Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений

Подиновский В.В.







Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений





МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

   УДК 519.8
   ББК 22.18 П44


     Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 64 с. — ISBN 978-5-9221-0743-3.

      Учебное пособие, посвященное новому разделу математической теории принятия решений при многих критериях. Рассматриваются основные идеи и дается представление о методах выбора оптимальных вариантов, оцениваемых по нескольким критериям с использованием информации об их относительной важности. Изложение опирается на строгие определения понятий «один критерий важнее другого» и «один критерий важнее другого во столько-то раз».
      Рекомендовано УМО по образованию в области экономики, менеджмента, логистики и бизнес-информатики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Бизнес-информатика» (080700), «Логистика и управление цепями поставок» (080506), «Менеджмент» (080500), «Экономика» (080100).
      Табл. 5. Ил. 4. Библиогр. 54 назв.
Рецензенты:
Доктор физ.-мат. наук, профессор Поспелов И.Г., доктор эконом. наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Рофе А.И.


  Учебное издание
  ПОДИНОВСКИЙ Владислав Владимирович
  ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
  В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

   Редактор И.Л. Легостаева
   Оригинал-макет: А.А. Пярнпуу
   Оформление переплета: А.Ю. Алехина
   Подписано в печать 06.03.07. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
   Печать офсетная. Усл. печ. л. 4. Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 1000 экз. Заказ №

   Издательская фирма «Физико-математическая литература»
   МАИК «Наука/Интерпериодика»
   117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
   E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
   http://www.fml.ru
   Отпечатано с готовых диапозитивов
   в ППП «Типография «Наука»
   121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 978-5-9221-0743-3

ISBN 978-5-9221-0743-3

© ФИЗМАТЛИТ, 2007
© В. В. Подиновский, 2007

            Оглавление



                                   Порядок больше всего помогает ясному усвоению.
Цицерон

Предисловие............................................ 7

Глава 1. Многокритериальные задачи принятия решений ................................................... 8
§ 1.1. Общая характеристика многокритериальных задач.   8
§ 1.2. Математическое описание проблемной ситуации.... 11
§ 1.3. Взвешенная сумма критериев..................... 17
     Выводы из главы 1................................ 22
     Контрольные вопросы и задания к главе 1 ......... 23

Глава 2. Качественная важность критериев.............. 24
§ 2.1. Однородные критерии ........................... 24
§ 2.2. Базовые определения качественной важности...... 26
§ 2.3. Получение и анализ качественной информации о важности критериев............................................. 28
§ 2.4. Использование качественной информации о важности критериев для анализа многокритериальных задач .......... 31
     Выводы из главы 2................................ 35
     Контрольные вопросы и задания к главе 2.......... 36

Глава 3. Количественная важность критериев............ 37
§3.1 . Базовое определение количественной важности.... 37
§3.2 . Получение и анализ количественной информации о важности критериев......................................... 40
§3.3 . Использование количественной информации о важности критериев для анализа многокритериальных задач.......  47
§   3.4. Совершенствование шкалы критериев............ 49
§3.5 . Итеративный подход к решению многокритериальных задач .................................................. 51
     Выводы из главы 3................................ 54
     Контрольные вопросы и задания к главе 3.......... 55

Послесловие........................................... 57

Приложение. История и библиография.................... 58

    «Наслушавшись таких насмешек над религией, брат Юнипер и пришел к убеждению, что пробил час на земле доказать — с цифрами в руках доказать — ту веру, которая так ярко и волнующе жила в нем. Когда повальная болезнь напала на милую его сердцу деревню Пуэрто и унесла множество крестьян, он тайком составил таблицу характеристик пятнадцати жертв и пятнадцати выживших — статистику их ценности sub specie aeternitatisх. Каждая душа оценивалась по десятибалльной шкале в отношении своей доброты, своего религиозного рвения и своего значения для семейной ячейки. Вот отрывок этой дерзновенной таблицы:

            Доброта Благочестие Полезность
Альфонсо Г. 4       4           10        
Нина        2       5           10        
Мануэль Б.       10 10                   0
Альфонсо В. -8      -10         10        
Вера Н.     0       10          10        

   Задача оказалась труднее, чем он предполагал. Почти каждая душа в стесненной пограничной общине оказалась экономически незаменимой, и третий столбец практически ничего не давал. Исследователь был вынужден прибегнуть к отрицательным числам, столкнувшись с характером Альфонсо В., который не был, как Вера Н., просто плохим — он пропагандировал плохое и не только избегал церкви, но и других научал ее избегать. Вера Н. действительно была плохой, но она была примерной прихожанкой и опорой переполненной хижины. Из этих неутешительных данных брат Юнипер вывел показатель для каждого крестьянина. Он подсчитал сумму для жертв, сравнил с суммой для выживших и нашел, что покойные в пять раз больше заслуживали спасения. Все выглядело так, как будто мор был направлен именно против самых ценных людей в деревне Пуэрто. В этот день брат Юнипер бродил по берегу Тихого океана. Он порвал свои выкладки и бросил в волны; он час смотрел на громадные жемчужные облака, вечно висевшие над этим морем, и зрелище красоты родило в нем смирение, которого он не отдал на испытание разуму. Вера расходится с фактами больше, чем принято думать.»

