Квантовая механика

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. В. ВЕДРИНСКИЙ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

УДК 531:530.145
ББК 22.314
       В 26

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Южного федерального университета

Рецензенты:

 доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической

физики Педагогического института ЮФУ  Мясников Э. Н.;

 доктор физико-математических наук, профессор  кафедры физики

Донского государственного технического университета Никифоров И. Я.

Учебник подготовлен и издан в рамках национального проекта

«Образование» по «Программе развития федерального государственного
образовательного учреждения высшего профессионального образования

“Южный федеральный университет” на  2007–2010 гг.»

Ведринский Р. В.

Квантовая механика: учебник / Р. В. Ведринский. – Ростов н/Д:

Изд-во ЮФУ, 2009. –  384 с.

ISBN 978-5-9275-0706-1

Данный учебник посвящен фундаментальным проблемам квантовой физи
ки, новым квантовым эффектам и их приложениям, широко использует математический аппарат и теоретические методы, не изучаемые на должном уровне в
стандартных курсах квантовой теории и недостаточно описанные в типовых учебниках. Основное внимание в нем уделено не рассмотрению конкретных квантовых явлений, что легко найти в любом учебнике по квантовой механике, а подробному описанию физических основ квантовой механики, ее математического
аппарата, необходимого для изучения современной литературы, методов использования этого аппарата для описания основных нерелятивистских микрообъектов и аксиоматики, устанавливающей связь между математическим аппаратом
и характеристиками микрообъектов.

Учебник рассчитан на аспирантов, студентов магистратуры и старших кур
сов бакалавриата, желающих вести научную работу в следующих областях современной физики: фундаментальные проблемы квантовой физики, физика наноструктур и квантовые компьютеры.

ISBN 978-5-9275-0706-1
         УДК 531:530.145

ББК 22.314

Ведринский Р. В., 2009

Южный федеральный университет, 2009

Оформление. Макет. Издательство

                                                                                           Южного федерального университета, 2009

В 26

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 6

ЧАСТЬ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ, МАТМАТИЧЕСКИЙ

АППАРАТ И АКСИОМАТИКА НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ............................. 9

1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ...................10

1.1.1. Качественное рассмотрение ......................................................................... 10
1.1.2. Принципы описания физических объектов
в целостном микромире ........................................................................................... 13
1.1.3. Принципы описания сложных нерелятивистских микросистем................ 20

1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И АКСИОМАТИКА
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ...................................................................... 24

1.2.1. Пространство состояний и векторы состояний .......................................... 24
1.2.2. Наблюдаемые величины, операторы и базисные наборы......................... 32
1.2.3. Аксиоматика квантовой механики ............................................................... 43
1.2.4. Операторы проецирования, условие полноты наборов,
функции от операторов ............................................................................................. 52
1.2.5. Построение пространств состояний сложных физических систем .......... 58
1.2.6. Краткая сводка аксиом квантовой механики ............................................. 75
1.2.7. Методы определения собственных векторов
и собственных значений эрмитовых операторов .................................................. 79

1.3. ДИНАИМИКА В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ. ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ .............................................. 90

1.3.1. Представление Шредингера ......................................................................... 90
1.3.2. Представление Гейзенберга. Правила квантования .................................. 98
1.3.3. Представление взаимодействия и нестационарная теория возмущений .... 107

1.4. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ
ОДНОЙ БЕССПИНОВОЙ ЧАСТИЦЫ ................................................... 112

1.4.1. Построение пространства состояний ..........................................................112
1.4.2. Собственные функции операторов координаты и импульса
в координатном представлении. Импульсное представление ............................119
1.4.3. Нахождение собственных функций и собственных значений
оператора Гамильтона в случае одномерного движения частицы ................... 124
1.4.4. Собственные векторы и собственные значения
оператора Гамильтона гармонического осциллятора......................................... 137
1.4.5. Соотношение неопределенности ................................................................. 144

1.4.6. Квантовые состояния бесспиновой частицы в трехмерном
пространстве. Основные операторы наблюдаемых величин .............................151
1.4.7. Собственные векторы и собственные значения операторов проекций
импульса, орбитального момента и квадрата орбитального момента .............157
1.4.8. Вычисление собственных функций и собственных значений
оператора Гамильтона в трехмерном случае ......................................................164
1.4.9. Вычисление собственных функций и собственных значений
оператора Гамильтона со сферически-симметричным потенциалом...............169
1.4.10. Динамические процессы в пространстве состояний
одной бесспиновой частицы ...................................................................................175

