивые распределения
89
  9.1. Не обращающаяся в нуль характеристическая функция, которая не является безгранично делимой
90
  9.2. О свойстве безграничной делимости характеристических функций ϕ и |ϕ|
91
  9.3. Произведение двух независимых неотрицательных и безгранично делимых случайных величин не всегда сохраняет свойство безграничной делимости
93
  9.4. О свойстве безграничной делимости в многомерном случае
94
  9.5. О безграничной делимости случайного вектора и линейных комбинаций его компонент
95
  9.6. Безгранично делимые распределения, которые не являются устойчивыми
97
  9.7. Устойчивое распределение можно разложить на два безгранично делимых и неустойчивых распределения
99
  § 10. Нормальное распределение
100
  10.1. Нормальность одномерных распределений не обеспечивает нормальности соответствующего многомерного распределения
101
  10.2. Если (X1, X2) имеет двумерное нормальное распределение, то X1, X2 и X1 + X2 нормально распределены, но обратное неверно
102
  10.3. Свойство нормальности может не иметь места для системы случайных величин, даже если любая ее подсистема обладает этим свойством
104
  10.4. О связи между свойствами нормальности и некоррелированности
105
  10.5. Случайные величины X, Y, X + Y и X − Y могут быть нормально распределенными, причем X и Y некоррелированны, а распределение вектора (X, Y) может не быть нормальным
107
  10.6. Условие, характеризующее нормальное распределение через нормальность линейных комбинаций, не может быть ослаблено
108
  10.7. Распределение, отличающееся от нормального, может иметь условные нормальные распределения
109
  § 11. Проблема моментов
111
  11.1. Проблема моментов для некоторых функций от нормально распределенной случайной величины
113
  11.2. Логарифмически нормальное распределение и проблема моментов
114
  11.3. Еще один класс абсолютно непрерывных распределений, которые не определяются однозначно своими моментами
117
  11.4. Проблема моментов для степенных преобразований экспоненциального распределения
118
  11.5. Различные дискретные распределения с совпадающими моментами любого порядка
119
  11.6. Как связаны два различных достаточных условия для единственности решения проблемы моментов?
123
  11.7. Условие Карлемана достаточно, но не необходимо для единственности решения проблемы моментов
124
  11.8. Условие Крейна достаточно, но не необходимо для неединственности решения проблемы моментов
126
  § 12. Характеризационные свойства некоторых вероятностных распределений
126
  12.1. Как распределены случайные величины, если их сумма имеет биномиальное распределение?
127
  12.2. Свойство геометрического распределения, которое не является его характеризационным свойством
128
  12.3. О применимости теоремы Райкова
129
  12.4. О применимости теоремы Крамера
131
  12.5. Об одном свойстве, которое не является характеризационным для нормального распределения
132
  12.6. Еще одно интересное свойство, которое не является характеризационным для нормального распределения
133
  12.7. Об одном свойстве, не являющемся характеризационным для распределения Коши
134
  12.8. Об одном свойстве, которое не является характеризационным для гамма-распределения
135
  § 13. Разные свойства случайных величин
136
  13.1. О свойстве независимости при суммировании пуассоновских случайных величин
136
  13.2. О симметричности суммы и разности двух случайных величин
137
  13.3. Соотношение между классами распределений NBU и IFR
139
  13.4. Перестановочные и «хвостовые» события, связанные с последовательностями случайных величин
140
  13.5. Перестановочная последовательность случайных величин, не обладающих свойством независимости
142
  13.6. О применимости закона «0 или 1» Колмогорова
143
  13.7. О применимости закона «0 или 1» Хьюитта–Сэвиджа
144
  13.8. Всегда ли применима теорема де Финетти?
