Ситуационная теория индексов цен и количеств

Москва
РИОР
ИНФРА-М

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

ИНДЕКСОВ ЦЕН 
ИНДЕКСОВ ЦЕН 
И КОЛИЧЕСТВ
И КОЛИЧЕСТВ

Монография
Монография

Ý.Á. ÅÐØÎÂ
Ý.Á. ÅÐØÎÂ

УДК  311.4(075.4)
ББК  60.6
 
Е80

Р е ц е н з е н т ы:
Ю.Н. Иванов, профессор, д. э. н., заведующий кафедрой статистики 
факультета экономики МГУ им. М.В. Ломоносова
Г.Б. Клейнер, член-корреспондент РАН, профессор, заместитель 
директора Центрального экономико-математического института РАН

Ершов Э.Б.
Ситуационная теория индексов цен и количеств: Монография — М.: 
РИОР: ИНФРА-М, 2012. — 420 с. — (Научная мысль).

ISBN 978-5-369-01041-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005438-4 (ИНФРА-М)

В монографии на основе критического анализа классической теории 
индексов цен и количеств, сформировавшейся к середине 80-х годов
XX века, и работ, имеющих целью преодоление ограниченности ее исходных 
положений, противоречий и нерешенных проблем, излагается более общая, 
ситуационная теория индексов. Она исходит из необходимости и возможности 
учета особенностей рассматриваемых типовых ситуаций для экономической 
системы, в которых выбранные классы операций характеризуются 
количествами и ценами продуктов, используемых в течение сравниваемых 
периодов-состояний системы.
Предлагаемая теория обосновывает выбор формул индексов цен
и количеств для различных ситуаций и, в частности, для сравниваемых
и считающихся однородными периодов, в течение которых цены не остаются 
постоянными. По доступным статистическим данным рассчитываются средние 
для таких периодов цены и использующие их индексы. Для агрегированных 
периодов, образуемых последовательностями однородных периодов меньших 
продолжительностей, определяются индексы цен – дефляторы потоков 
стоимости.
Книга предназначается для исследователей, преподавателей, аспирантов
и студентов, специализирующихся на изучении экономической и статистической теории в их изложении, активно и систематически использующем 
математический инструментарий, предоставляемые практической статистикой 
экономические данные и методы экономико-математического анализа
и моделирования.

УДК 311.4(075.4)
ББК 60.6

ISBN 978-5-369-01041-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005438-4 (ИНФРА-М) 
© Ершов Э.Б., 2012

Е80

ВВЕДЕНИЕ

Экономические процессы невозможно представлять себе, анализи
ровать и прогнозировать без использования денег и цен. С ценами
знакомы все. Об индексах цен наши знания менее конкретны, хотя
статистики и экономисты регулярно рассчитывают их в различных
вариантах и по различным поводам, начиная со второй трети девятнадцатого века.

В чем же заключаются трудности, возникающие тогда, когда речь

идет о росте или снижении не цены на какой-либо конкретный товар,
а о ценах некоторого комплекса товаров и услуг? Если в базовом периоде был куплен товар в количестве q0 по цене p0, а в другом периоде – в количестве q1 и по цене p1, то отношение стоимостей покупок
(p1q1) / (p0q0) равно произведению отношений цен (p1 / p0) и количеств
(q1 / q0). Эти отношения называют индивидуальными индексами цен
IP и количеств IQ товара. Но, если комплекс состоит из (n) товаров, то
отношение стоимостей для двух комплексов в двух периодах или состояниях (∑ip1

iq1

i) / (∑ip0

iq0

i), называемое индексом стоимости, можно

представить в виде произведения индекса цен IP и индекса количеств
IQ многими способами.

В простом случае величины индексов IP и IQ предполагаются за
даваемыми в виде выбираемых функций от цен p0

i, p1

i и количеств q0

i,

q1

i (i = 1, ..., n) всех n товаров в двух сравниваемых состояниях:

IP fn(p0, q0; p1, q1), IQ gn(p0, q0; p1, q1). Такие функции 4n переменных должны быть определены при любом числе товаров и услуг, образующих комплекс, то есть при n ≥ 1. Но в случае одного товара эти
функции очевидны: f1(p0, q0; p1, q1) = p1 / p0, g1(p0, q0; p1, q1) = q1 / q0.
Более ста лет теоретики и практики в области экономики и статистики
обсуждают проблему выбора так называемых «индексных формул»
(index numbers) – семейства пар функций {fn, gn; n ≥ 2}, определяющих индексы цен и количеств. Были предложены десятки таких семейств и высказаны аргументы за и против использования различных
пар индексных чисел.

