Вестник Донского государственного технического университета, 2013, № 5/6 (74)

ВЕСТНИК

ДОНСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО

ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

2013

№ 5/6 (74)

Учредитель — Донской государственный технический университет
Главный редактор — председатель Редакционного совета Б. Ч. Месхи
Редакционный совет:
И. С. Алиев (Украина), Л. К. Гиллеспи (США), И. А. Долгов, Я. Журек (Польша), Ю. Ф. Лачуга,
Г. Г. Матишов, Нгуен Донг Ань (Вьетнам)
Редакционная коллегия:
куратор
— И. В. Богуславский,

зам. главного редактора
— В. П. Димитров,

ответственный секретарь
— М. Г. Комахидзе

Технические науки:
ведущий редактор по направлению — В. Л. Гапонов
Редколлегия направления:
А. П. Бабичев, Г. И. Бровер, Ю. И. Ермольев, В. П. Жаров, В. Л. Заковоротный, В. А. Кохановский,
В. Ф. Лукьянов, Р. А. Нейдорф, Д. Я. Паршин, М. Е. Попов, А. А. Рыжкин, М. А. Тамаркин,
А. К. Тугенгольд, И. А. Хозяев, М. П. Шишкарёв
Физико-математические науки:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Севостьянов (США)
Редколлегия направления:
В. В. Илясов, А. А. Лаврентьев, И. Я. Никифоров, Д. А. Пожарский, А. Н. Соловьёв
Гуманитарные науки:
ведущий редактор по направлению — Л. А. Минасян
Редколлегия направления:
Т. А. Бондаренко, О. М. Морозова, Е. В. Муругова
Социально-экономические и общественные науки:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Котова
Редколлегия направления:
К. А. Бармута, Н. И. Басина, Н. Д. Елецкий, Н. Ф. Ефремова, Т. В. Симонян
Над номером работали: И. В. Бойко, М. П. Смирнова (англ. версия)
Подписано в печать 27.09.2013.
Формат 6084/8. Гарнитура Tahoma. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 24,8. Тираж 1000 экз. Заказ № 1009. Цена свободная.
Адрес редакции:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-565.
Адрес полиграфического предприятия:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-741, 2-738-322.
http://vestnik.donstu.ru
Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Донской государственный технический университет, 2013

Теоретический

и научно-практический журнал

Рекомендован ВАК для публикаций

основных научных результатов диссертаций

на соискание учёных степеней доктора

и кандидата наук (решение Президиума

ВАК Минобрнауки России

от 19 февраля 2010 года № 6/6)

Издаётся с 1999 г.

Выходит 8 раз в год

Июль — сентябрь 2013 г.

VESTNIK

of

DON STATE
TECHNICAL
UNIVERSITY

2013

№ 5/6 (74)

Founder — Don State Technical University
Editor-in-Chief — Editorial Board Chairman B. C. Meskhi
Editorial Board:
I. S. Aliyev (Ukraine), I. A. Dolgov, L. K. Gillespie (USA), Y. F. Lachuga, G. G. Matishov,
Nguyen Dong Ahn (Vietnam), J. Zurek (Poland)
curator
— I. V. Boguslavskiy,

deputy chief editor
— V. P. Dimitrov,

executive editor
— M. G. Komakhidze

Technical Sciences:
managing editor — V. L. Gaponov
Editorial Board:
A. P. Babichev, G. I. Brover, I. A. Khozyayev, V. A. Kokhanovskiy, V. F. Lukyanov, R. A. Neydorf,
D. Y. Parshin, M. E. Popov, A. A. Ryzhkin, M. P. Shishkarev, M. A. Tamarkin, A. K. Tugengold,
Y. I. Yermolyev, V. L. Zakovorotniy, V. P. Zharov
Physical and Mathematical Sciences:
managing editor — I. B. Sevostianov (USA)
Editorial Board:
V. V. Ilyasov, A. A. Lavrentyev, I. Y. Nikiforov, D. A. Pozharskiy, A. N. Solovyev
Humanities:
managing editor — L. A. Minasyan
Editorial Board:
T. A. Bondarenko, O. M. Morozova, E. V. Murugova
Socioeconomic and Social Sciences:
managing editor — I. B. Kotova
Editorial Board:
K. A. Barmuta, N. I. Basina, T. V. Simonyan, N. F. Yefremova, N. D. Yeletskiy
The issue is prepared by: I. V. Boyko, M. P. Smirnova (English version)
Passed for printing 27.09.2013.
Format 6084/8. Font «Tahoma». Offset printing.
C.p.sh. 24.8. Circulation 1000 cop. Order 1009. Free price.
Editorial Board’s address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-85-65
Printery address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-87-41, 273-83-22
http://vestnik.donstu.ru
Registration certificate ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Don State Technical University, 2013

