Линейная алгебра и многомерная геометрия

Ефимов Н.В.
Розендорн Э.Р.






                Линейная алгебра и многомерная геометрия









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512.64+514.1
ББК 22.143+22.151.5
      Е91

   Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.

   Предметом книги является объединенный курс линейной алгебры и многомерной аналитической геометрии. Главное место в ней занимают основы теории конечномерных линейных пространств и линейных преобразований. В книге изложена тензорная алгебра и на соответствующих примерах показаны ее приложения. На примере групп преобразований читатель познакомится с элементами теории групп. В последней главе дается введение в проективную геометрию.
   Книга рассчитана на студентов механико-математических факультетов университетов. Она может быть полезна студентам втузов, инженерам и научным работникам разных специальностей, изучающим или использующим методы линейной алгебры и многомерной геометрии. В течение многих лет книга являлась основным учебником для вузов и имела гриф учебника Министерства высшего и среднего образования СССР.




Учебное издание

ЕФИМОВ Николай Владимирович
РОЗЕНДОРН Эмиль Ренольдович
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет: Е.А. Знаменская
Оформление переплета: А.Ю. Алехина


ЛР К² 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 06.11.03. Формат 60x90/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 29. Уч.-изд. л. 30,5. Заказ К²

Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: iizmat@maik.ru

Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография К² 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15


ISBN 5-9221-0386-5

ISBN 5-9221-0386-5


© ФИЗМАТЛИТ, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ




Предисловие .............................................. 8
Введение................................................. 10
Глава I. Линейные пространства .......................... 13
      § 1. Аксиомы линейного пространства................ 13
      § 2. Примеры линейных пространств.................. 15
      § 3. Простейшие следствия из аксиом линейного пространства ............................................. 22
      § 4. Линейная комбинация. Линейная зависимость .... 23
      § 5. Лемма о базисном миноре....................... 25
      § 6. Основная лемма о двух системах векторов....... 28
      § 7. Ранг матрицы.................................. 30
      § 8. Конечномерные и бесконечномерные пространства.
           Базис......................................... 32
      § 9. Линейные операции в координатах............... 34
      § 10. Изоморфизм линейных пространств.............. 36
      § 11. Соответствие между комплексными и действительными пространствами............................... 39
      § 12. Линейное подпространство .................... 41
      § 13. Линейная оболочка............................ 43
      § 14. Сумма подпространств. Прямая сумма .......... 46
Глава II. Линейные преобразования переменных. Преобразования координат................................... 52
      § 1. Сокращенная запись суммирования............... 52
      § 2. Линейное преобразование переменных. Произведение линейных преобразований переменных и произведение матриц........................................ 55
      § 3. Квадратные матрицы и невырожденные преобразования                                      58
      § 4. Ранг произведения матриц...................... 63
      § 5. Преобразование координат при изменении базиса . . 65

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава III. Системы линейных уравнений. Плоскости в аффинном пространстве.................................. 68
      § 1. Аффинное пространство....................... 68
      § 2. Аффинные координаты ........................ 69
      § 3. Плоскости................................... 71
      § 4. Системы уравнений первой степени ........... 74
      § 5. Однородные системы.......................... 78
      § 6. Неоднородные системы........................ 85
      § 7. Взаимное расположение плоскостей............ 88
      § 8. Системы линейных неравенств и выпуклые многогранники ........................................ 95
Глава IV. Линейные, билинейные и квадратичные формы 104
      § 1. Линейные формы..............................104
      § 2. Билинейные формы............................108
      § 3. Матрица билинейной формы ...................112
      § 4. Квадратичные формы..........................114
      § 5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа............................117
      § 6. Нормальный вид квадратичной формы...........119
      § 7. Закон инерции квадратичных форм.............120
      § 8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби...............................122
      § 9. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы......................124
      § 10. Определитель Грама. Неравенство Коши-Буняков-ского............................................126
      § 11. Нулевое подпространство билинейной и квадратичной формы........................................129
      § 12. Нулевой конус квадратичной формы...........132
      § 13. Простейшие примеры нулевых конусов квадратичных форм ........................................133
Глава V. Тензорная алгебра.............................136
      § 1. Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные векторы......................................136
      § 2. Тензорное произведение линейных пространств . . . 143
      § 3. Базис в тензорном произведении. Координаты тензора ............................................146
      § 4. Тензоры билинейных форм ....................152
      § 5. Многовалентные тензоры. Произведение тензоров . . 155
      § 6. Координаты многовалентных тензоров .........158

