Универсальный оподход к математическому моделированию класса технических задач о притоке флюида к трещине гидроразрыва пласта

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА                                          2009. Вып. 4



УДК 553.98.001

© А. В. Пестриков, А. Р. Башаров, М. Н. Кравченко

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПОДХОД К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
МОДЕЛИРОВАНИЮ КЛАССА ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ О ПРИТОКЕ ФЛЮИДА К ТРЕЩИНЕ ГИДРОРАЗРЫВА ПЛАСТА

На основе анализа теории размерностей вводится набор безразмерных параметров, характеризующих класс задач, описывающих фильтрационные течения жидкостей и газов к трещинам гидравлического разрыва пласта (ГРП).

Ключевые слова: фильтрация в пористых средах, гидроразрыв пласта, зона загрязнения, анализ размерностей, теория подобия, численное моделирование




                Введение




   Математическое моделирование различных технологических задач, как правило, включает определенный набор исходных предположений, систему уравнений, начальные и граничные условия, а также метод их решения— аналитический или численный. В зависимости от класса решаемых задач, результаты моделирования обычно представляются в виде зависимостей интересующих исследователя функциональных связей неизвестных переменных от входных данных задачи. Для того чтобы описать результаты исследования в определенном классе задач, обычно используется представление решений в виде зависимостей набора безразмерных комплексов, характеризующих исследуемые явления. Такой подход позволяет не только выявить характерные особенности процесса, но и дать качественное описание его развития в самом широком классе рассматриваемых явлений, не осуществляя каждый раз расчеты при изменении входных параметров конкретной инженерной задачи, которые при вариативном подходе к параметрам могут потребовать больших временных и стоимостных ресурсов.
   Как известно, для того чтобы результаты решения могли описывать достаточно широкий класс задач, решение обычно ищется в безразмерных переменных. Основная методика выявления набора характерных безразмерных комплексов— это П-теорема. Этот инструмент наиболее эффективен при установлении заранее неизвестных зависимостей между параметрами задачи. Другим активно используемым способом уменьшения числа параметров задачи путем введения безразмерных комплексов является анализ уравнений сохранения на основе теории размерностей [1].
   В данной работе с привлечением теории размерностей рассматривается класс прикладных задач, касающихся фильтрационных течений жидкостей и газов в пористых неоднородных средах, имеющих области повышенной проводимости. Прикладной аспект задачи очевиден — речь идет об описании класса течений к трещине ГРП конечных размеров и конечной проводимости с учетом кольматационных эффектов. При моделировании подобных задач необходим комплексный подход— применительно к методу ГРП он должен включать учет всех параметров трещины (длины, ширины, проницаемости) [2].
   В работе показано, что решение подобных задач относительно комплекса безразмерных параметров позволяет учесть вариативность задачи и получить решение для достаточно широкого класса задач в виде универсальных графических зависимостей.




                § 1. Постановка прикладной инженерной задачи и основные параметры задачи




   В настоящее время одним из наиболее эффективных методов увеличения продуктивности нефтяных и газовых скважин является метод повышения пропускной способности пласта путем

А. В. Пестриков, А.Р. Башаров, М. Н. Кравченко

МЕХАНИКА                                                              2009. Ввш.4

создания зон повышенной проницаемости— трещин гидравлического разрыва пласта (ГРП). Создание узкой и протяженной искусственной трещины в горной породе достигается путем нагнетания в пласт при bbicokom давлении рабочей жидкости с взвешенным в ней специальным расклинивающим агентом— проппантом, характеризуемым высокой проницаемостью. Проппант удерживает трещину гидроразрыва от смыкания после прекращения закачки рабочей жидкости.
   В процессе создания трещины гидроразрыва рабочая жидкость ГРП практически полностью отфильтровывается в пласт в притрещинную зону, создавая вокруг трещины область с пониженными фильтрационными свойствами, так называемую зону загрязнения. Ухудшение фильтрационных свойств в этой зоне может существенно влиять на конечную продуктивность скважины с трещиной ГРП.
   Основной задачей данной работы является разработка численного алгоритма решения уравнений математической модели с целью определения эффективности увеличения продуктивности скважин методом ГРП с учетом основных технологических параметров ГРП и возможных кольматационных эффектов снижения фильтрационных свойств порового пространства около трещины гидроразрыва вследствие воздействия рабочей жидкости ГРП.
   В работе уделено специальное внимание выявлению комплекса безразмерных параметров, характеризующих рассматриваемые течения. Полученные в данной работе результаты представлены в виде графических зависимостей безразмерных комплексов, что определяет универсальный характер решения и широкий диапазон практического применения для различных геологических параметров нефтяных и газовых месторождений.
   Система определяющих параметров задачи включает следующие константы течения:
   • Параметры геометрии пласта и трещины ГРП: в круговом пласте мощностью hᵣ (высотой по оси z ), с радиусом контура питания Re расположена симметричная относительно ствола скважины вертикальная трещина ГРП прямоугольной формы (шириной bf = 2yf , полудлиной Xf), вскрывающая пласт на всю его высоту hᵣ (см. рис. 1). Считаем, что зона загрязнения в плоскости (Oxy) имеет прямоугольную форму ширины ydz по всей длине трещины (в области кончика трещины зона считается «сухой»).

   • Свойства области течения: пласт считается однородным и изотропным с проницаемостью kᵣ в области, внешней по отношению к трещине и зоне загрязнения. Область коль-матации (зоны загрязнения) характеризуется пониженной проницаемостью kdz , а трещина заполнена высокопроницаемым проппантом проницаемостью kf .

   • Режим эксплуатации: изотермический стационарный приток несжимаемой жидкости при постоянном перепаде давления: на забое скважины (граница Гf₋w ) задано постоянное давление pwf , на контуре питания радиуса Re (граница Г Re )— постоянное давление pe .

   • Искомые параметры: в задаче требуется рассчитать изобары и линии тока в зоне течения. С инженерной точки зрения наибольший интерес представляет определение коэффициента продуктивности скважины K — отношения дебита скважины к реализуемому перепаду давления при различных параметрах трещины ГРП, фильтрационных свойств пласта и зоны загрязнения.




                § 2. Математическая постановка задачи




Математически решение описанной задачи о притоке жидкости в пласте с трещиной ГРП и зоной кольматации сводится к решению системы уравнений стационарной двухмерной фильтрации несжимаемой жидкости¹ в ограниченной области, моделирующей зону дренирования,

   В данной статье будут подробно обсуждены результаты расчетов только для течения несжимаемой жидкости. Для сжимаемого флюда при течении в анизотропном пласте система уравнений несколько видоизменяется, однако сам подход к решению задачи остается аналогичным предложенному.