Theoretical

and scientific-practical journal

Recommended by the State

Commission for Academic Degrees and Titles
for publications of the thesis research results

for Doctor’s and Candidate Degree (the solution

of the Presidium of the State Commission

for Academic Degrees and Titles

of the Russian Education and Science Ministry,

February 19, 2010, № 6/6)

Founded in 1999

8 issues a year

July — September 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Васильев А. С., Садырин Е. В., Васильева М. Е. Кручение упругого полупространства с 
многослойным покрытием периодической структуры..........................................................
6

Митрин Б. И., Волков С. С. Распределение контактных напряжений под круговой пластиной, лежащей на мягком слое...........................................................................................
14

Соболь Б. В., Краснощёков А. А. Влияние тонкой накладки на коэффициент интенсивности напряжений в задачах о поперечной трещине в полуплоскости и полосе .......................
25

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Ахвердиев К. С., Мукутадзе М. А., Новгородова В. С., Черкасова Т. С. Гидродинамический расчёт двухслойного пористого подшипника бесконечной длины с учётом анизотропии проницаемости пористого слоя и сил инерции.............................................................
36

Белушкина Г. В., Васильченко М. В., Лопаткина Н. А., Хафизьянова О. Э. Об исследовании математической модели успешности обучения и создании базы психологических 
данных для апробации модели..........................................................................................
44

Бережной С. Б., Война А. А., Курапов Г. В. Эвольвентные звёздочки цепных передач с 
зубчатой цепью ...............................................................................................................
53

Боран-Кешишьян А. Л. Анализ надёжности технических средств сложных человеко-машинных систем при известных законах распределения времени до отказа элементов...........
59

Борисова Л. В., Нурутдинова И. Н., Димитров В. П. О теоретико-игровом подходе к 
задачам технологической регулировки машин....................................................................
68

Варавка В. Н., Чеботарёв С. Н., Пащенко А. С., Ирха В. А. Получение фотоактивных 
структур Si(n+)/Si(p)/Si(p+) методом ионно-лучевой кристаллизации....................................
77

Воржев В. Б., Калиенко И. В. Применение математической регрессии для определения 
параметров трёхфазного асинхронного двигателя..............................................................
85

Досов В. Е. Оценка уровней шума, создаваемого фрезами при обработке колёсных пар ......
91

Заковоротный В. Л., Фам Тху Хыонг. Параметрическое самовозбуждение динамической 
системы резания..............................................................................................................
97

Зиборов Е. Н., Соловьёв А. Н. Конечноэлементное моделирование усталостной прочности 
композитного материала ..................................................................................................
104

Кипнис И. А., Вернигоров Ю. М. Математическая модель подъёма воды в простых криволинейных капиллярах ......................................................................................................
110

Козлюк В. В., Чукарин А. Н. Экспериментальные исследования спектров шума и вибрации 
в рабочей зоне электрогидроимпульсного пресса...............................................................
120

Лапшин В. П., Туркин И. А. Влияние свойств сервопривода шпинделя на динамику сверления глубоких отверстий малого диаметра.......................................................................
125

Луконин А. Ю. Анализ контактных давлений при статическом нагружении зубчатых передач эллиптического и эвольвентного типа .........................................................................
131

Подуст С. Ф. Влияние волнообразного износа рельса на виброакустические характеристики 
при движении подвижного состава ...................................................................................
137

Проскорякова Ю. А., Мотренко П. Д. Система шумозащиты оборудования центробежной 
обработки труб лонжеронов вертолётов............................................................................
144

Сидоренко В. С., Ле Чунг Киен. Моделирование динамической системы линейного позиционного гидропривода подачи агрегатной сверлильной головки станка .............................
153

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Аникина Н. А., Мясоедова Л. В. Учёт уровня существенности в процессе оценки деловой 
репутации методом дисконтированных будущих денежных потоков.....................................
160

Анисимов Е. Г., Сауренко Т. Н. Методологические основы создания экономических объединений государств........................................................................................................
168

