Основы геометрической кристаллографии

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
 
 
 
 
 
 
К.Л. Новоселов 
 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ  
КРИСТАЛЛОГРАФИИ 
 
 
Рекомендовано в качестве учебного пособия  
Редакционно-издательским советом  
Томского политехнического университета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Издательство 
Томского политехнического университета 
2015 

УДК 548.1(075.8) 
ББК  22.37я73   

Н76 

Новоселов К.Л. 

Н76  
Основы геометрической кристаллографии : учебное пособие / 

К.Л. Новоселов ; Томский политехнический университет. – Томск : 
Изд-во Томского политехнического университета, 2015. – 73 с. 
 
В пособии рассматриваются основные вопросы геометрической кристаллографии – внутреннее строение кристаллических тел и взаимосвязь его с внешней 
формой кристаллов, законы симметрии кристаллов, практические приёмы определения элементов симметрии. Теоретические разделы сопровождаются наглядными иллюстрациями и примерами реальных кристаллов минералов. Зарисовки 
простых форм сгруппированы по классам симметрии и сингониям. Приводятся 
примеры определения простых форм в комбинациях. Основные вопросы физикохимической кристаллографии включают возникновение и рост кристаллов в лабораторных и природных условиях, факторы, влияющие на форму кристаллов, и 
рассматриваются в контексте их связи с минералогией. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 
21.05.02 «Прикладная геология», и для студентов других геологических специальностей.  

УДК 548.1(075.8) 
ББК 22.37я73   

Рецензенты 

Кандидат геолого-минералогических наук 

заведующий сектором литологии  

лаборатории седиментологии ОАО «ТомскНИПИнефть» 

М.В. Шалдыбин  

Кандидат геолого-минералогических наук 

геолог 1 категории ОАО «Кузбассгипрошахт» 

А.В. Наставко  

 
© ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2015 
© Новоселов К.Л., 2015 
© Оформление. Издательство Томского  
политехнического университета, 2015 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ  ...................................................................................................  5 

1. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА  ..........................................  6 

1.1. Аморфные тела  ..................................................................................  6 

1.2. Кристаллические тела и кристаллы  .................................................  6 
1.2.1. Пространственная решетка  ....................................................  6 
1.2.2. Определение кристалла. 
Связь внешней формы кристалла  
с его внутренним строением ...................................................  9 
1.2.3. Основные свойства кристаллов  ...........................................  10 

2. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ  .............................................................  11 

2.1. Элементы симметрии кристаллов  ..................................................  11 
2.1.1. Ось симметрии  .......................................................................  11 
2.1.2. Плоскость симметрии  ...........................................................  12 
2.1.3. Центр симметрии  ...................................................................  13 

3. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИСТАЛЛОВ  ..................................................  15 

4. ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ  .......................................................................  16 

4.1. Номенклатура простых форм  .........................................................  19 

5. СИСТЕМЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ОСЕЙ  ...........................  20 

5.1. Закон целых чисел  ...........................................................................  22 

5.2. Символы граней  ...............................................................................  24 

6. СИСТЕМАТИКА КРИСТАЛЛОВ  ........................................................  25 

6.1. Кубическая сингония (4L3)  .............................................................  25 

6.2. Тетрагональная сингония (L4)  ........................................................  30 

6.3. Гексагональная сингония (L6)  ........................................................  32 

6.4. Тригональная сингония (L3)  ...........................................................  34 

6.5. Ромбическая сингония  ....................................................................  36 

6.6. Моноклинная сингония  ...................................................................  37 

6.7. Триклинная сингония  ......................................................................  38 

6.8. Порядок работы с моделями кристаллов  ......................................  38 

7. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РОСТ КРИСТАЛЛОВ  ....................................  48 

7.1. Возникновение кристаллов  .............................................................  49 

7.2. Рост кристаллов  ...............................................................................  49 

7.3. Факторы, влияющие на форму кристаллов  ...................................  52 
7.3.1. Концентрационные потоки  ...................................................  52 
7.3.2. Концентрация и температура раствора  ...............................  53 
7.3.3. Примеси в растворе  ...............................................................  54 

8. ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА ГРАННЫХ УГЛОВ  ...................................  55 