1.5. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
СО СПИНОМ 1/2.................................................................................... 184

1.5.1. Построение пространства спиновых состояний ........................................184
1.5.2. Построение полного пространства состояний частицы
со спином ½. Операторы Гамильтона для частицы со спином ½ .................. 196

1.6. ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ ........................................................... 204

1.6.1. Построение пространств состояний систем
нетождественных частиц ........................................................................................204
1.6.2. Построение пространств состояний систем
тождественных частиц............................................................................................210
1.6.3. Представление чисел заполнения. Пространство Фока.
Метод вторичного квантования .............................................................................227

1.7. ОПИСАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ АНСАМБЛЕЙ
МИКРОСИСТЕМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. СТАТИСТИЧЕСКИЙ
ОПЕРАТОР И ЕГО СВОЙСТВА ............................................................. 249

1.7.1. Смешанные ансамбли ...................................................................................249
1.7.2. Описание статистических свойств ансамблей,
которые не являются чистыми, но которые заранее
также нельзя считать смешанными ......................................................................260

ЧАСТЬ 2. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ............................................... 269

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ........................................... 270
2.2. СТАЦИОНАРНЫЙ ПОДХОД
К КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ................................................ 274

2.1. Постановка задачи рассеяния в стационарном подходе .............................274
2.2.2. Интегральное уравнение для волновой функции задачи рассеяния.

Борновские приближения для амплитуды рассеяния. 
,



  - векторы.

Уравнения Липпмана-Швингера ............................................................................277

2.2.3. Свойства 
,



 - векторов. Полная функция Грина. Уравнение Дайсона ... 286

2.3. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАССЕЯНИЯ
В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОДХОДЕ ...................................................... 291

2.3.1. Постановки задачи рассеяния в нестационарном подходе ..................... 291
2.3.2. Описание процесса адиабатического включения
и выключения взаимодействия в теории рассеяния. S-матрица....................... 295
2.3.3. Расчет сечения рассеяния в нестационарном подходе.
«Золотое правило» Ферми...................................................................................... 301
2.3.4. Общие свойства S-матрицы, оптическая теорема................................... 303
2.3.5. Применение «золотого правила» Ферми для описания процессов
неупругого рассеяния ............................................................................................. 306
2.3.6*. Реалистический подход к задаче рассеяния ........................................... 309

2.4. РАССЕЯНИЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫМ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ........................................................... 319

2.4.1. Постановка задачи ....................................................................................... 319
2.4.2. Решение уравнения Шредингера
в сферически-симметричном потенциале............................................................ 319
2.4.3. Решения задачи рассеяния для сферически-симметричного
потенциального центра ........................................................................................... 328
2.4.4. Свойства сдвигов фаз рассеяния ................................................................ 333

2.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА S-МАТРИЦЫ. ПОВЕДЕНИЕ
ФАЗ РАССЕЯНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ...................................... 337

2.5.1. Аналитические свойства S-матрицы ......................................................... 337
2.5.2. Физический смысл полюсов S-матрицы .................................................... 340
2.5.3. Поведение сдвигов s-фаз рассеяния при малых энергиях....................... 341

2.6. РЕЗОНАНСНЫЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ.
ВРЕМЯ РАССЕЯНИЯ ............................................................................. 345

2.6.1. Квазистационарные и резонансные состояния в квантовой механике .. 345
2.6.2. Распад квазистационарных состояний ....................................................... 350
2.6.3. Время рассеяния........................................................................................... 356

ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................................................ 362

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ .............................................................................................. 363
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ .................................. 377

Рекомендуемая литература ..................................................................... 382

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая механика возникла около ста лет назад, но большой интерес к

ее основам и имеющимся в ней нерешенным фундаментальным проблемам
до сих пор не ослабевает. Выходит большое число научных статей, обзоров и
монографий, посвященных этим вопросам. Выполняются новые, зачастую весьма
нетривиальные, теоретические и экспериментальные исследования. Регулярно
обнаруживаются новые квантовые эффекты, к примеру квантовая телепортация, квантовый эффект Зенона. Открываются новые перспективы практического применения квантовых законов, к числу которых, прежде всего, относятся квантовые компьютеры и квантовая криптография.