Безъязычный В. Ф., Ильина М. Е. Система менеджмента качества предприятия, ориентированная на человека: управление несоответствующей продукцией и утилизация............
175

Тихонова Ж. С. Государственное экологическое регулирование и контроль обращения 
промышленных отходов в Ростовской области ...................................................................
182

Сведения об авторах....................................................................................................
190

CONTENT

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Vasilyev A. S., Sadyrin E. V., Vasilyeva M. E. Torsion of elastic half-space with multilayered 
coating of periodic structure................................................................................................
6

Mitrin B. I., Volkov S. S. Contact stress distribution under circular plate on a soft layer ............
14

Sobol B. V., Krasnoshchekov A. A. Thin plate effect on stress intensity factor in problems on 
transverse crack in half-plane and stripe...............................................................................
25

TECHNICAL SCIENCES

Akhverdiyev K. S., Mukutadze M. A., Novgorodova V. S., Cherkasova T. S. Hydrodynamic 
calculation of two-layer porous bearing of infinite length with account for permeability anisotropy 
of porous layer and inertia forces.........................................................................................
36

Belushkina G. V., Vasilchenko M. V., Lopatkina N. A., Khafizyanova O. E. On study of 
training success mathematical model and of creating psychological database for model testing.....
44

Berezhnoy S. B., Voyna A. A., Kurapov G. V. Involute chain transmission sprockets ..............
53

Boran-Keshishyan A. L. Reliability analysis of complex man-machine system technique under 
known distribution laws of time to component failure..............................................................
59

Borisova L. V., Nurutdinova I. N., Dimitrov V. P. On game-theory approach to process machine 
adjustment problems..........................................................................................................
68

Varavka V. N., Chebotarev S. N., Pashchenko A. S., Irkha V. A. Derivatization of photoactive structures Si(n+)/Si(p)/Si(p+) through ion-beam crystallization ...........................................
77

Vorzhev V. B., Kaliyenko I. V. Application of mathematical regression to three-phase asynchronous motor parameters determination............................................................................
85

Dosov V. E. Noise rating under wheel-set processing by cutters..............................................
91

Zakovorotniy V. L., Pham T. H. Parametric self-excitation of cutting dynamic system ..............
97

Ziborov E. N., Solovyev A. N. Finite element modeling of composite material fatigue strength ..
104

Kipnis I. A., Vernigorov Y. M. Water rise mathematical model in simple curvilinear capillaries...
110

Kozlyuk V. V., Chukarin A. N. Experimental studies of noise and vibration in hydroelectropulse 
press working area ............................................................................................................
120

Lapshin V. P., Turkin I. A. Effect of spindle servo drive properties on drilling dynamics of deep 
pinholes...........................................................................................................................
125

Lukonin A. Y. Contact pressure analysis under static loading of elliptical and involute gears .......
131

Podust S. F. Rail corrugation effect on vibroacoustic properties under stock operation ...............
137

Proskoryakova Y. A., Motrenko P. D. Noise protection equipment system for centrifuging helicopter spar tubes ..............................................................................................................
144

Sidorenko V. S., Le T. K. Simulation of linear position hydraulic drive for machine power drill 
feed ................................................................................................................................
153

SOCIOECONOMIC AND SOCIAL SCIENCES

Anikina N. A., Myasoyedova L. V. Materiality level accounting under business reputation assessment by future discount cashflow technique....................................................................
160

Anisimov E. G., Saurenko T. N. Methodological basis for creation of economic unions .............
168

Bezyazychny V. F., Ilyina M. E. Human-oriented quality management system of enterprise: 
control of non-conforming product and utilization...................................................................
175

Tikhonova Z. S. State environmental regulation and industrial waste handling control in Rostov 
Region.............................................................................................................................
182

Index.............................................................................................................................
194

Физико-математические науки

6

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3
DOI: 10.12737/1275

Кручение упругого полупространства с многослойным покрытием 
периодической структуры*

А. С. Васильев, Е. В. Садырин
(Донской государственный технический университет),
М. Е. Васильева
(Ростовский государственный университет путей сообщения)

Рассмотрена осесимметричная задача теории упругости о кручении недеформируемым круглым штампом 
упругого полупространства с неоднородным по глубине покрытием периодической структуры. Покрытие 
представляет собой многослойный пакет с чередующимися мягкими и жёсткими слоями, при этом границы 
слоёв могут быть как чёткими (кусочно-постоянное изменение модуля сдвига), так и сглаженными (непрерывно-неоднородные покрытия). Построено приближённое аналитическое решение задачи высокой точности, эффективное для любых толщин покрытий. Изучено влияние числа слоёв и характера неоднородности 
покрытия на трансформанту ядра интегрального уравнения и на распределение контактных напряжений под 
штампом. Показано, что при определённых параметрах задачи достигается существенное различие между 
результатами для непрерывного и скачкообразного характера изменения модуля сдвига по глубине.
Ключевые слова: кручение, многослойные покрытия, слоистые композиты.