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

      § 7. Полилинейные формы и их тензоры...............160
      § 8. Симметрирование и альтернирование. Косые формы 161
      § 9. Второй вариант изложения понятия тензорного произведения двух линейных пространств...............165
Глава VI. Понятие группы и некоторые его приложения 171
      § 1. Группы и подгруппы. Распределение базисов на классы по данной подгруппе матриц. Ориентация..........171
      § 2. Группы преобразований. Изоморфизм и гомоморфизм групп.............................................177
      § 3. Инварианты. Осевые инварианты. Псевдоинварианты 182
      § 4. Тензорные величины............................187
      § 5. Ориентированный объем параллелепипеда. Дискриминантный тензор .................................192
Глава VII. Линейные преобразования линейных пространств ..................................................197
      § 1. Общие сведения................................197
      § 2. Линейное преобразование как тензор............200
      § 3. Геометрический смысл ранга и определителя линейного преобразования. Группа невырожденных линейных преобразований ...............................203
      § 4. Инвариантные подпространства .................205
      § 5. Примеры линейных преобразований...............208
      § 6. Собственные векторы и характеристический многочлен преобразования...............................214
      § 7. Основные теоремы о характеристическом многочлене и собственных векторах............................216
      § 8. Нильпотентные преобразования. Общая структура вырожденных преобразований .......................219
      § 9. Канонический базис нильпотентного преобразования 222
      § 10. Приведение матрицы преобразования к жордановой нормальной форме..................................230
      § 11. Преобразования простой структуры.............235
      § 12. Эквивалентность матриц.......................237
      § 13. Формула Гамильтона-Кэли......................240
Глава VIII. Пространства с квадратичной метрикой .... 241
      § 1. Скалярное произведение........................241
      § 2. Норма вектора.................................243
      § 3. Ортонормированные базисы......................244
      § 4. Ортогональная проекция. Ортогонализация ......246
      § 5. Метрический изоморфизм........................251

ОГЛАВЛЕНИЕ

      § 6. ^-ортогональные матрицы и ^-ортогональные группы 253
      § 7. Группа евклидовых поворотов .................256
      § 8. Группа гиперболических поворотов ............264
      § 9. Тензорная алгебра в пространствах с квадратичной метрикой...........................................272
      § 10. Уравнение гиперплоскости в пространстве с квадратичной метрикой....................................279
      § 11. Евклидово пространство. Ортогональные матрицы. Ортогональная группа...............................282
      § 12. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве.......................................286
      § 13. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве.
          Дискриминантный тензор. Векторное произведение . 289
Глава IX. Линейные преобразования евклидова пространства ................................................292
      § 1. Сопряженное преобразование...................292
      § 2. Лемма о характеристических корнях симметричной матрицы............................................294
      § 3. Самосопряженные преобразования...............295
      § 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе....................301
      § 5. Совместное приведение к каноническому виду двух квадратичных форм..................................303
      § 6. Кососопряженные преобразования...............306
      § 7. Изометричные преобразования..................308
      § 8. Канонический вид изометричного преобразования . . 313
      § 9. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой 318
      § 10. Кривизна и кручение пространственной кривой . . . 320
      § 11. Разложение произвольного линейного преобразования в произведение самосопряженного и изометричного преобразований................................322
      § 12. Приложения к теории упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений............................325
Глава X. Поливекторы и внешние формы....................328
      § 1. Альтернация..................................328
      § 2. Поливекторы. Внешнее произведение............333
      § 3. Бивекторы....................................338
      § 4. Простые поливекторы..........................348
      § 5. Векторное произведение.......................351
      § 6. Внешние формы и действия над ними............358

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

      § 7. Внешние формы и ковариантные поливекторы .... 361
      § 8. Внешние формы в трехмерном евклидовом пространстве ..............................................367
Глава XI. Гиперповерхности второго порядка...............372
      § 1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка 372
      § 2. Изменение левой части уравнения при переносе начала координат.....................................373
      § 3. Изменение левой части уравнения при изменении ор-тонормированного базиса ...........................375
      § 4. Центр гиперповерхности второго порядка........378
      § 5. Приведение к каноническому виду общего уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве ................................. 379
      § 6. Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве..........................383
      § 7. Аффинные преобразования.......................390
      § 8. Аффинная классификация гиперповерхностей второго порядка.......................................394
      § 9. Пересечение прямой второго порядка. Асимптотические направления...................................395
      § 10. Сопряженные направления......................397
Глава XII. Проективное пространство .....................401
      § 1. Однородные координаты в аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки.........................401
      § 2. Понятие проективного пространства.............404
      § 3. Связка плоскостей в аффинном пространстве......413
      § 4. Центральное проектирование....................421
      § 5. Проективная эквивалентность фигур ............425
      § 6. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка.......................................431
      § 7. Пересечение гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры........................................437
Приложение 1. Доказательство теоремы о классификации линейных величин ..........................................445
Приложение 2. Эрмитовы формы. Унитарное пространство . . 449
Список литературы........................................464