Весьма авторитетные  исследователи сформулировали представ
ляющиеся им естественными требования к таким функциям, то есть
к индексам цен и количеств. Анализ показал, что эти требования
противоречивы не только в совокупности, но даже, если от индексов требуется выполнение всего нескольких свойств. Последние определяются в виде проверяемых тестов, критериев или аксиом.
Но попытки обосновать выбор семейства функций {fn, gn} в качестве используемых в любых случаях индексов цен и количеств успеха
не имели.

Было осознано, что целесообразно различать те реально проте
кающие процессы в экономике, которые предполагается характеризовать и анализировать, используя цены, количества и их индексы.
Это привело к возникновению исследований, видевших задачу в
том, чтобы учесть при конструировании индексных формул или их
классов то, из-за чего количества и цены товаров и услуг в реальности не принимают все возможные и казалось бы допустимые значения, а оказываются достаточно тесно связанными как в каждом из
сравниваемых периодов, так и в процессе их изменения, то есть в
динамике. Альтернативной для этих направлений стала позиция,
согласно которой связи между ценами и количествами учитывать
нет необходимости и даже возможности.

Поиск содержательных обоснований выбора формул индексов

привел к разделению теоретических исследований на противопоставляемые, конкурирующие направления в теории индексов. Последняя
рассматривает индексы как конструируемый и изучаемый объект, а не
только как инструмент, используемый в практических расчетах. Абсолютизация исходных представлений этих направлений относительно характеризуемой с помощью индексов системы взаимоотношений
и взаимодействий, отрицание возможности существования вариантов
реальности и задач их изучения привели к появлению тупиковых для
отдельных направлений проблем, отсутствию общего подхода к преодолению разрывов между нами и общего понимания задач, стоящих
перед теорией индексов.

Такое состояние сложилось к середине восьмидесятых лет ХХ века,

когда фактически закончилось создание так называемой классической
теории индексов цен и количеств. Её исходные положения и результаты
с достаточной полнотой и адекватностью нашли отражение в статьях
Диверта [Diewert, 1987] и Халтена [Hulten, 1987], включенных в “The
New Palgrave. A Dictionary of Economics”. Вопросы практического использования индексов, предлагаемых и обосновываемых классической
теорией, были изложены в монографиях Аллена [Allen, 1975,], Кёвеша
[Köves, 1983], Торвея [Turvey, 1989], изданных в переводах на русский
язык ([Аллен, 1980], [Кёвеш, 1990]. [Торвей, 1993]) и в «Руководстве по
индексу потребительских цен: теория и практика» [3, 7], подготовленному компетентными международными организациями.

Однако трудности и противоречия классической теории в этих

публикациях не были систематизированы и тем более не были преодолены. Но они не оставались незамеченными. В ряде публикаций,
вышедших уже после издания энциклопедического словаря [9], рассматривались требующие обсуждения вопросы, постановки которых
и подходы к нахождению ответов на них выходили за рамки класси

ческой теории индексов. К их числу можно отнести работы [Triplett,
1989], [Balk, 1990, 1995], [Ершов, 1990, 2003, 2005, 2006, 2010], [Malaney, 1996], [Hill, 2006], [Hansen, 2007], [Pursiainen, 2008], [Diewert,
Huwiler, Kohli, 2009], [de Haan, Balk, Hansen, 2009], монографии
[Зоркальцев, 1996], [Stuvel, 1989] и [Balk, 2008].

В этих условиях стала актуальной и реально возможной разработка

новой и более общей по сравнению с классической версии теории индексов. Эта задача решается в данной книге. В первой её части обсуждаются состояние и проблемы классической теории индексов с тем,
чтобы выявить накопившиеся в ней противоречия, трудности и требующие нового подхода проблемы и аспекты. Во второй части характеризуется предлагаемый подход, позволяющий с общих позиций
различать и изучать типовые ситуации, для которых теория предлагает и обосновывает индексные формулы и порождающие их конструкции. Обсуждается ряд проблем, характерных для классической теории
индексов, не получивших в ней решения. Показывается как основы
ситуационной теории индексов позволяют трансформировать трудности в эффективно решаемые задачи.