145
  Глава 3. Предельные теоремы
146
  § 14. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин
146
  14.1. О сходимости функций случайных величин
148
  14.2. Из сходимости по распределению не вытекает сходимость по вероятности
149
  14.3. Последовательности случайных величин, сходящиеся по вероятности, но не с вероятностью 1
149
  14.4. Из сходимости в среднем порядка r вытекает сходимость по вероятности, но обратное неверно
151
  14.5. Из сходимости в среднем порядка r не всегда вытекает сходимость почти наверное
152
  14.6. Из сходимости почти наверное не всегда следует сходимость в среднем порядка r
152
  14.7. Сходимость плотностей обеспечивает слабую сходимость функций распределений, но обратное неверно
153
  14.8. Из сходимости Xn d−→ X и Yn d−→ Y не всегда вытекает, что Xn + Yn d−→ X + Y
154
  14.9. Не существует метрики, соответствующей сходимости почти наверное
155
  14.10. О сходимости вполне и сходимости почти наверное последовательностей случайных величин
156
  14.11. О сходимости средних по Чезаро для последовательности случайных величин
156
  § 15. Законы больших чисел
158
  15.1. Условие Маркова достаточно, но не необходимо для справедливости закона больших чисел
159
  15.2. Условие Колмогорова достаточно, но не необходимо для справедливости усиленного закона больших чисел для неодинаково распределенных случайных величин
160
  15.3. Еще один пример, когда условие Колмогорова не выполнено, но усиленный закон больших чисел имеет место
161
  15.4. О роли условия Колмогорова ∞ n=1 σ2 n/n2< ∞
161
  15.5. Арифметические средние для случайной последовательности могут сходиться по вероятности, даже если теорема Хинчина неприменима
163
  15.6. Последовательность случайных величин, удовлетворяющая слабому, но не усиленному закону больших чисел
164
  15.7. Закон больших чисел может не выполняться, если сходимость с вероятностью 1 заменить сходимостью вполне
166
  15.8. О справедливости обобщенного закона больших чисел
167
  § 16. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений
168
  16.1. Определяющие классы и классы, определяющие сходимость
169
  16.2. Из сходимости по распределению не вытекает слабая сходимость соответствующих вероятностных мер для всех борелевских множеств
172
  16.3. О слабой сходимости и сходимости моментов
174
  16.4. Два случая, когда теорема непрерывности неприменима
175
  16.5. Когда теорема непрерывности применима для плотностей?
176
  16.6. О слабой сходимости и сходимости по вариации
178
  16.7. Слабая сходимость и метрика Леви
180
  § 17. Центральная предельная теорема
181
  17.1. Последовательности случайных величин, для которых центральная предельная теорема не справедлива
183
  17.2. Какова роль различных условий для выполнения центральной предельной теоремы?
184
  17.3. Две «эквивалентные» последовательности случайных величин, такие что одна из них удовлетворяет, а другая не удовлетворяет центральной предельной теореме
185
  17.4. Условие Ляпунова и центральная предельная теорема
186
  17.5. О центральной предельной теореме и сходимости дисперсии нормированной суммы Sn/√DSn
189
  17.6. Центральная предельная теорема не всегда применима при суммировании случайного числа случайных величин
190
  17.7. Какова связь между двумя центральными предельными теоремами, интегральной и локальной?
191
  § 18. Разные предельные теоремы
193
  18.1. В теореме Колмогорова о «трех рядах» условие независимости существенно
194
  18.2. Об одном следствии теоремы Колмогорова о «трех рядах»
195
  18.3. О радиусе сходимости случайных степенных рядов
196
  18.4. Всегда ли можно менять порядок операций взятия математического ожидания, бесконечного суммирования и предела
197
  18.5. Lr-сходимость последовательности случайных величин не вытекает из сходимости условных математических ожиданий
199
  18.6. О законе повторного логарифма Човера
200
  18.7. О рекордах и максимумах последовательности независимых случайных величин
201
  Глава 4. Случайные процессы
203
  § 19. Основные понятия и свойства случайных процессов
203
  19.1. О роли семейства конечномерных распределений при построении случайного процесса с заданными свойствами
205
  19.2. У случайного процесса могут быть модификации с различными свойствами
206
  19.3. О свойстве сепарабельности случайных процессов
207
  19.4. Измеримые и прогрессивно измеримые процессы
208
  19.5. О стохастической непрерывности случайных процессов
210
  19.6. Критерий Колмогорова для непрерывности с вероятностью 1 случайного процесса
211
  19.7. Существует ли связь между непрерывностью случайного процесса и непрерывностью порожденной им фильтрации?