Введение. Многослойные покрытия активно используются для создания современных жаропрочных, абразиво- и эрозионностойких покрытий на поверхности элементов газовых и паровых турбин, деталей машин. Разработан ряд технологий, позволяющих создавать слоистые композиции 
из чередующихся слоёв различных материалов, в которых толщина слоя может составлять менее 
100 нм при общем их количестве до нескольких тысяч [1]. Это газотермическое напыление (в 
частности, вакуумно-плазменное) и различные способы эпитаксиального нанесения (осаждения 
из газовой или водной среды). В качестве компонентов покрытия могут быть использованы различные металлы и сплавы, а в случае эпитаксии — полимерные материалы.

В работе [2] рассмотрены многослойные покрытия периодической структуры (чередующи
еся слои из алюминия и палладия) со сглаженными границами между слоями. На основании экспериментальных результатов показана перспективность использования подобных покрытий для 
защиты от разрушения при механическом воздействии.

В настоящей работе анализируются механические характеристики контактного взаимодей
ствия непрерывно-неоднородных и многослойных покрытий периодической структуры, возникающие при кручении упругого однородного полупространства с покрытием недеформируемым
круглым штампом.

Задача о кручении однородного упругого полупространства круглым штампом впервые 

была сформулирована и решена в динамической постановке Рейснером и Сагочи [3]. Снеддон [4], 
с использованием техники интегральных преобразований, свёл данную задачу к решению интегрального уравнения.

* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (ГК № 11.519.11.3015, соглашение 
№ 14.В37.21.1131) и РФФИ (гранты № 12-07-00639-а, 13-07-00954-а).

Вестник ДГТУ. 2013. № 5/6 (74)

7

В. Д. Грилицкий [5] построил решение задачи о кручении круглым штампом изотропной 

двухслойной среды и ортотропного упругого слоя в виде степенного ряда от отношения толщины 
первого слоя к радиусу штампа.

В работе [6] построено решение задачи о кручении для упругого трансверсально
изотропного полупространства с неоднородным по глубине трансверсально-изотропным покрытием. Решение эффективно для всего набора физических и геометрических параметров задачи.
Постановка задачи и построение решения. Недеформируемый круглый штамп с плоским основанием жёстко сцеплен с верхней гранью Γ упругого неоднородного полупространства Ω , состоящего из неоднородного по глубине покрытия толщины H и однородного полупространства 
(подложки). С полупространством связана цилиндрическая система координат r, φ, z; ось z
нормальна плоскости Г и проходит через центр штампа, координата r отнесена к радиусу штампа 
a. Штамп контактирует с полупространством по поверхности 
0,
1
z
r


. К штампу приложен 

крутящий момент M , ось которого совпадает с осью z . Под действием этого момента штамп повернётся относительно оси z на угол ε , вызвав деформацию кручения полупространства Ω . 
Модуль сдвига полупространства изменяется с глубиной по закону

 
 ,
0

,

s

s

G f
z
H
z
G z

G
z
H






 
 
 


, 
,
s
G
const


где f (z) — непрерывно-дифференцируемая или кусочно-постоянная функция.

Учитывая, что слой подвержен лишь деформации скручивания, ненулевым является лишь 

смещение вдоль оси φ:



φ
φ
0,   
,
z
r
u
u
u
u
r z



.

Вне штампа плоскость Γ
не нагружена. При сделанных предположениях граничные условия 

имеют вид:

:

φ

φ

τ
0,
1,

0
 σ
τ
0,  

ε,
1.

z

z
rz

r

z

u
r
r












При
 
r
и z   напряжения исчезают.

Считаем, что перемещения и напряжения сопрягаются на границе между покрытием 

(верхний индекс (1)) и подложкой (верхний индекс (2)):

 
 
 
 
1
2
1
2

φ
φ
φ
φ
:
  τ
τ
,   
z
z
z
H
u
u
 


.