В третьей части книги, используя возможности ситуационного

подхода, формулируются ключевые задачи и проблемы, которые
должны быть решены с его использованием. Основное внимание
обращается на то, какими предполагаются и статистической системой регистрируются динамики цен продуктов в сравниваемых периодах-состояниях и в процессе перехода от начального состояния к
конечному. Классическая теория индексов имела дело со статическими ситуациями, для которых цены в сравниваемых состояниях
она считала постоянными и игнорировала то, как они изменялись в
этих периодах. Характер изменения цен, количеств и стоимостей для
комплекса товаров и услуг при переходе от периода к периоду считался не влияющим на выбор формул индексов. Учет того, как моделируется процесс совместного изменения цен и количеств и как он
наблюдается, придает ситуационной теории индексов динамический
характер и позволяет судить об её адекватности  изучаемым ситуациям.

Особенностью замысла монографии является то, что она должна

не только формулировать недостатки классической теории индексов,
направления их преодоления и основы новой версии теории, позволяющей решать выявляемые задачи и проблемы, но и убеждать в том,
что предлагаемый подход является естественным и оправданным как
в теоретическом, так и в практическом отношениях. Поэтому приходится неоднократно обращаться к обсуждаемым вопросам, поскольку
выявляются их связи с ранее не отмечавшимися аспектами проблем.
Для сложного в логическом отношении конгломерата проблем, с ко

торыми имеет дело теория индексов, линейный характер их рассмотрения не вполне эффективен. Многоаспектное изучение взаимосвязанных проблем, соотношения между которыми становятся ясными
по ходу их обсуждения, предполагает учет «вновь открывшихся обстоятельств», то есть циклическое или спиральное их рассмотрение.
При этом принимаемые аксиоматические положения требуют логического и одновременно прагматического обоснования как отражающие
некоторую реалистическую ситуацию. При этом представлявшиеся
вполне естественными и оправдываемыми предположения могут не
сопоставляться ситуациям, выделяемым по теоретическим и практическим соображениям.

Для упрощения понимания текста, интенсивно использующего со
кращения и обозначения понятий, конструкций, введенных величин и
соотношений между ними, представленных в виде формул, в Приложениях 1 и 2 систематизируются упоминаемые индексные формулы и
предъявляемые к ним в виде аксиом, критериев и тестов требования.
В Приложениях 3 и 4 приводятся результаты, дополняющие известные положения классической теории индексов. Приложения 6 и 8
содержат важные в контексте книги определения, математические
утверждения и их доказательства. Характерные свойства часто употребляемых индексов цен, позволяющие различать те ситуации, для
которых они предназначаются, читатель найдет в Приложении 5.

В Приложениях 7 и 9 характеризуются результаты расчетов наи
более известных индексов цен и количеств индексов, выполненных с
использованием данных, взятых из получивших признание научных и
методических публикаций, иллюстрирующих задачи и возможности
индексной методологии. В примерах рассматриваются типовые для
классической теории статические ситуации и динамические ситуации,
для которых индексы вводятся в Главах 9–12 книги.

Используются следующие обозначения. Цены, количества и стои
мости товаров обозначаются первыми буквами соответствующих английских слов – P и p, Q и q, V и v. А их индексы – соответственно как
IP, IQ, IV. Выделяемым в главах пунктам (параграфам) присваиваются
шифры, состоящие из номера главы и номера пункта в ней. Формула
обозначается номером главы, номером пункта и номером формулы в
нем. Таким образом, формула (3.1.2) – это формула 2 пункта 1 в Главе 3. Но формула (П.3.1) – это формула 1 Приложения 3. Таблицам
присваиваются номера в главах. Так Таблица Т.11.1 – это таблица 1 в
Главе 11. Но Таблица ТП.6.1 – это таблица 1 Приложения 6, а таблица
ТП.7.4.3 – это таблица 3 в Примере 4 Главы 7. В названиях рисунков
указываются номер рисунка в главе или в приложении. Например,
Рисунок РП.3.2 – это рисунок 2 в Приложении 3, Рисунок РП.7.1.2 –
это рисунок 2 примера 1 в Главе 7.