Учебник посвящен как фундаментальным вопросам квантовой физики,

так и новым квантовым эффектам и их приложениям, широко использует математический аппарат и теоретические методы, которые не изучаются на должном уровне в стандартных курсах квантовой теории и недостаточно описаны
в типовых учебниках. Данный учебник призван заполнить имеющийся пробел.
Основное внимание в нем уделено не описанию конкретных квантовых явлений, что легко найти во всех типовых учебниках, а физическим основам квантовой механики, математическому аппарату, необходимому для изучения современной литературы, методам его использования при описании основных
нерелятивистских микрообъектов и аксиоматике, устанавливающей связь между математическим аппаратом и характеристиками микрообъектов.

Учебник состоит из двух частей. Первая часть посвящена описанию

физических основ, математического аппарата и аксиоматики современной нерелятивистской квантовой механики, а также построению пространств состояний нерелятивистских квантовых объектов и краткому рассмотрению методов решения основных квантовомеханических задач в этих пространствах.

В главе 1.1 обсуждаются предпосылки и физические принципы квантовой

механики. Изложение основывается на предложенной Нильсом Бором концепции
целостности микрообъектов и микропроцессов. Показано, что из этой концепции
естественным образом вытекают все специфические особенности описания этих
объектов и процессов, которые, как показывает опыт, вызывают большие трудности при изучении квантовой механики.

Глава 1.2 является основной в учебнике. В ней детально изложен матема
тический аппарат и аксиоматика нерелятивистской квантовой механики, используемые при описании чистых состояний микрообъектов. В этой главе излагается именно тот математический аппарат, который широко используется в современной литературе, посвященной фундаментальным проблемам квантовой
физики. Ввиду достаточной сложности материала, изложенного в этой главе,
в ее шестом разделе дается краткая сводка основных результатов, содержа

щихся в главе, которую целесообразно использовать для того, чтобы лучше
ориентироваться в излагаемом материале.

В главе 1.3 рассматривается вопрос об описании динамических процессов

в нерелятивистской квантовой механике, а также вопрос о том, как устанавливается соответствие между теоретическим описанием классических объектов и квантовым описанием соответствующих микрообъектов. Правила, устанавливающие такое соответствие, называются правилами квантования.

В главах 1.4–1.6 демонстрируется, каким образом математический аппа
рат и теоретические методы, описанные в главах 1.1 – 1.3, применяются при
построении пространств состояний конкретных микросистем: одной бесспиновой частицы (глава 1.4), частицы со спином ½ (глава 1.5), коллективов нетождественных и тождественных частиц (глава 1.6). Кратко рассматриваются
основные квантовомеханические задачи, которые возникают в этих пространствах, и методы их решения.

В главе 1.7 рассмотрен вопрос о том, как описываются статистические

свойства ансамблей микросистем, не находящихся в чистых состояниях. Рассмотрены тесно связанные с этим вопросом принципиальные вопросы квантовой механики, а также работа Эйнштейна, Подольского и Розена.

Вторая часть учебника посвящена основам нерелятивистской квантовой

теории рассеяния. Эта теория была детально разработана в 50–60 годы ХХ в. и
описана во многих монографиях, большинство из которых, однако, стало
в настоящее время библиографической редкостью. Поскольку знание квантовой теории рассеяния важно для подготовки на современном уровне студентовфизиков, в учебник и включена вторая часть. Как и в первой части, основное
внимание во второй части обращается не на решение конкретных задач, а на принципиальные вопросы квантовой теории рассеяния и методы их решения.

В главе 2.1 описывается постановка задачи нерелятивистской квантовой

теории рассеяния и анализируются требования к экспериментальному исследованию процессов рассеяния. Глава 2.2 посвящена выводу основных уравнений стационарной теории рассеяния, включая уравнения Липпмана-Швингера.
В главе 2.3 рассматриваются нестационарные подходы к описанию процессов
рассеяния квантовых частиц, основанные как на традиционном методе адиабатического «включения» и «выключения» потенциала взаимодействия, так и на
описании рассеяния волновых пакетов. В главе 2.4 описаны основы теории рассеяния на сферически-симметричных потенциалах. Глава 2.5 посвящена исследованию аналитических свойств S матрицы. Полученные результаты используются для описания поведения амплитуды и сечения упругого s рассеяния
при малых энергиях. В главе 2.6 рассмотрены квазистационарные и резонансные состояния квантовых частиц. Изучено поведение сдвигов фаз рассеяния
вблизи резонансных состояний, проанализирована связь между резонансными

и квазистационарными состояниями и показано, как можно определить время
рассеяния.

В учебник включены 2 математических приложения, первое из которых

посвящено основам теории обобщенных функций, а второе – фурье-преобразованиям. Приложения должны облегчить понимание математического аппарата, используемого в учебнике.