Требуется определить закон распределения контактных касательных напряжений под штампом

 
φ
0
τ
τ
,   
1
z
z
r
r
 

.

Используя технику интегральных преобразований, поставленную задачу можно свести к решению 
следующего интегрального уравнения:

 
 




 

1

1
1

1
1

0
0

τ ρ ρ
λ
ρλ
ρ
λ
0
ε,   
1
L u J
ur
J
u
dud
G
r
r









,
(1)

где λ
H a

— безразмерный геометрический параметр задачи, характеризующий относительную 

толщину покрытия;
 
1
J
x
— функция Бесселя 1-го рода; L(u) — трансформанта ядра инте
грального уравнения, которая строится численно [6].

С использованием двухстороннего асимптотического метода решения парных интеграль
ных уравнений [7] можно построить приближённое решение задачи в аналитическом виде [6]:

 
 
 





1
1
1

1

2
2
2
2
1

sh
λ
ch
λ
4
τ
ε
0
0
 
π
λ
1
1

N
i
i
i

N
i

i
r

A
A
t
A
r
r
G
L
C
tdt
r
r
r
r
t
r



































.
(2)

Физико-математические науки

8

где постоянные Ci определяются из системы линейных алгебраических уравнений:






 

1
1
1

2
2
2
2

1

ch
λ
sh
λ
1
λ
λ
0,

0
λ

N
i
i
k
i
k

i

i
k
i
N
k

A
A
B
A
B
C

B
A
L
B
















1,2,
,
;
k
N



LN (u) — аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения (1) выражением:

 

2
2

2
2

1

,
,

N

i

N
i
i

i
i

u
A
L
u
A B
C

u
B








.
(3)

Решение (2) является асимптотически точным при λ → 0 или λ → ∞ [7]. Точность решения для 
произвольного значения λ зависит от точности аппроксимации трансформанты ядра функцией
(3). Алгоритм построения аппроксимаций высокой точности и связь между погрешностями решения и аппроксимации описаны в работе [8].

Далее будем полагать, что функцию f (z), определяющую изменение модуля сдвига в по
крытии, описывает один из следующих законов:

1)
 



0
0

1

1
1 cos 2π
2
2

f
f
f
z
kz




,
2)
 



0
0

2

0
0

1
1 cos 2π
2
2

f
f
f
z
kz
f
f





,

3)
 

0
1

3

1

,

1,
,0

f
z
Z
f
z
z
H
Z



 
 







,
4)
 

0
1

4

1

1
,

1,
,0

f
z
Z
f
z
z
H
Z



 
 







,

1

1

0

4
1
4
3
,
4
4

k

j

j
j
Z
H
H
k
k

















.

В покрытиях 1—4 мягкие «слои» чередуются с жёсткими (рис. 1). Упругие свойства в покрытиях 1 
и 2 меняются непрерывно, в покрытиях 3 и 4 слои имеют чёткую границу. Параметр k соответствует количеству периодов отрезка синусоиды, описывающей покрытия 1 и 2. Покрытия 3 и 4 
представляют собой пакет из (2k + 1) слоя. В покрытиях 1 и 3 (2 и 4) модуль сдвига больше 
(меньше) либо равен модулю сдвига подложки на всём интервале 
,0
z
H
 



 .

Рис. 1. Графики изменения модуля сдвига по глубине. Сплошные линии соответствуют покрытиям 1 и 2,

пунктирные — покрытиям 3 и 4

Показатель неоднородности


0
const
1
f
характеризует отношение модуля сдвига на 

поверхности Г к модулю сдвига подложки. Ограничимся рассмотрением случая 
0
7 2
f

, что соот
ветствует, например, сочетанию мягкого (алюминий, серебро, медь, свинец и т. д.) и жёсткого 
(железо, сталь, палладий, молибден и т. д.) металлов.

Вестник ДГТУ. 2013. № 5/6 (74)

9

Анализ трансформант ядер интегрального уравнения. На рис. 2 изображены трансформанты ядер для законов 1—4 при k = 1, 10, 50. Из графика видна динамика изменения трансформанты ядра при увеличении числа слоёв.

