Основы кристаллографии и дефекты кристаллического строения

Министерство образования и науки  Российской Федерации 
 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
В. И. Аникина 
А. С. Сапарова 
 
 
ОСНОВЫ  
КРИСТАЛЛОГРАФИИ  
И ДЕФЕКТЫ  
КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО  
СТРОЕНИЯ 
 
 
Допущено Учебно-методическим  объединением по 
образованию в области металлургии в качестве 
учебного пособия  для студентов  высших учебных 
заведений,  обучающихся по направлению 150100 
«Металлургия», 21.05.2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2011 

УДК 548.0(07) 
ББК  22.37я73 
А67 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: И. Г.  Резников,  канд. геолого-минерал. наук руководитель представительства Минусинской геологоразведочной экспедиции   ОАО «Минусинская геологоразведочная экспедиция»; 
В. Р. Бараз,  д-р техн. наук, проф. кафедры «Металловедение»  
Уральского государственного технического университета – УПИ 
 
 
 
 
 
 
 
Аникина, В. И. 
А67           Основы кристаллографии и дефекты кристаллического строения : практикум / В. И. Аникина, А. С. Сапарова. –  Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2011. – 148 с. 
ISBN 978-5-7638-2195-6 
 
Изложены теоретические основы и методические указания по проведению практических занятий при изучении дисциплины «Основы кристаллографии и дефекты кристаллического строения», выполняемых в форме сочетания  
теоретических учебных занятий в классе и изучения моделей дефектов кристаллической решетки.  
Предназначен для студентов направления подготовки 150400.62 «Металлургия», обучающихся по специальностям 150104, 150105, 150106, 150400. 
 
 
 
УДК 548.0(07) 
ББК  22.37я73 
 
 
 
ISBN  978-5-7638-2195-6                                                             Сибирский федеральный  
 
                                                                                        университет, 2011 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Кристаллография – одна из главных фундаментальных наук о 
Земле, ее веществе. Это наука не только о кристаллах,  о процессах их 
образования, об их внешней форме, внутреннем строении и физических свойствах,  но и о закономерностях развития Земли, ее формах, о 
процессах, происходящих в глубинах геосфер. 
Во всем мире кристаллографические знания приобретают все 
большее значение. Практически все научные и технические достижения последнего времени (компьютерная техника, электронная микроскопия, квазикристаллы, высокотемпературные сверхпроводники и т. д.) 
непосредственно связаны с кристаллографией.  
В реальных кристаллах частицы располагаются не всегда так, 
как им «положено» из соображений минимальности энергии. Неправильное расположение атома или группы атомов,  т. е. дефекты кристаллической решетки,  увеличивает энергию кристалла. В принципе 
атомы, составляющие данный дефектный кристалл, могли бы перестроиться и создать энергетически более выгодную конфигурацию. 
Но для этого атомам пришлось бы преодолеть большие по сравнению 
с kBT потенциальные барьеры. Поэтому дефектные кристаллы существуют и только специально принятые меры позволяют создать бездефектные или почти бездефектные кристаллы. 
Положение современной кристаллографии во многом напоминает ситуацию с математикой, методы которой используются в многочисленных и самых разнообразных дисциплинах. Следует подчеркнуть, что кристаллография – вполне самостоятельная наука. Как и 
каждая наука, она обладает уникальным, только ей присущим методом. Применительно к кристаллографии это метод симметрии, который является общим методом познания закономерностей развития 
Земли, ее вещества. 
Кристаллография может быть недоступной для непосредственного наблюдения. Но она существует в той или иной форме у всех материальных объектов. 
 
 

П р а к т и ч е с к о е  з а н я т и е  1 

 
ПОНЯТИЕ  
О КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ 
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ  
СИМВОЛИКА 
 
 
Цель работы: ознакомиться с основными свойствами кристаллических тел, практически овладеть методикой кристаллографического индицирования. 
 
 
1. Основные свойства кристаллов. 
Закон постоянства гранных углов 
 
Кристаллами  обычно называют твёрдые тела, образующиеся в 
природных или лабораторных условиях в виде многогранников. 
Поверхность таких многогранников ограничена более или менее 
совершенными плоскостями – гранями, пересекающимися по прямым 
линиям – рёбрам. Точки пересечения рёбер образуют вершины. 
Примерами кристаллов могут служить кубики поваренной соли 
(NaCl), заострённые на концах шестигранные призмы горного хрусталя (SiO2), восьмигранники алмаза (С) и др. 
Величина подобных образований иногда достигает человеческого роста, длина одного кристалла может достигать несколько метров 
(лёд –  H2O, гипс – Ca[SO4]·2H2O). Однако обычно приходится иметь 
дело с мелкими, чаще всего микроскопическими кристаллами. 
Искусственное получение кристаллов может быть легко осуществлено самим студентом. С этой целью достаточно растворить определённую навеску какой-нибудь соли в определённом количестве воды (например, при комнатной температуре на 100 см3 воды берётся 
15–17 г калиево-алюминиевых квасцов KAl[SO4]2 ·12 H2O). Если дать 
такому раствору возможность испаряться, то с течением времени из 
него выпадут и начнут расти кристаллики данной соли. 
Геометрически правильная форма кристаллов обусловливается, 
прежде всего, их строго закономерным внутренним строением. 

