О численном моделировании трехмерной конвекции

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2009. Вып. 4

УДК 532.517.4:536.25


© И. Б. Палымский




                О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТРЕХМЕРНОЙ КОНВЕКЦИИ¹




Рассмотрена задача о трехмерной конвекции жидкости в прямоугольном параллелепипеде со свободными от касательных напряжений изотермическими горизонтальными границами, при подогреве снизу. Предложен специальный спектрально-разностный численный метод расчета, второго порядка аппроксимации по пространству и первого по времени. Проведенный линейный анализ предлагаемого численного метода показал, что численный метод правильно (с хорошим количественным соответствием в длинноволновой части спектра и с качественным — в коротковолновой) передает спектральные характеристики дифференциальной задачи при реальных значениях шагов по времени, пространству и надкритичности. В качестве тестов проведены расчеты двумерной валиковой и турбулентной конвекции Рэлея-Бенара для надкритичности, равной, соответственно, 2.2 и 950 при числе Прандтля, равном 10.

Ключевые слова: моделирование, гидродинамика, конвекция, теплоперенос, турбулентность, стохастич-ность.




                Введение




   Классическая задача о конвекции Рэлея-Бенара в различных постановках решалась многими авторами [1-14]. Из-за очевидной связи с прямым численным моделированием турбулентности наибольший интерес вызывают исследования при высокой надкритичности r = Ra/Racᵣ , где Ra и Racᵣ — число Рэлея и его критическое значение, a Pr — число Прандтля.
   При численном моделировании различают две постановки задачи о конвекции в бесконечном горизонтальном слое— со свободными (от напряжений) и жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами как правило, решение предполагается периодическим в горизонтальных направлениях или удовлетворяющим специальным граничным условиям. Обе постановки задачи часто приводят к решениям, которые различаются лишь количественно, а не качественно [15]. Этим и относительной простотой решения задачи о конвекции со свободными граничными условиями и объясняется интерес к этой постановке. Конвекция со свободными границами реализована в эксперименте [16].
   Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритичности связаны r наличием быстрорастущих линейных возмущений; так, при r = 950 и Pr = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как exp (198 • t) , что накладывает серьезные ограничения на численные методы. Между тем, число Рейнольдса Re является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея-Бенара и Re = 44 пр и r = 950 ( Pr = 10) [17].
   Конечно-разностные численные методы использовались в работах [4-9], причем в [4-6] представлены результаты расчетов при высокой надкритичности.
   В задаче о конвекции Рэлея-Бенара со свободными горизонтальными границами собственные функции задачи линейной устойчивости выражаются через синусы и косинусы [18], и это обусловливает высокую эффективность применения спектральных методов. В данной трехмерной задаче спектральные методы примерно на два порядка эффективнее конечно-разностных, причем эта порядковая оценка отношения количества точек дискретизации к числу гармоник относительно слабо зависит от конкретных реализаций (в том числе и от порядка аппроксимации) конечно-разностного и спектрального методов, так как для любого конечно-разностного

   Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (№07-01-96070).

О численном моделировании трехмерной конвекции

119

МЕХАНИКА                                                               2009. Ввит. 4

оператора интервал аппроксимации составляет лишв третв всего спектра [19] и, таким образом, длина волны каждой учитываемой гармоники должна быть не менее шести интервалов разностной сетки.
   Но применение конечно-разностных методов может быть оправдано при проведении расчетов с небольшими надкритичностями [7,9], в областях со сложной геометрией [4,5]. Использование конечно-разностных аппроксимаций возможно также по части переменных [20,21].
   Для расчета турбулентной конвекции при высокой надкритичности в [3] используется специальный численный метод, основанный на методе характеристик с использованием сплайнов. На наш взгляд, в задаче о конвекции со свободными границами более эффективны спектральные методы с разложением по синусам и косинусам, которые совпадают с собственными функциями линейной задачи устойчивости [18].
   Спектральные методы использовались в [1,2,10-14], причем в [1,2,10] рассматривается конвекция при высокой надкритичности. Для проведения расчетов турбулентной конвекции широко используется псевдоспектральный метод в различных модификациях [1,2,11,12], недостатками которого являются невыполнение уравнения неразрывности на полном шаге расщепления и использование неудачной схемы расщепления по физическим процессам (в частности, совместный учет на одном дробном шаге нелинейных членов и плавучести), что ограничивает шаг по времени. На наш взгляд, более правильно рассматривать на отдельных дробных шагах линейное и нелинейное развитие возмущений.
   При расчете конвекции спектральным методом нужно решить две проблемы: интегрирование по времени жесткой системы уравнений и вычисление нелинейных членов. Во всех известных автору работах, кроме [14], для интегрирования по времени использовались разностные схемы, что ограничивает шаг по времени и число Рэлея [22]. На наш взгляд, для расчета конвекции со свободными границами наиболее оптимальны точные методы с использованием аналитических формул [17,22] или матричной экспоненты [14].
   Проблема вычисления нелинейных членов рассматривалась в работах [23,24]. В работе [23] рассмотрены три различных способа вычисления нелинейных членов. Численные алгоритмы с вычислением нелинейных членов в пространстве коэффициентов Фурье обладают высокой точностью, но при этом возникает проблема их устойчивости. На наш взгляд, наиболее оптимальный компромисс между устойчивостью вычислений и точностью дает расчет нелинейного переноса в физическом пространстве по разностным схемам на отдельном этапе расщепления [17,22].
   В [22,25] предложен спектрально-разностный (псевдоспектральный) численный метод расчета двумерной конвекции со свободными границами, где линейное развитие возмущений рассчитывается по аналитическим формулам в спектральном пространстве, а нелинейный перенос учитывается в физическом пространстве по схеме продольно-поперечной прогонки. Такой подход с успехом применен для расчета двумерной конвекции при высокой надкритичности [26,27]. В работе [17] на основе развития этого подхода проведено исследование временного и пространственного спектров температурных пульсаций трехмерной турбулентной конвекции. Однако какой-либо анализ используемого численного метода в [17] не проводился.
   Цель работы— описание использованного в [17] спектрально-разностного численного метода расчета трехмерной конвекции и результатов его линейного анализа, проведение тестовых расчетов конвекции Рэлея-Бенара при малой (г = 2, 2) и умеренно высокой надкритичности (г = 950).




                § 1. Постановка задачи




   В приближении Буссинеска рассматриваются трехмерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольном параллелепипеде единичной высоты при подогреве снизу. Конвективное течение рассматривается в прямоугольной в плане области с размерами п/а и п/в в горизонтальных направлениях, где айв— минимальные волновые числа. Горизонтальные границы области считаются изотермическими. Исходная система уравнений в безразмерных переменных, записанная в отклонениях от равновесного решения, имеет