Публикации, включенные в список литературы к книге, разделены

на две группы: имеющие авторов, указываемых в их названиях, и коллективные труды, для которых авторство может указываться в отношении отдельных частей, глав или статей. Так, [Diewert, 1995a] – это
первая из включенных в список литературы и изданных в 1995 году
работ Диверта. Ссылка [Фишер, 1928; 343, 344] означает ссылку на
страницы 343 и 344 монографии [Фишер, 1928]. Некоторые работы,
оригиналы которых изданы на иностранных языках, имеются в переводах на русский язык, включенных в список литературы. Такие работы встречаются в списке дважды – как оригиналы и как переводы.
Так, [Fisher, 1922] – это оригинальная монография Фишера, а [Фишер,
1928] – сокращенный перевод её третьего, доработанного автором
издания. Работа [7] – исходный вариант руководства по индексу потребительских цен, [3] – его перевод (с незначительными сокращениями и исправлениями) на русский язык. При цитировании работ,
изданных на иностранных языках, такие ссылки указывают читателю
доступный перевод оригинала.

Книга предназначается для исследователей, преподавателей, аспи
рантов и студентов, специализирующихся на изучении экономической
и статистической теории в их изложении, активно и систематически
использующем математический инструментарий и предоставляемые
практической статистикой экономические данные, и применяющих
методы экономико-математического анализа и моделирования.

В 2009–2010 годы работа над книгой велась как часть работ Лабо
ратории макроструктурного моделирования экономики России по
Программе фундаментальных исследований Государственного университета – Высшей школы экономики.

Автор выражает благодарность к.э.н. Н.А. Толмачевой за постоян
ное сотрудничество и помощь в проведении расчетов.

Раздел I

Состояние классической теории индексов цен

и количеств и ее проблемы

Теория индексов цен и количеств в ее классической версии созда
валась как реакция на чрезвычайное разнообразие практически применяемых или рекомендуемых для такого применения индексных
формул. К началу XX века число таких формул для индексов цен уже
составляло несколько десятков. Большая часть из них вводилась в
процессе конкретных расчетов, рассматривалась предлагавшими их
статистиками, экономистами, общественными деятелями, чиновниками и даже деятелями церкви как инструмент, а не как объект анализа. Обзор таких расчетов и использовавшихся в них до возникновения соответствующей теории индексных формул содержится в
многочисленных публикациях, в том числе в изданных на русском
языке монографиях [Фишер, 1928], [Казинец, 1963], [Аллен, 1980],
[Ковалевский, 1989], [Кёвеш, 1990] и [Зоркальцев, 1996], посвященных всему комплексу вопросов, связанных с теорией индексов цен и
количеств. Библиографии работ по той проблематике были изданы
относительно давно ([Buckland, 1956], [Maunder, 1970]). Многообразие таких формул, предложенных и изучавшихся по состоянию на
начало ХХI века, иллюстрируется в Приложении 1, где также приводятся фамилии предлагавших эти формулы исследователей.

По-видимому, первые попытки изучения индексов с теоретических

позиций сделали Edgeworth, разрабатывавший вероятностную концепцию индексов, Westergaard, Walsh и Fisher, предлагавшие аксиомы-тесты, которым, по их мнению, должны удовлетворять индексные
формулы. Но базовой работой, положившей начало теории, стала монография Игвинга Фишера [Fisher, 1922], третье издание которой
(Fisher, 1927) было переведено на русский язык [Фишер, 1928]. Эта
монография основывалась на докладах автора, прочитанных им в 1920
и 1921 годах, и имела посвящение: «Ф.И. Эджуорсу и С.М. Уолшу,
пионерам теории индексов, посвящает автор».

Монография Фишера, оформившая статистическое направление

теории, привлекла внимание исследователей к проблеме теоретического обоснования индексных формул. В результате в период с
1924 года по 1929 год были опубликованы работы А.А. Конюса и
С.С. Бюшгенса ([Конюс, 1924], [Бюшгенс, 1925], [Конюс, Бюшгенс,
1926]), Хаберлера [Haberler, 1927], в которых формулировались исходные позиции так называемой экономической версии теории индексов, Дивизиа [Divisia, 1925–1926] и Монтгомери [Montgomery, 1929],
предложивших принципиально новые  методы конструирования индексных  формул для цен и количеств. Эти методы называют инте

гральными или функциональными, методом Дивизиа или, что, по нашему мнению, более точно отражает исходную идею Дивизиа и
Монтгомери, траекторным методом.

В течение XX века эти три направления развивались, в основном,

параллельно. Сторонники статистического и экономического направлений критиковали друг друга и, особенно, сторонников траекторной
версии. Такая критика позволила обнажить слабые стороны каждой из
версий теории, но не привела к какому-либо пониманию причин появления самих этих направлений, порождаемых различными задачами, решаемыми в рамках соответствующих версий теории.