Учебник основан на материале спецкурса, который в течение многих лет

читался автором для студентов физического факультета Ростовского государственного университета, специализирующихся по теоретической физике.
Учебник рассчитан на подготовленного читателя, который уже знает квантовую механику в рамках традиционного курса, но хочет ее лучше понять и освоить математический аппарат и теоретические методы, необходимые для работы с современной литературой, посвященной фундаментальным проблемам
квантовой физики и новым квантовым эффектам.

Рекомендуется следующая методика освоения материала, изложенного

в учебнике. Вначале целесообразно прочесть математические приложения и
уяснить, какие вопросы в них изложены, чтобы знать, к каким разделам приложений надо обращаться при изучении материала. Изучение каждой главы следует начать с ее внимательного прочтения. После этого необходимо ознакомиться с вопросами для самопроверки, которые приведены в конце каждого
раздела, и попробовать ответить на них и решить предлагаемые там задачи.
При возникновении трудностей, надо внимательно прочесть соответствующий
раздел еще раз, после чего попытаться вновь ответить на вопросы и решить
задачи. В некоторых случаях, возможно, этот процесс придется повторить еще
раз. В случае неудачи целесообразно перейти к следующему разделу и таким
образом проработать первые три главы первой части. Далее надо перейти к
главам 1.4, 1.5 и 1.6, которые несколько проще первых трех глав и в которых
описанные в главах 1.1–1.3 методы применяются в конкретных ситуациях.
После изучения глав 1.4–1.6 надо вернуться к главам 1.1–1.3, прочесть их
вновь и попытаться решить те задачи, которые не удалось решить при первом
чтении. Глава 1.7 несколько сложнее, чем главы 1.4 – 1.6. Материал, изложенный в этом главе, надо изучать как самостоятельный материал с использованием той же методики, которая была описана выше.

Вторая часть учебника, если не считать ее последних глав, проще, чем

его первая часть. Для ее изучения нужен материал, изложенный в первых трех
разделах главы 1.2, в главе 1.3 и в последних пяти разделах главы 1.4, а также
материал, изложенный в математических приложениях.

ЧАСТЬ 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ, МАТМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

И АКСИОМАТИКА НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКИ. ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1.1.1. Качественное рассмотрение

Каждый, кто серьезно начинает изучать квантовую механику, неизбежно

сталкивается со значительными трудностями в понимании и внутреннем принятии ее основных представлений, что порождено, прежде всего, принципиальным отличием подходов к описанию состояния физических объектов в
классической и в квантовой физике. Не случайно, что каждое новое поколение физиков заново открывает для себя проблемы и трудности квантовой физики и, стремясь разобраться в них, нередко выявляет новые аспекты этих проблем, на которые ранее не обращали внимания. Конечно, можно научиться правильно решать конкретные квантово-механические задачи, игнорируя указанные трудности, но все же лучше попытаться понять их природу и убедиться в
неизбежности нового подхода к описанию объектов микромира, свойственного квантовой физике.

Чтобы выяснить, в чем состоит принципиальная новизна квантового под
хода к описанию состояния микрообъектов, радикально отличающая его от
классического подхода, целесообразно вначале проанализировать базовые
принципы описания физических объектов, свойственные классической физике, и понять, в чем их суть и в чем ограниченность.

Базовые принципы классической, ньютоновой механики были впервые ясно

осознаны и сформулированы выдающимся ученым ХVIII в. Р. Босковичем, ныне
почти забытым. Именно Р. Боскович понял, что согласно ньютоновой механике
любой материальный объект можно адекватно описать как совокупность,
в общем случае, взаимодействующих материальных частиц, каждая из которых в любой момент времени, независимо от тех взаимодействий, в которых
частицы участвуют, находится в определенной точке пространства и имеет определенную скорость. Если известны силы взаимодействия между частицами,
а также их координаты и скорости в начальный момент времени, то координаты и скорости частиц в последующие моменты времени можно предсказать
с помощью законов Ньютона. Такой подход к описанию сложных материальных тел оказался исключительно плодотворным. Он позволил понять и количественно описать не только движение совокупностей конечного числа материальных частиц, например планет в Солнечной системе, но также законы движения и свойства механических сплошных сред – жидкостей, газов и твердых
тел, которые с макроскопической точки зрения воспринимаются как совокупности бесконечного числа материальных частиц.

Огромные успехи классической механики привели к тому, что в течение

долгого времени описанная выше картина мира, свойственная этому разделу
физики, считалась единственно возможной. Даже в начале ХХ в. великий авст