Режимы с обострением: эволюция идеи

Режимы с

обострением:
эволю ция идеи

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.9, 519.6
ББК 22.161, 22.19
Р 33

Режимы с обострением: эволюция идеи / Под ред. Г.Г. Малинецкого. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. —
312 с. — ISBN 5-9221-0768-2.

Рассматривается один из бурно развивающихся разделов самоорганизации — синергетики — теория нестационарных диссипативных
структур. Эти структуры являются типичными для многих нелинейных
сред с положительной обратной связью. Они обладают многими парадоксальными свойствами — пространственной локализацией, возможностью строить на их основе сложные организации в диссипативных
средах.
Для студентов-старшекурсников, аспирантов, специалистов и просто интересующихся задачами теории самоорганизации систем, прогнозами катастрофических явлений.
Ил. 152.

ISBN 5-9221-0768-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ В.С. Курдюмов, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие кo второму изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Из предисловия к первому изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
I. Режимы с обострением, инерция тепла, нестационарные диссипативные структуры (рождение идеи) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Тихонов А. Н., Самарский А. А., Заклязьминский Л. А., Волосевич П. П.,
Дегтярев Л. М., Курдюмов С. П., Попов Ю. П., Соколов B. C., Фаворский А. П. Нелинейный эффект образования самоподдерживающегося высокотемпературного электропроводного слоя газа в нестационарных процессах магнитной гидродинамики. .. . . . . . . . . .. .
32
Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Самарский А. А., Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П.
Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной
теплопроводностью и объемными источниками тепла. .. . . . . . . . . .
61
Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А.
Локализация термоядерного горения в плазме с электронной теплопроводностью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
68
Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П.
Локализация процессов диффузии в средах с постоянными свойствами. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А.
Об одном подходе к сравнению решений параболических уравнений
78
Еленин Г. Г., Плохотников К. Э. Об одном способе качественного исследования одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности
с нелинейным источником тепла. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П., Самарский А. А. Взаимодействие диссипативных тепловых структур
в нелинейных средах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Диссипативные структуры в неоднородной нелинейной горящей среде . .
111
Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейных двухкомпонентных средах с объемными источниками . .. . . . . . . . . . . . . . . .
119
II. Собственные
функции
нелинейной
среды (теория сложных
нестационарных структур) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
Самарский А. А., Еленин Г. Г., Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур . .. . .
126

Содержание

Курдюмов С. П., Куркина Е. С., Потапов А. Б., Самарский А. А. Aрхитектура многомерных тепловых структур . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. О приближенном исследовании симметричных локализованных структур . .. . . . . . . . . .
143
Бакирова М. И., Димова С. Н. (НРБ), Дородницын В. А., Курдюмов С. П.,
Самарский А. А., Свирщевский С. Р. Инвариантные решения уравнения теплопроводности, описывающие направленное распространение
горения и спиральные волны в нелинейной среде . .. . . . . . . . . . . .
149
Димова С. Н. (НРБ), Касчиев М. С., Колева М. Г., Василева Д. П. (НРБ).
Численное исследование радиально-несимметричных структур в нелинейной теплопроводной среде . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
157
Куркина Е. С., Курдюмов С. П. Спектр диссипативных структур, развивающихся в режиме с обострением . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
III.
Математический
аппарат
теории
нестационарных
структур
(симметрии, теоремы сравнения, точные решения) . . . . . . . . . .
178
Дородницын В. Л. Разностные аналоги теоремы Э. Нётер . .. . . . . . . . . .
178
Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А.
О неограниченных решениях полулинейных параболических уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
198
Галактионов В. А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями . .. . . . . . . .
226
IV. Развитие и приложение теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
Керкис А. Ю., Соколов B. C., Трынкина Н. А., Фомичев В. П. Экспериментальное исследование эффекта токового слоя. .. . . . . . . . . . . . .
245
Захаров А. И., Клавдиев В. В., Письменный В. Д., Ротхардт Л., Саенко В. Б., Старостин А. Н., Ян Г. Экспериментальное наблюдение
T -слоев в движущейся плазме, взаимодействующей с магнитным
полем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Кириченко Н. А. Локализованные нестационарные структуры в задачах
лазерной термохимии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
Ахромеева Т. С., Бункин Ф. В., Кириченко Н. А., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. О некоторых свойствах математической модели лазерного нагрева металлов в воздухе . .. . . . . . . . . . .
268
Капица С. П. Cинергетика и демография . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
V. Приложения . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
Малинецкий Г. Г. Научное творчество С. П. Курдюмова и теория режимов
с обострением . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
Избранные труды С. П. Курдюмова . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302