В Разделе I этой монографии целью анализа является выявление

принципиальных различий исходных позиций и целей, характеризующих названные направления теории индексов, трудностей и проблем, с которыми они столкнулись в своем развитии и при практическом применении полученных в этих направлениях важнейших результатов, а также подготовка условий для выделения типовых ситуаций, для которых эта теория должна быть конкретизирована.

Изучение публикаций по этой проблематике показало, что в них

отсутствует объективный анализ состояния теории индексов, достигнутого к началу XXI века. В научной литературе на русском языке нет
работ, содержащих общий, могущий претендовать на полноту обзор
идей и результатов этих направлений. Посвященные индексам монографии отечественных авторов ([Адамов, 1977], [Бакланов, 1972],
[Виноградова, 1930], [Казинец, 1963], [Костюхин, 1960], [Курешева,
1982], [Маслов, 1953], [Никитин, 1965], [Перегудов, 1960], [Плошко,
1958], [Югенбург, 1958]) издавались, как правило, не позднее
1977 года и даже не касались многих разделов и аспектов версий теории. Они предназначались для читателей-практиков, использующих
элементарный математический инструментарий, и часто содержали
весьма субъективные, даже не вполне профессиональные оценки.
Упоминаемые работы почти не выходят за пределы содержания переведенных на русский язык и изданных обзорных монографий [Аллен,
1980] и [Кёвеш, 1990], которые, к сожалению, уже не дают достаточно
полного и адекватного изложения ключевых вопросов теории индексов и количеств, уже не говоря о решении возникших в ней проблем.
Заметим, что в этих монографиях, в частности, не нашли отражения
важные результаты, полученные в работах Монтгомери, Поллака,
Малмквиста, Лау, Балка, Стювела, Диверта, Рихтера, Вартиа, Сато,
Халтена, Хилла, Фогта, Айхорна, Африата, Ершова, Зоркальцева,
Шананина и ряда других исследователей.

В англоязычной научной литературе интерес к проблематике тео
рии индексов возобновился в 90-х годах прошлого века. Но в публикациях на русском языке, в том числе отечественных авторов, полу

ченные результаты почти не были освящены. Ведущими исследователями по этой проблематике, в том числе и в основном Вальтером Эрвином Дивертом (W.E. Diewert) и Бертом Балком (B.M. Balk), были
опубликованы циклы работ, подвoдящие, по их мнению, итоги исследований, выполненных различными авторами. При их непосредственном участии международными организациями были подготовлены
«Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика»
([3], [7]), в которых достижения теории индексов излагались преимущественно с позиций их практического использования в статистической практике. «Руководство» было издано на нескольких языках, в
том числе на английском, испанском, русском и французском, и они
доступны через интернет. Однако детальное изучение оригинальных

ния и перспективы ее развития отражены неполно, подчас односторонне, по ряду позиций нуждаются в уточнении, спорны, а иногда
ошибочны в теоретическом отношении.

В этих условиях упомянутые три направления детально, но с каче
ственных позиций, анализируются в главах 1, 2 и 3. При этом исчерпывающее изложение даже только работ, определяющих каждое из направлений, в этих главах не является нашей задачей. Детали технического характера можно найти в оригинальных публикациях, включенных в список работ к данной книге. Общие цели анализа были сформулированы во Введении. Но они требуют содержательной конкретизации
и обоснования, использующего выявляемые недостатки, противоречия
и нерешенные проблемы, присущие так называемой «классической
версии» теории индексов. Она, по нашему мнению, не представляет
собой единое, непротиворечивое целое. Глава 4 подводит итоги выполненного анализа и определяет направления и задачи исследований, преодолевающих разобщенность, несогласованность и даже противоречивость трех характеризуемых в главах 1, 2 и 3, доминирующих теоретических подходов к целям и методам индексного анализа.

ГЛАВА 1.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ

Это ранее других сформировавшееся направление в теории индек
сов можно и следует называть статистическим, поскольку оно в наибольшей степени соответствует пониманию и использованию индексов цен и количеств в прикладной экономической статистике. Оно
исходит из существования статистически измеряемых цен или индексов цен pi и количеств qi (i = 1, …, n) для n товаров, продуктов и услуг
(или их групп). В отличие от статистической практики это направле
публикаций, в том числе использованных при подготовке «Руковоства», показывает, что в них состояние теории индексов, направле