Рис. 2. Трансформанты ядер для законов 1—4 при k = 1, 10, 50. Сплошные линии соответствуют законам 1 и 2,

пунктирные — законам 3 и 4

Отметим свойства, общие для слоистых и непрерывно-неоднородных (функционально
градиентных, ФГ) покрытий:
1) трансформанты ядер при всех значениях k имеют одну точку экстремума, обозначим её u0. Для 
законов 2 и 4 — это точка максимума, для законов 1 и 3 — минимума;
2) при увеличении числа слоёв (параметр k) точка экстремума u0 сдвигается вправо по оси u;
3) значение экстремума трансформанты ядра L(u0) удаляется от 1 (для законов 2 и 4 увеличивается, для законов 1 и 3 — уменьшается) при увеличении k. При этом значения экстремума при 
k = 10 и k = 50 близки, т. е. можно предположить, что они сходятся к некоторому пределу;
4) при увеличении k расширяется диапазон значений u, в которых значение трансформанты существенно отличается от 1.

Можно заметить ряд качественных отличий трансформант, соответствующих слоистым и 

ФГ покрытиям:
1) при u < 0,5 трансформанты для законов 1 и 2 практически не изменяются с увеличением параметра k, в то время как графики трансформант ядер для законов 3 и 4 сдвигаются вправо вдоль 
оси u, приближаясь к некоторому пределу;
2) экстремальные значения трансформант (L(u0)) для слоистых покрытий, больше, чем для ФГ;
3) для слоистых покрытий L(u) стремится к 1 при u → ∞ быстрее, чем для ФГ.
Анализ контактных напряжений. Таблица 1 содержит величины погрешности аппроксимации 
трансформант ядер выражениями (3) для законов 1—4, где погрешность определяется формулой:

 
 
Δ
max
1 100 %.
L
N
L
u
L u




Таблица 1

Погрешность аппроксимации трансформант ядер для законов 1—4

k = 1
k = 2
k = 4
k = 10
k = 50

закон 1
0,32 %
0,26 %
0,5 %
0,19 %
1,1 %

закон 2
0,53 %
0,58 %
0,47 %
0,19 %
0,52 %

закон 3
0,16 %
0,20 %
0,34 %

закон 4
0,18 %
0,33 %
0,43 %

Физико-математические науки

10

Из значений таблицы видно, что построены аппроксимации высокой точности для всех 

рассматриваемых законов и значений параметра k, следовательно, погрешность построенных 
решений мала.

Введём величину:




 
τ
λ,
τ λ,
τ
rel
hom
r
r
r

, где


τ λ,r
— контактные напряжения под 

штампом для покрытий 1—4;
 
τhom r
— контактные напряжения, возникающие в однородном 

полупространстве с модулем сдвига, равным значению модуля сдвига на поверхности покрытий 
1—4, то есть G = G(0).

Величина 


τ
λ,
rel
r
наглядно демонстрирует отличие контактных напряжений, возникаю
щих на поверхности неоднородного и однородного полупространств, и, в отличие от 

τ λ,r
, не 

имеет особенности при r = 1. Из физического смысла поставленной задачи следует, что для по
крытий 1—4 выполнено


τ
λ,
1
rel
r

, при λ → 0 или λ → ∞.

На рис. 3 изображена зависимость величины 


τ
λ,
rel
r
для покрытий 1, 2 при k = 1, 2, 10 

и покрытий 3, 4 при k = 10 от параметра λ в точке r = 0,5. Численный эксперимент показал, что 

графики для любого фиксированного
0..0,99
r  


 качественно не отличаются от приведённых 

на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость относительных контактных напряжений от параметра λ при r = 0,5

Отметим свойства контактных напряжений для покрытий 1—4, вытекающие из рис. 3:

1) величины


τ
λ,
rel
r
и 

τ λ,r
при фиксированном r имеет одну точку экстремума (обозначим 

её λ0);
2) при увеличении k точка экстремума λ0 сдвигается вправо по оси λ. Это означает, что максимальное отличие контактных напряжений для неоднородных покрытий 1—4 и контактных напряжений, возникающих в однородном полупространстве, при увеличении k достигается для всё более толстых покрытий;
3) при увеличении k значение экстремума функции 


0
τ
λ ,
rel
r
удаляется от 1 (для закона 2 уве
личивается, для закона 1 — уменьшается);

4) при увеличении параметра k расширяется диапазон λ, в котором значение 


τ
λ,
rel
r
суще
ственно отличается от 1 (диапазон λ, где распределение контактных напряжений существенно