Таким образом, кристаллами называются твердые тела с упорядоченным внутренним строением на уровне атомов и молекул, т. е. 
тела, обладающие трехмерно-периодической пространственной атомной структурой и имеющие вследствие этого при определенных условиях образования форму многогранников. 
Частицы, из которых сложены кристаллы (атомы, ионы, молекулы) образуют правильные симметричные ряды, сетки, решетки (рис. 1). 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1. Закономерное   расположение 

атомов в кристалле золота.  

(Снято в  электронном   микроскопе) 

Рис. 2. Рентгенограмма кристалла топаза 

 
 
Эти решетки являются естественными трехмерными дифракционными решетками для рентгеновских лучей. Структуру кристаллов  
исследуют по дифракции рентгеновских лучей (рис. 2), дифракции 
электронов, нейтронов, с помощью электронного микроскопа, ионного проектора (рис. 3) и другими методами. 
Отдельные целостные кристаллы образуют монокристаллы; существуют также и поликристаллы – агрегаты многих мелких кристаллов, иногда столь мелких монокристальных зерен, что у них уже 
нельзя различить характерных очертаний кристалла. 
Расположение частиц (атомов, ионов, молекул) становится закономерным, упорядоченным, когда вещество переходит из аморфной 
фазы (газ, жидкость, стеклообразное состояние) в кристаллическую 
(рис. 4), соответствующую минимуму свободной энергии при данных 
условиях. Закономерность расположения частиц, их природа, их энер

гетический спектр и силы связи между ними определяют физические 
свойства кристалла. 
 
 

Следствием закономерности и 
симметрии структуры кристаллов являются их  однородность, дискретность, симметричность и анизотропность. 
Кристалл называется однородным, если для любой точки, взятой 
внутри него, найдется такая, что свойства кристалла в обеих этих точках 
совершенно аналогичны, причем вторая точка отстоит от первой на некотором конечном расстоянии. Из экспериментальных данных известно, что 
в кристаллах неорганических веществ 
это расстояние обычно составляет несколько десятых долей нанометра. Такие «одинаковые», или эквивалентные, точки периодически повторяются 
в пространстве,  образуя  бесконечные 

 
Рис. 3. Симметричное расположение атомов в монокристалле 
платины, сфотографированное 
с помощью ионного проектора 

ряды, сетки, решетки. Уже с самого начала видна двойственность 
подхода к описанию кристаллического вещества: кристаллы можно 
рассматривать как дискретные (прерывные) и как сплошные (непрерывные) среды. 
 
          

а 
б 
в 
Рис. 4. Модель  расположения   частиц   в   веществе:  
а – газ;   б –  жидкость;  в – кристалл. 
 
 
Дискретность внутреннего строения означает, что свойства 
кристалла не могут быть одинаковыми там, где частица есть, и там, 

где частицы нет, или в местах, в которых расположены частицы разных сортов. Однако для описания многих свойств кристалла достаточно ограничиться рассмотрением объемов значительно больших, 
чем собственный объем частицы, и значительно меньших, чем объем 
кристалла в целом. Именно в таком понимании рассматривают кристалл как среду сплошную и однородную. 
  Симметричностью называют одинаковость свойств кристалла 
в параллельных  направлениях в нём. Симметрия – наиболее общая 
закономерность, присущая строению и свойствам кристаллического 
вещества, которая является одним из фундаментальных понятий физики и естествознания, лежащих в основе всей кристаллографии. 
Анизотропией называется неодинаковость свойств кристалла в 
разных направлениях. Анизотропия связана с тем, что в структуре 
кристалла в разных направлениях различны расстояния и силы связи 
частиц (но одинаковы в симметричных направлениях). Характерный 
пример резко выраженной анизотропности представляет слюда, кристаллы которой легко расщепляются лишь по одному определённому 
направлению 
Кристаллы способны самоограняться, т. е. при определенных 
условиях принимают естественную многогранную форму. Шарик, 
вырезанный из кристалла кварца или квасцов, в растворе этого же соединения покрывается гранями, в то время как шарик из кварцевого 
стекла остается неизменным. То же самое произойдет и с обломками 
этих веществ. Этот пример иллюстрирует не только способность кристаллов самоограняться, но и их анизотропию, проявляющуюся в различии скоростей роста по разным направлениям, а также симметрию. 
Процесс огранения – результат правильного внутреннего строения 
кристаллического вещества. 
Каждый кристалл имеет определенную структуру, т. е. определенное расположение составляющих его материальных частиц. Все 
кристаллы одного и того же минерала имеют одинаковую структуру, 
а так как их внешняя форма есть следствие внутреннего строения, то 
они должны иметь одинаковые гранные углы. 
В самом деле, если мы имеем различные кристаллы какого-либо 
минерала, например кварца, то независимо от величины кристалла, 
способов его образования, формы и размера граней, углы между соответственными гранями будут всегда постоянными (рис. 5). 
Это положение, известное как закон постоянства гранных углов, 
формулируется следующим образом: углы между соответствующими 