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга задумана как учебник по объединенному курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. Замысел книги возник в связи с лекциями Н.В. Ефимова, которые читались для студентов механико-математического факультета МГУ в 1964-1966 годах. Однако материал этих лекций подвергнут авторами полной переработке и значительно расширен.
   Указанный лекционный курс проводился каждый раз во втором семестре (как и теперь проводится в МГУ) при четырех часах лекций и четырех часах практических занятий в неделю. В настоящей книге ему приблизительно соответствуют главы I—VI, §§ 1-7 главы VII и главы VIII, IX, XI. При этом §§ 8-13 главы VII, глава X и глава XII могут рассматриваться в виде трех независимых дополнений к отмеченным выше основным разделам. В МГУ этот материал не входит в объединенный курс второго семестра и сообщается с большей или меньшей степенью общности в других курсах. Например, тематика параграфов 8-13 гл. VII (приведение матриц к жордановой форме) входит в курс алгебры на третьем семестре.
   С точки зрения авторов основная часть книги и дополнения различаются весьма условно. Книга имеет свою структуру, достаточно определенную внутренними связями между всеми ее разделами, независимо от распределения их по кафедрам и лекционным курсам (объединенным или раздельным, обязательным или факультативным). Что же касается выбора вошедших в книгу разделов, то авторы старались делать его с учетом потребностей других математических дисциплин, а также механики и физики. Мы надеемся, что весь материал книги окажется полезным. Материал этот к тому же вполне доступен. Во всяком случае, вся предварительная подготовка, которую мы предполагаем, может быть дана в первом семестре в курсах аналитической геометрии и алгебры, как бы просто они ни читались. Нужно лишь твердое знание элементарного материала по этим дисциплинам. В частности, для гл. XII желательно предварительное знакомство с проективными преобразованиями и проективными свойствами фигур на плоскости. Заметим еще, что в гл. X читатель ради упрощения дела может пропустить пункты 13-23 § 3, весь § 5 и п. 10 § 7. После этих сокращений материал гл. X может служить минимальной алгебраической основой для теории многомерного интегрирования.
   В заключение отметим, что уже первые пять глав настоящей книги содержат материал, находящий широкие приложения в математике, механике, физике. Эти главы, дополненные отдельными вопросами из последующих глав, могут быть использованы при изучении математики в высших технических учебных заведениях с повышенной математической программой.


30 августа 1969 года

Н.В. Ефимов
Э.Р. Розендорн

ПРЕДИСЛОВИЕ

9

Во втором издании добавлено Приложение 2 «Эрмитовы формы. Унитарное пространство». Остальной текст переработке не подвергался. Исправлена только одна неточность в формулировке на стр. 182, а также замеченные опечатки.

2 ноября 1973 года                                     Н.В. Ефимов
Э.Р. Розендорн

Предисловие к 3-му изданию
   В середине 60-х годов в Киевском и Московском университетах линейная алгебра была выделена в самостоятельный предмет и в нее включена многомерная аналитическая геометрия.
   Исторический курьез: в Москве кафедры алгебры и геометрии не могли договориться, кому из них за это взяться. Тогда академики И.С. Александров и А.И. Колмогоров нашли нестандартный выход: обратиться к заведующему кафедрой математического анализа Н.В. Ефимову — крупному геометру и выдающемуся педагогу.
   Опыт был успешным и получил распространение, в том числе и в технических университетах. Время показало правильность сделанного Н.В. Ефимовым отбора материала для учебника. Он был переиздан, переведен на другие языки. К сожалению, в текст закрался дефект, который был замечен не сразу (и. 4, § 7 гл. I); в данном издании он исправлен.

15 июня 2003 года                                    Э.Р. Розендорн

ВВЕДЕНИЕ

В математике и ее приложениях часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение и умножение на число. Например, в механике рассматривают всевозможные силы, приложенные к данному твердому телу. Две силы, приложенные к одной точке, можно сложить, т. е. заменить одной силой, приложенной к той же точке. Силу можно умножить на число а, т. е. увеличить в а раз, сохранив линию действия. В механике рассматривают также сложение скоростей и умножение скорости на число; рассматривают сложение ускорений и умножение ускорения на число. Силы, скорости и ускорения различны по своей физической природе. Однако линейные операции, которые производятся над ними, единообразны с геометрической точки зрения. Поэтому в механике принят общий способ изображения этих объектов в виде направленных отрезков. Тем самым все они обслуживаются общими правилами сложения и умножения на число геометрических векторов.
   Но это обобщение идет гораздо дальше. Рассмотрим, например, множество всех функций, непрерывных на числовой оси, или множество всех периодических функций с данным периодом, или множество всех алгебраических многочленов. В каждом из этих множеств мы можем естественным образом рассматривать линейные операции (понимая сумму функций и произведение функции на число, как принято в анализе). Объекты, о которых мы сейчас говорим, не похожи на силы, скорости и ускорения или на геометрические векторы. Линейные операции над ними также не похожи на линейные операции над векторными величинами механики или над геометрическими векторами.
   Однако здесь есть и нечто общее, позволяющее изучать линейные операции абстрактно, отвлекаясь от конкретной природы объектов.
   Прежде всего, в любом нашем примере дело обстоит так, что линейные операции над элементами данного множества (т. е. над объектами, из которого оно состоит) дают в результате элементы того же множества. Именно, складывая геометрические векторы или умножая их на число, мы получаем геометрические векторы; складывая непрерывные функции или умножая их на число, мы получаем непрерывные функции. То же самое можно повторить про периодические функции с данным периодом или про алгебраические многочлены.