Предисловие кo второму изданию

Режимы с обострением. Новые горизонты

Г. Г. Малинецкий

Совершенствования науки следует ждать не
от способности или проворства какого-нибудь
отдельного человека, а от последовательной
деятельности многих поколений, сменяющих
друг друга.
Ф. Бэкон

Развитие традиции. С момента первого издания книги «Режимы
с обострением» [1] прошло несколько лет. За это время и в самой
теории, и в ее приложениях удалось значительно продвинуться вперед.
И среди сделанного трудно даже упомянуть все наиболее интересные
исследования. Поэтому, оглядываясь на эти годы, проще поступить
иначе. Так, как советовал во время подготовки обзорных докладов поступать Сергей Павлович — в одной части выделить то, что развивает
традицию, что позволяет ответить на уже заданные вопросы. В другой — обсудить новые идеи, взаимосвязи, проблемы, появляющиеся
в обсуждаемой области.
Начать, наверно, следует с того, что значение теории режимов
с обострением в эти годы росло. Почему? В одной из недавно вышедших книг в серии «Синергетика: от прошлого к будущему» профессор
Д. С. Чернавский охарактеризовал синергетику, как «науку о неустойчивых процессах» [2]. Однако неустойчивости, характерные для линейных систем, связаны с экспоненциальным ростом (или с ростом по
закону геометрической прогрессии в дискретном времени).
Более глубокое понимание реальности связано с исследованием
нелинейных систем. Простейший признак нелинейных систем — возможность более быстрого отклонения от состояния равновесия, взрывной рост, происходящий не за бесконечное (как для линейных систем),
а за конечное время. Но именно такие объекты и являются предметом
исследования теории режимов с обострением.
Традиционная проблематика теории режимов с обострением, как
математической теории, связана с компьютерным исследованием нелинейных математических моделей, для которых характерны решения,
несуществующие в целом, а также с получением априорных оценок для
времени обострения.
Сергей Павлович стремился вовлечь в развитие теории друзей,
коллег, физиков-экспериментаторов, которые могли бы проверить предсказания теории. И это давало в прошлом и дает сейчас свои плоды.

Предисловие кo второму изданию

Профессор Алексей Георгиевич Свешников — создатель научной
школы в области математической теории дифракции, много лет заведовавший кафедрой математики физического факультета МГУ, —
вспоминает, что именно после одной из бесед с Сергеем Павловичем
у него возник интерес к математическим аспектам теории режимов
с обострением.
Одним из важных результатов, полученных в этой области, стала
теория разрушения решений нелинейных краевых задач для нелинейных уравнений псевдопараболического типа.
В рамках этих исследований, в частности, рассматриваются следующие уравнения:

∂
∂t

Δϕ + div
|∇ϕ|p−2 ∇ϕ
− |ϕ|q1 ϕ
+ ∂ϕ

∂x + ϕ∂ϕ

∂x +

+ a div
|∇ϕ|2 ∇ϕ
+ λ |ϕ|q2 ϕ = 0,
(1)

∂
∂t

−Δ2ϕ + Δϕ + div
|∇ϕ|p1−2 ∇ϕ
+ ∂ϕ

∂x + ϕ∂ϕ

∂x −

− div
|∇ϕ|p2−2 ∇ϕ
= 0.
(2)

Эта теория была построена А. Г. Свешниковым и его учениками [3, 4]. Одним из них — М. О. Корпусовым — в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН была в 2005 г. защищена
докторская диссертация, посвященная этому важному и интересному
классу объектов. Уравнения вида (1) возникают при математическом
моделировании пробоя в полупроводниках. В частности, в этих моделях рассматривается отрицательная дифференциальная проводимость
среды. Замечательным свойством весьма сложных математических
объектов такого типа является существование некоторого энергетического функционала. Оценивая изменение со временем этой «обобщенной энергии», удается доказать, что решение соответствующего
уравнения в частных производных существует конечное время.
Как правило, после того как для какой-то модели удается выявить
неустойчивость, приводящую к режиму с обострением, начинаются
поиски объекта, для которого этот эффект мог бы быть исследован
экспериментально. Для обсуждаемых уравнений псевдопараболического типа этот этап оказался уже пройден [5, 6]. В тесном сотрудничестве
с экспериментаторами удалось показать, что полученные оценки для
времен обострения соответствуют значениям, наблюдаемым при пробое
реальных полупроводников.
В исследовании модели тепловых структур — классический объект
теории режимов с обострением — вычислительный эксперимент стимулировал теорию. До получения строгих результатов и особенности
нестационарных диссипативных структур, и эффекты локализации были поняты на основе многочисленных компьютерных расчетов. Любо

Предисловие кo второму изданию
7

пытно, что для модели (1) ситуация оказалась иной — теория намного
опередила вычислительный эксперимент.
Другое традиционное направление связано с построением двух и
трехмерных автомодельных решений вида