9. ФОРМЫ РЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ  ................................................  57 

9.1. Сростки кристаллов  .........................................................................  59 

9.2. Двойники  ..........................................................................................  59 

9.3 Усложненные формы кристаллов  ...................................................  62 

9.4. Внутреннее строение кристаллов  ..................................................  65 

9.5. Включения в кристаллах  .................................................................  66 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  ...........................................................................................  69 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ  ........................................................  70 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  ..........................................................................  72 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Цель предлагаемых методических материалов – помочь студенту 

в изучении основ кристаллографии, на знании которых базируются такие 
геологические дисциплины, как минералогия, петрография и геохимия. 
Отсутствие учебников по кристаллографии для бакалавров создает определенные трудности обучающимся при самостоятельном изучении отдельных разделов кристаллографии. В основу данного руководства положен многолетний опыт преподавания дисциплины на кафедре 
минералогии и петрографии ТПУ, методика которого была заложена 
профессором кафедры А.М. Кузьминым (1891−1980), внесшим большой 
вклад в развитие кристаллографии как науки. 

Кристаллография – наука о кристаллах. Кристаллом называется 

твердое тело, имеющее форму геометрически правильного многогранника. Элементы поверхности кристалла: грани (плоскости, ограничивающие кристалл), ребра (линии пересечения граней), вершины (точка 
пересечения ребер).  

Содержание кристаллографии определяется ее тесной связью с та
кими естественными науками, как химия, физика, математика, и включает следующие разделы: 
1. 
Геометрическая кристаллография – изучает внешнюю форму кристаллов и закономерности их внутреннего строения. 

2. 
Кристаллохимия – изучает связь между внутренним строением 
кристаллов и их химическим составом. 

3. 
Физико-химическая кристаллография – исследует закономерности 
образования и роста кристаллов. 

4. 
Физическая кристаллография (кристаллофизика) – занимается исследованием физических свойств кристаллов (механические, тепловые, электрические, магнитные, оптические). Оптические свойства кристаллов выделены в специальный раздел кристаллофизики, 
называемый кристаллооптикой. 
Наряду с указанными разделами, немаловажное значение имеет 

кристаллография как неразрывная часть минералогии – большинство 
минералов образуются в форме кристаллов, а для некоторых минералов 
облик кристаллов служит основным диагностическим признаком при 
макроскопическом определении. 

В данном руководстве рассматриваются вопросы, главным образом гео
метрической кристаллографии, знание которых составляет основу успешного 
изучения минералогии и петрографии. Кратко излагается теория возникновения и роста кристаллов, поскольку внешняя форма кристаллов несет большую 
информацию о физико-химических условиях среды кристаллизации. 

1. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА 

В природе вещество находится в жидком, газообразном и твердом 

состояниях. Кристаллография изучает твердые тела. Среди твердых тел 
различают аморфные, кристаллические тела и кристаллы. 

1.1. Аморфные тела 

Аморфными называются твердые тела, в которых материальные 

частицы (атомы, ионы или молекулы) расположены беспорядочно. 
Примерами аморфных образований служат стекла, смолы, пластмассы, 
клей и др. Среди природных образований в земной коре в аморфном состоянии известны такие минералы, как опал SiO2·nH2O, хризоколла 
CuSiO3⋅nH2O и некоторые другие. Отличительное свойство аморфного 
тела – изотропность. Под изотропностью понимаются одинаковые свойства вещества (например, твердость, электро- и теплопроводность) 
в различных направлениях. Аморфное состояние неустойчиво, и со временем происходит раскристаллизация – переход вещества из аморфного 
состояния в кристаллическое. 

1.2. Кристаллические тела и кристаллы 

Принципиальное отличие кристаллических тел от аморфных за
ключается в упорядоченности расположения материальных частиц. Современная теория внутреннего строения кристаллов получила развитие 
еще в начале XIX века, когда Волластоном была предложена идея 
о строении кристаллов по закону пространственной решетки. В начале 
XX века работами немецкого физика М. Лауэ удалось экспериментально подтвердить закономерное расположение частиц в структуре кристаллов, а в 1947 году были получены фотографии, непосредственно 
показывающие строение кристаллов. 

