Об одном методе расчета порогов протекания квадратной и алмазной решеток в перколяционной задаче узлов

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 4

УДК 531.19, 519.24

© С. Р. Галлямов, С. А. Мельчуков


            ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЁТА ПОРОГОВ ПРОТЕКАНИЯ КВАДРАТНОЙ И АЛМАЗНОЙ РЕШЕТОК В ПЕРКОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ УЗЛОВ


Предложен метод расчета порога протекания xc бесконечной решетки в d -мерном пространстве на основе среднего значения величины xcl решеток малых размеров L. Условие применимости метода ограничило круг рассматриваемых 2d и 3d решеток в задаче узлов до квадратной и алмазной. Величины XcL для этих решеток рассчитывались на основе вектора начального состояния решетки и матрицы смежности графа, соответствующего решетке с долей узлов x = 1. Вычислены пороги протекания квадратной решетки xc = 0,592744 и решеткx алмаза xc = 0,430308 .

Ключевые слова: перколяция, решетка, порог протекания, задача узлов, граф.


            Введение


   Как известно большинство работ в теории перколяции по определению порогов протекания xc решеток связаны с компьютерным моделированием. Общего метода расчета xc не существует даже в пределах одной размерности пространства d. Для теории и практики интерес представляют 2d и 3d решетки в задаче узлов. В 2d пространстве задача узлов для решеток, представляющих наибольший интерес (треугольная, квадратная и шестиугольная), решена для треугольной (xc = 0,5 [1, 2]) и остается нерешенной для квадратной и шестиугольной решеток. В 3d пространстве в задаче узлов (впрочем, как и в задаче связей) неизвестно ни одного точного решения.
   В § 1 данной работы предложен метод и условие применимости этого метода для расчета xc бесконечной решетки в d пространстве на основе двух известных величин x,.L. и xcL₂, соответствующих двум размерам L1 < L2 малых решеток.
   Первоначально планировалось изучить наиболее «популярные» 2d и 3d решетки (квадратная и шестиугольная, простая кубическая, объёмно-центрированная кубическая, гранецентрированная кубическая x алмазная), xc которых определены в основном компьютерным моделированием. Введённое в работе приближённое условие применимости метода исключило дальнейшее изучение всех 3d решеток кроме решетки алмаза.
   В §2 представлен алгоритм вычисления xcL решеток при размерностях пространства d > 1, после применения, которого шестиугольная решетка была также исключена из дальнейшего рассмотрения — этим объясняется выбор решеток в названии работы. Величины xcL для этих решеток рассчитывались на основе вектора начального состояния решетки и матрицы смежности графа, соответствующего решетке, в которой все узлы проводящие, то есть при x = 1.
   § 3 и § 4 посвящены расчету порогов протекания алмазной и квадратной решеток на основе алгоритма § 2.


            § 1. Метод расчета порога протекания xc бесконечной решетки на основе решеток малых размеров. Применимость метода


   В [3] для определения порога протекания бесконечной решетки xc через среднее значение xcL конечной решетки предложено линейное приближение для трехмерных решеток:


xcL — xc + , , L

(1-1)


где B — константа.

С. Р. Галлямов, С. А. Мельчуков

МЕХАНИКА


2009. Вып.4

   Хотя (1-1) приближенное выражение, однако оно позволяет получать некоторые результаты с большой точностью, например описание нескейлинговых функций Y(x,L) и P(x, L) в [4].
   Покажем, что для решеток малых размеров линейный закон (1.1) может быть применен для размерности пространства d .
   В [4, 5] введена функция условной вероятности того, что выбранный с вероятностью x узел, интересующей нас фазы, принадлежит соединяющему кластеру


Y⁽x,L)      1 + exp[—S(x,L)], S(X,L⁾          ^ aⁿ⁽xn xnL),


(1-2)

где ( N — 1) число нетрив иальных точек Y)(xi) , полученных рас четным путем, a xcL соответствует условию
Y (xcl,L) = | .                              (1.3)

   Вероятность протекания или вероятность того, что случайно выбранный узел решетки размера L принадлежит соединяющему кластеру P(x, L) определяется как [4, 5]


P(x, L) = xY(x, L),


(1-4)

откуда из условия (1.3) при x = xcL следует, что
P (xcL,L) = xL.                                (1.5)

Тогда масса соединяющего кластера M (L) или среднее число узлов в соединяющем кластере решетки размера L = (N)¹/d прx x = xcL будет


M(L) = NP(xcL, L) = Nx


(1-6)

В [4] показано, что xcL является средним значением случайной величины x , функция распределения которой задана как Y(x,L) , тогда согласно [6] для решетки с линейным размером L справедливо соотношение


|x — xc| v « L ил и |xcL — xc| v « L


(1.7)

при x = xcL ■ Здесь критический показатель, зависящий от размерности пространства d. Следуя [7, 8] покажем, что в одномерном случае v = 1. Действительно, располагая узлы на линии,

легко увидеть, что соединяющий кластер возникает только тогда, когда все узлы являются проводящими, то есть порог протекания xc = 1 пр и d = 1. При ренормализации (ренормировке)

мы группируем узлы в суперузлы по b узлов в каждом суперузле. Теперь новая концентра

ция x‘ связана с концентрацией x интересующей нас фазы до ренормировки как x‘ = xb. Если начать ренормировку при x = xc = 1, то величина Л = dX = bxb⁻¹ = b. Из первого

по (1-7) следует, что b|x‘ — xc| v = |x — xc| ⁻ и после логарифмирования получаем критиче

ский показатель

log b
v = 1-----= = 1.
log Л

(1-8)

   Рассмотрим малые решетки, характерный размер которых L порядка характерного размера L1 элементарной решетки, то есть L может принимать значения


L = L₁,L₁ + 1, ...

   Возьмем произвольную решетку в d пространстве с числом узлов равным N. Обозначим через Nₘjₙ минимальное число узлов-проводников, при котором возможно появление соединяющего кластера. При числе узлов-проводников меньше чем Nₘjₙ условная вероятность протекания Y(x,L) и вероятность протекания P(x, L) равны нулю: Y(x,L) = P(x,L) = 0.