T (r, t) = g(t) · f(r/ϕ(t))
(3)

для модели тепловых структур

∂T
∂t = div (k0 T σ grad T ) + q0T β,
(4)

играющей ключевую роль в теории режимов с обострением. Эти решения описывают сходящиеся к центру симметрии тепловые волны
растущей амплитуды. Функция g(t) описывает закон роста амплитуды,
ϕ(t) — полуширины, f(ξ) — форму решения.
Поиск таких решений связан с решением сложной нелинейной
эллиптической задачи. Принципиальным шагом в решении этой задачи
было применение техники продолжения решения по параметру (например, β или σ). Работа С. П. Курдюмова и Е. С. Куркиной, описывающая предложенный вычислительный алгоритм и ряд принципиальных
результатов, связанных с его применением, представлена в настоящей книге.
С выяснением свойств таких автомодельных решений — так называемых собственных функций нелинейной среды — С. П. Курдюмов связывал законы организации процессов в нелинейных средах. Под законами организации понимаются правила, по которым простые структуры
могут быть объединены в сложные. При таком взгляде объединение
должно быть таким, чтобы разные части сложной структуры развивались в одном темпе, с одним моментом обострения.
Почему эта задача, которой занимались и продолжают заниматься более 30 лет, представляется столь важной? Одним из триумфов
современной науки в целом и математической физики, в частности,
представляется квантовая механика. Собственные функции, определяющие решения уравнения Шрёдингера, позволяют найти уровни
энергии атомов, описать и до некоторой степени понять дискретность,
возникающую при исследовании объектов микромира.
Однако уравнение Шрёдингера — линейный объект, что многократно упрощает его математическое исследование. В то же время
в современной физике все большую роль начинают играть нелинейные
теории. И для их успешного развития было бы очень важно знать
свойства хотя бы простейших нелинейных сред. Представление о них
и дает модель (4).
И здесь встает еще один глубокий вопрос, связанный с определением того уровня организации, на котором появляются диссипативные
свойства материи, появляется необратимость. Традиционный взгляд
теоретической физики связан с представлением о том, что законы микромира обратимы, поэтому фундаментальные уравнения должны быть

Предисловие кo второму изданию

гамильтоновыми. При этом необратимость возникает, как показывает
классическая статистическая физика, на макроуровне.
Но есть и другая точка зрения. Ее придерживался Сергей Павлович.
По его мнению, фундаментальные уравнения должны описываться диссипативными системами, где уже определено направление движения
времени. А тому, в такой интерпретации должна была бы соответствовать некоторая диссипативная структура в нелинейной горящей
среде. Любопытно, что линеаризованное уравнение для собственных
функций нелинейной среды для определенного класса сред сводится
к стационарному уравнению Шрёдингера.
Этот подход не раз обсуждался на семинарах в Институте прикладной математики. Оппонентом Сергея Павловича часто выступал
академик Яков Борисович Зельдович, считавший, что гамильтонова
структура уравнений принципиальна и что квантовая механика слишком хороша для радикальных изменений.
С другой стороны, существует необратимость в самом процессе
наблюдения объектов микромира. Наблюдение за микрообъектом, процедура измерения связана с тем, что из вероятностного мира мы каким-то образом начинаем влиять на макроскопический объект, который
необратимо меняет свое состояние. Но макрообъект также должен
подчиняться законам квантовой механики. Откуда же берется необратимость?
Это — фундаментальный вопрос, на который у современной науки
пока нет хорошего ответа.
Поэтому особенно интересны поиски ответа на него, которые ведутся на основе представлений нелинейной динамики и синергетики. Как
показывает опыт исследований многих модельных систем, накопленный
синергетикой, для последних характерна чувствительность по отношению к начальным данным и чувствительность по отношению
к параметрам. Первая приводит к тому, что во многих задачах возникает горизонт прогноза — принципиальное ограничение для предсказания будущей динамики, а также теряет смысл отдельная траектория.
Второе свойство делает измерение вероятностным. Параметрическая
неустойчивость заставляет мерить характеристики системы не точно
при данном значении параметра, а в некоторой окрестности этого значения. Появляется необходимость осреднять, а с ней и необратимость.
Такой взгляд на необратимость развивает профессор Д. С. Чернавский
в динамической теории информации [2].
По мнению одного из создателей синергетики, нобелевского лауреата И. Р. Пригожина, диссипативные члены должны присутствовать
непосредственно в уравнениях микроскопической динамики. Свои надежды на создание соответствующего математического аппарата исследователь возлагал на теорию линейных несамосопряженных операторов [7]. Работы в этом направлении он и представители его научной
школы более 10 лет вели совместно с учеными Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Предисловие кo второму изданию
9