212
  § 20. Марковские процессы
214
  20.1. Уравнение Колмогорова–Чепмена может иметь место, даже если процесс немарковский
216
  20.2. Об одном следствии марковского свойства
217
  20.3. Связь между различными понятиями эргодичности для марковских цепей
218
  20.4. Эргодичность марковской цепи не всегда обеспечивает сходимость математического ожидания функции от этой цепи
220
  20.5. Две неэквивалентные марковские цепи с непрерывным временем могут быть частично эквивалентными
222
  20.6. Марковские процессы, феллеровские процессы, сильно феллеровские процессы и связи между ними
223
  20.7. Марковские, но не строго марковские процессы
224
  § 21. Стационарные процессы и некоторые смежные вопросы
227
  21.1. О свойстве стационарности случайных процессов
228
  21.2. О стационарности заданного порядка m
229
  21.3. Условие сильного перемешивания не всегда сохраняется при преобразовании стационарного в узком смысле процесса
230
  21.4. Стационарный в узком смысле процесс может быть регулярным и не обладать свойством полной регулярности
232
  21.5. Законы больших чисел для стационарных в широком смысле процессов
233
  21.6. О свойствах эргодичности и перемешивания для сохраняющих меру преобразований
234
  21.7. Стационарные последовательности, для которых центральная предельная теорема не имеет места
236
  § 22. Мартингалы с дискретным временем
239
  22.1. L1-ограниченные мартингалы, не являющиеся L1-доминированными
240
  22.2. Мартингалы, для которых теорема Дуба об остановке не имеет места
241
  22.3. Каждый квазимартингал является амартом, но обратное не верно
242
  22.4. Амарты, мартингалы в пределе, эвентуальные мартингалы и связи между ними
243
  22.5. Квазимартингалы, амарты, прогрессивные мартингалы и связи между ними
244
  22.6. О сходимости субмартингалов почти наверное и в пространстве L1
245
  22.7. Мартингалы могут сходиться по вероятности, но не сходиться почти наверное
246
  22.8. Мартингалы могут расходиться на множестве с заранее заданной вероятностью
248
  § 23. Мартингалы с непрерывным временем
249
  23.1. Мартингалы, не являющиеся локально квадратично-интегрируемыми
250
  23.2. L2-ограниченный локальный мартингал, который не является мартингалом
251
  23.3. Экспоненциальные мартингалы: неулучшаемость условия Новикова и два полезных следствия
253
  23.4. Квадратично-интегрируемый мартингал с неслучайной характеристикой не обязан быть процессом с независимыми приращениями
255
  23.5. О возможности представить мартингал в виде стохастического интеграла относительно другого мартингала
256
  23.6. Гауссовские процессы, которые не являются семимартингалами
257
  § 24. Разные свойства случайных процессов
259
  24.1. О перестановочности операций пересечения и супремума для последовательности σ-алгебр, связанных со случайными процессами
259
  24.2. О тождествах Вальда для винеровского процесса
261
  24.3. О сходимости квадратической вариации винеровского процесса
262
  24.4. Можно ли характеризовать многомерный гауссовский процесс по его проекциям?
263
  24.5. Представление Крамера, кратность и спектральный тип случайного процесса
265
  24.6. Фрактальный винеровский процесс и марковское свойство
267
  Дополнительные замечания
268
  Литература
273
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Стоянов, Й. Контрпримеры в теории вероятностей. (новое, дополненное и переработанное): Учебное пособие / Стоянов Й. - Москва :МЦНМО, 2014. - 296 с.: ISBN 978-5-4439-2040-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958657 (дата обращения: 25.05.2025). – Режим доступа: по подписке.
Скопировать запись
Экспорт списка
Excel
RUSMARC .iso
win-1251
UTF-8
RUSMARC .txt
win-1251
UTF-8
IRBIS .txt
win-1251
UTF-8
Как получить доступ?
Студенту или преподавателю
Отправьте заявку на получение ключа доступа в библиотеку Вашего учебного заведения
Представителю организации
Отправьте заявку на подключение к Znanium по договору