гранями во всех кристаллах одного и того же вещества при одинаковых условиях давления и температуры постоянны. Закон постоянства 
гранных углов был установлен Н. Стеноном на кристаллах гематита  
и горного хрусталя; впоследствии этот закон был подтвержден                
М. В. Ломоносовым и Роме де Лилем. 
 
 

 
Рис. 5. Постоянство межгранных углов кристалла  
при разном развитии граней 
 
 
Поскольку углы между соответствующими гранями кристаллов 
одного и того же минерала всегда равны, то эта закономерность может служить основанием для их диагностики. 
Поскольку, симметрия, периодичность и закономерность структуры – основные характеристики кристаллического состояния вещества, то и  основным методом кристаллографии является установление симметрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов. 
 
 
2. Кристаллографическая символика 
 
В реальных кристаллах закономерное чередование частиц нарушается из-за теплового движения, возбуждения и ряда других причин. 
В идеальном кристалле нет нарушений в структуре, все одинаковые частицы в нем расположены одинаковыми параллельными рядами. 
Расстояние в ряду между частицами составляет несколько ангстрем, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле может располагаться примерно 
107  частиц, что практически можно считать бесконечным числом. 

Кратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми 
точками в ряду называется кратчайшей, или элементарной трансляцией, или периодом идентичности; иногда употребляют названия период трансляции, или параметр ряда (рис. 6). 
Одинаковые точки, связанные между собой трансляциями а в бесконечном 
ряду, называются узлами ряда. Узел ряда 
так же, как в дальнейшем угол  плоской 
сетки или пространственной решетки, не 
обязательно должен совпадать с материальной частицей (это могут быть и 
одинаковые точки между частицами 
вещества). 

 
 

 
 
Рис. 6. Симметричный бесконечный ряд с трансляцией а 

Если приложить к произвольной точке три не лежащие в одной 
плоскости (некомпланарные) элементарные трансляции и повторить 
ее бесконечно в пространстве, то образуется трехмерная система эквивалентных узлов (пространственная решетка). Основную тройку 
трансляций a,  b и с пространственной решетки можно выбрать многими способами, но, как и для плоской сетки, принято выбирать 
трансляции кратчайшие и наилучшим образом отражающие симметрию решетки. 
Параллелепипед, сторонами которого являются три элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой, или элементарным параллелепипедом. Элементарный параллелепипед считают 
примитивным, если внутри у него нет узлов. Пространственную решетку можно рассматривать как систему параллельных элементарных 
ячеек, которые касаются друг друга целыми гранями и заполняют 
пространство без промежутков. 
Принято обозначать длины элементарных трансляций (ребра 
элементарной ячейки) буквами а, b, с или  а1 , а2 , а3; углы между ними –  
греческими буквами α, β, γ (рис. 7). Шесть перечисленных величин 
называются параметрами, или постоянными решетки, а величины а, 
в, с – периодами решетки. Параметры кристалла являются материальными константами каждого кристаллического вещества. В общем 
случае в кристаллах а ≠ b ≠ с,  α ≠ β ≠ γ ≠ 90о. 
Объем примитивной элементарной ячейки в пространстве не 
зависит от ее формы и является величиной постоянной для данной 
решетки. 

 а 

Пространственная решетка – это математическая абстракция, 
способ представления периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп частиц («пустых мест» между частицами). 
 
 

 
Рис. 7. Элементарный параллелепипед  
(стандартные обозначения) 
 
 
Структура металла – это расположение конкретных и  материальных частиц в пространстве.   
 
 
Символы узлов 
 
Если один из узлов решетки выбрать за начало координат, то 
любой другой узел определится радиус-вектором, 
 
R = ma + nb + pc, 
 
где m, n, p – три числа, которые называются индексами данного узла. 
Совокупность чисел m, n, p, записанная в двойных квадратных скоб
x 

y 

z 

   γ 

β 

 α 
 

a 

b 

  c

0