В последние годы развивались и намного более радикальные концепции, претендующие на объяснение процесса редукции волнового
пакета. Выдающийся английский математик Роджер Пенроуз выдвинул
тезис о неполноте квантовой механики. Он выдвинул гипотезу о так
называемой «объективной редукции» (в противовес «субъективной»,
связанной с процессом наблюдения) [8]. Объективная редукция, по его
мнению, должна иметь место в ансамбле взаимодействующих квантовых объектов, если энергия всей системы достаточно велика, либо
если «ее слишком долго не наблюдали». В этом случае становятся
существенными такие эффекты, которые должна была бы рассматривать теория квантовой гравитации. Они в конце концов приводят
к тому, что происходит редукция — квантовая система оказывается
в некотором «классическом состоянии». По мнению Р. Пенроуза именно
объективная редукция играет ключевую роль в феномене сознания.
В настоящее время началась работа по экспериментальной проверке
выдвинутого подхода.
Другой радикальный подход связан с попыткой объяснить, почему
микрочастица, будучи описываема волновым пакетом, регистрируется в одном а не в нескольких детекторах. Этот подход, связанный
с представлением о скрытом времени, развивает сотрудник отдела
нелинейных процессов и синергетики ИПМ им. М. В. Келдыша РАН
П. В. Куракин [9]. По его теории, в «скрытом времени» развертывается процесс выбора между различными детекторами, которые могут
зарегистрировать микрочастицу. И только затем начинается движение
микрообъекта в реальном времени.
В последнее десятилетие происходит широкое обсуждение научным
сообществом классического квантово-механического парадокса Эйнштейна–Подольского–Розена, возрождается интерес к основам квантовой механики. Во многом это стимулируется развитием теории квантовых вычислений, идеей квантового компьютера, проектами квантовой
криптографии [10].
Сергей Павлович считал, что одним из рубежей современной науки должно стать понимание квантовой механики. Он надеялся, что
развитие синергетики, теории нелинейных систем сыграет здесь принципиальную роль. Хотелось бы, чтобы эти надежды оправдались.

В науках же и искусствах... все должно шуметь новыми работами и дальнейшим продвижением вперед.
Ф. Бэкон

Новые направления.
Режимы с обострением с самого начала
их активного исследования рассматривались прежде всего как промежуточная асимптотика, дающая приближенное описание реальных
процессов в некотором интервале масштабов. Позже выяснилось, что

Предисловие кo второму изданию

именно такая асимптотика характерна для широкого класса систем
с сильной положительной обратной связью.
Поэтому, с точки зрения теории режимов с обострением, большое
значение имеют экспериментальные данные, демонстрирующие такую
асимптотику.
Они
показывают
возможные
направления
развития
теории.
Такие данные появились в последние годы в теории управления
риском [11, 12, 13]. Их характерные примеры представлены на рис.1.

15,4
15,2
15,0
14,8
14,6
14,4
14,2
14,0
13,8
13,6
13,4

6,0
5,8
5,6
5,4
5,2
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,0
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
93,90 94,06 94,22 94,38 94,53 94,69 94,85 95,01 95,17

log (Dow Jones)

Год
Дата

Cl , ppm
–
а
б

Рис. 1.
Характерный вид зависимости, возникающей перед катастрофами
в сложных системах. a) Зависимость логарифма индекса Доу-Джонса (этот
индекс определяется ценой самого эффективного пакета акций 30 ведущих
компаний Соединенных Штатов) от времени перед Великой депрессией с 1921
по 1930 год. Точки — это точные данные, а сплошная кривая — сглаженная
зависимость, построенная по ним. Иллюстрация взята из работы [12]. б) Зависимость от времени логарифма концентрации ионов хлора перед катастрофическим землетрясением в Кобе в 1995 г. (указано в годах). Иллюстрация взята
из работы [11]

Эти графики показывают, что разные катастрофические события
могут развиваться по одним законам. В обоих случаях представлены
характеристики, описывающие две сложно организованные иерархические системы: фондовый рынок и тектонический разлом — незадолго
перед катастрофой.
В обоих случаях наблюдается быстрый катастрофический рост, на
который накладываются ускоряющиеся колебания. Сглаженная кривая
отлично описывается формулой

I(t) = A + B (tf − t)−α [1 + c cos (ω log (tf − t) − ϕ)] .
(5)

Очевидно, последняя формула также соответствует режиму с обострением.
В этой связи возникают две новые проблемы. Во-первых, важно
было бы понять системные механизмы возникновения такой положительной обратной связи и предложить соответствующие динамические
модели. Во-вторых, в отличие от традиционных, ранее изучавшихся