В кристаллических телах материальные частицы закономерно ориен
тированы в пространстве и образуют кристаллическую структуру (рис. 1). 

В качестве модели внутреннего строения кристаллических тел при
нята пространственная (кристаллическая) решетка. 

1.2.1. Пространственная решетка 

Пространственная решетка представляет собой совокупность 

материальных частиц, расположенных в соответствующих точках 
бесконечного множества параллелепипедов, которые нацело выполняют пространство, будучи равными, параллельно ориентированными 
и смежными по целым граням (рис. 2). 

1 
2 

Рис. 1. Структура поваренной соли NaCl (1) и алмаза С (2) 

Рис. 2. Пространственная решетка 

Рис. 3. Ряд пространственной  

решетки:  

а – промежуток ряда 

В строении пространственной решетки выделены следующие эле
менты: 

• узлы – материальные частицы, расположенные в определенных 

точках пространственной решетки (вершины, центры параллелепипедов или их граней); 

• ряды – совокупность узлов, расположенных вдоль прямой и повто
ряющихся через равные промежутки (рис. 3); 

• плоская сетка – совокупность узлов, расположенных в одной плос
кости и находящихся в вершинах параллелограммов (рис. 4); каждая плоская сетка разбивается двумя сериями параллельных рядов 
(А0Аn и А0Вn) на систему равных и параллельно ориентированных 
параллелограммов (на рис. 4 соответствующий параллелограмм 
заштрихован), в частных случаях параллелограммы представлены 
ромбами, прямоугольниками и квадратами. 

• элементарная ячейка – элементарный параллелепипед, закономер
ная повторяемость которого образует пространственную решетку (рис. 5). 

Рис. 4. Плоская сетка 
Рис. 5. Элементарная ячейка:  

углы α, β, γ, промежутки ряда a, b, c –  

параметры элементарной ячейки 

Элементарная ячейка характеризуется следующими параметрами: 

углы (α, β, γ) между направлениями, принятыми за координатные оси 
(Х, Y, Z) и отрезки (a, b, c) – промежутки ряда. 

Значения углов α, β, γ и отрезков a, b, c определяют конфигурацию 

элементарной ячейки. Но эти значения не могут быть произвольными, 
они подчиняются определенным закономерностям расположения материальных частиц, и если параметры ячейки определяют тип пространственной решетки, то таких типов должно быть конкретное количество. 
В 1848 году французский кристаллограф О. Бравэ (1811–1863) математическими расчетами доказал, что существует всего 14 типов пространственных решеток (рис. 6). Расчеты строились на том принципе, что узлы 
пространственной решетки располагаются симметрично, в результате 
были вычислены 14 возможных конфигураций элементарных ячеек. 

На рис. 6 приведены элементарные ячейки 14 типов решеток Бравэ. 

Ячейки 1, 2, 3, 4, 12 называются примитивными (или пустыми), поскольку 
узлы расположены только в их вершинах, форма самих ячеек зависит 
от соотношения параметров a, b, c и углов α, β, γ. Данные параметры изменяются от варианта a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90° (триклинная решетка, рис. 6, 1) 
с последующими изменениями: a ≠ b ≠ c, β ≠ α = γ = 90° (моноклинная решетка, рис. 6, 2), a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90° (ромбическая решетка, рис. 6, 3), 
a = b ≠ c, α = β = γ = 90° (тетрагональная решетка, рис. 6, 4), a = b = c, 
α = β = γ = 90° (кубическая решетка, рис. 6, 12). Кроме пяти примитивных 
ячеек с узлами в вершинах, возможны варианты с сохранением симметрии, но с дополнительными узлами, например, в центре ячейки 
(рис. 6, 6, 11, 13). Такие ячейки называются объемно-центрированными. 
Если узлы располагаются в серединах всех граней ячейки (рис. 6, 7, 14), 
они носят название гранецентрированных. Ячейки 3 и 5 – базоцентрированные. Кроме 12 разобранных пространственных решеток имеются еще 
две (рис. 6, 8, 9) – ромбоэдрическая и гексагональная. 

Представителями кристаллических тел являются кристаллы, внутрен
няя структура которых построена по законам пространственной решетки.