              Уайдлер Торнтон. «Мост короля Людовика Святого»

  ¹ С точки зрения вечности (лат.).

                                            Моей жене Наталии и дочери Ольге посвящается




            Предисловие


                         Пишут для того, чтобы рассказать, а не для того, чтобы доказать.
Квинтилиан

   В настоящее время в связи с растущими потребностями практики и быстро расширяющимися возможностями информационно-вычислительной техники активно развивается междисциплинарное научное направление, направленное на анализ и поддержку принятия решений. Одним из его «секторов», имеющих большое практическое значение, является математическая теория принятия решений при многих критериях.
   Теория важности критериев — новый раздел этой теории, созданный и активно развиваемый в России. Однако доступно (нс для специалистов) написанных книг и, тем более, учебной литературы по этой теории до настоящего времени не было. Этот пробел призвано частично восполнить настоящее учебное пособие, цель которого — дать представление о базовых понятиях теории важности критериев и основанных на них методах анализа многокритериальных задач принятия решений.
   Для расширения круга потенциальных читателей пособие написано на элементарном уровне, живым языком и не содержит формул (за исключение нескольких совсем простых), но в нем широко использован ряд математических понятий (смысл которых объясняется) и соответствующие обозначения. Поэтому, как и всякий текст с математическим содержанием, оно требует вдумчивого чтения².
   Автор признателен Ф. Т. Алескерову и П. Ю. Чеботареву, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд замечаний и предложений по улучшению изложения материала³, рецензентам И. Г. Поспелову и А. И. Рофс, рекомендовавших пособие к изданию.


  ² Сноски в тексте будут двух видов. Сноски с обычными номерами (как эта) несут дополнительную к основному тексту информацию. Сноски с номерами в кружочках (Ф или О, и т. д.) ориентированы на более подготовленного читателя и набраны более мелким шрифтом.

  ³ Просьба к читателям присылать свои замечания и предложения по электронной почте в адрес: podinovskiQnccom.ru

ГЛАВА 1



            МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ



                              Какого мнения о сем святая церковь?» — «Святая церковь о сем умалчивает».
Александр Куприн. «Поединок»



            § 1.1. Общая характеристика многокритериальных задач


                           Ведущий принцип не может формулироваться в виде требования одновременной максимизации двух или более функций. (Одна функция, вообще говоря, не будет иметь максимум там, где его имеет другая). Это ничем не лучше, чем сказать, например, что фирма должна получить максимальные цены при максимальном обороте или же максимальный доход при минимальных издержках. Если подразумевается некоторый порядок важности этих принципов или некоторое их взвешенное среднее, то это следует оговаривать явным образом.
                            Джон фон Нейман, Оскар Моргенштерн. « Теория игр и экономическое поведение»

   1.    Проблемы, связанные с отысканием наилучших решений для достижения поставленных целей при ограниченных возможностях (ресурсах), вставали перед людьми всегда. Концепция принятия решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одного из ряда вариантов (альтернатив, планов, стратегий, ... ). Этот выбор производит лицо, принимающее решение (общепринятым становится сокращение ЛПР), которое стремится к достижению

§1.1. Общая характеристика многокритериальных задач

9

определенных целей⁴. В его роли выступает человек (или группа людей), обладающий правами принятия решения, возможностями его реализации и несущий ответственность за его последствия (например, руководитель организации, совет директоров, ведущий конструктор, военачальник, главный тренер, ..., наконец, гражданин, семья — все зависит от конкретной ситуации принятия решения).
   Еще совсем недавно считалось, что выработка решения является искусством, основанным на опыте, знаниях и интуиции. Однако в современных условиях только этого недостаточно для выработки даже просто приемлемых решений в сложных, масштабных, ответственных практических задачах. Поэтому стали интенсивно развиваться научные методы анализа решений, появились новые прикладные научные дисциплины: исследование операций, теория принятия решений, системный анализ, в рамках которых созданы специальные информационно-аналитические технологии, опирающиеся на новые математические методы.

   2.    Вообще всякое применение математических методов предполагает построение математической модели объекта анализа. При построении модели ситуации принятия решения дается формализованное описание доступных вариантов действий и возможных последствий их реализации. При этом особое внимание уделяется выявлению и описанию предпочтений ЛПР. Его цели чаще всего моделируются стремлением к увеличению или же уменьшению специальных функций, называемых критериями (а также показателями эффективности или качества, целевыми функциями). В относительно простых случаях удается обойтись одним критерием. И тогда наилучшим, или оптимальным вариантом считается тот, который максимизирует или же минимизирует этот критерий. В качестве примера укажем на задачу планирования перевозок, известную под названием «транспортная задача». Состоит она в следующем. Имеются склады, на каждом из которых хранится определенное количество (запас) некоторого однородного материала (песка, угля, зерна и т.п.). Имеются также заказчики, для каждого из которых известен его запрос (потребность, заявка) на определенное количество этого материала. Предполагается, что суммарные запасы на складах равны сумме запросов потребителей. Под планом перевозок понимается указание, сколько материала следует доставить (перо

  ⁴ В русском языке слово «лицо» среднего рода (оно), что оказалось весьма удобным. В англоязычной литературе, например, ссылаясь на ЛПР (DM — decision maker) — неопределенного человека, — сейчас принято указывать он/она или же опа/оп.