Инженерные методы расчета задач нелинейного теплообмена при ламинарном течении жидкости в каналах

785763 831566

ISBN 978-5-7638-3156-6

Коллективная монография 

Политехнический институт

Инженерные методы расчета 
задач нелинейного теплообмена 
при ламинарном течении 
жидкости в каналах

Изложена новая методика расчета высокотемпературного нагрева ламинарных потоков жидкости, текущей 
в каналах постоянного сечения. Перенос тепла к наружной 
поверхности каналов осуществляется излучением, а также 
излучением и конвекцией одновременно. Приведены подробные таблицы значений относительных температур, вычисленных в широком диапазоне изменения параметров, 
характеризующих процесс.

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
 

СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ю. В. Видин, В. С. Злобин,  
В. В. Иванов, Г. Г. Медведев 
 
 
ИНЖЕНЕРНЫЕ  МЕТОДЫ  РАСЧЕТА  
ЗАДАЧ  НЕЛИНЕЙНОГО  ТЕПЛООБМЕНА  
ПРИ  ЛАМИНАРНОМ  ТЕЧЕНИИ   
ЖИДКОСТИ  В  КАНАЛАХ 
 
 
Коллективная монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2015 

 

УДК 536.24 
ББК  22.365.55 
И622 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
В. С. Логинов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Промышленная теплоэнергетика» Томского национальноисследовательского политехнического университета; 
А. А. Федяев, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой 
«Промышленная теплоэнергетика» Братского государственного университета 
 
 
 
 
 
 
 
И622 
 
Инженерные методы расчета задач нелинейного теплообмена при ламинарном течении жидкости в каналах: коллективная монография / Ю. В. Видин, В. С. Злобин, В. В. Иванов, 
Г. Г. Медведев. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2015. – 156 с. 
ISBN 978-5-7638-3156-6 
 
Изложена новая методика расчета высокотемпературного нагрева ламинарных потоков жидкости, текущей в каналах постоянного сечения. Перенос 
тепла к наружной поверхности каналов осуществляется излучением, а также 
излучением и конвекцией одновременно.  
Приведены подробные таблицы значений относительных температур, 
вычисленных в широком диапазоне изменения параметров, характеризующих процесс. 
Предназначена научным работникам и инженерам, преподавателям вузов, аспирантам и студентам, специализирующимся в области теплообмена. 
 

Электронный вариант издания см.: 
УДК 536.24 

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК  22.365.55 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-3156-6 
© Сибирский федеральный 
университет, 2015 

Введение 

3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Одной из проблем, которые возникают при конструировании теплообменных аппаратов, работающих при повышенных температурах, является создание эффективных методов расчета процессов нагрева теплоносителей. Трудность здесь заключается в том, что с ростом температуры 
греющей среды механизм конвективного переноса значительно усиливается радиационным переносом и тепловой поток на наружной поверхности 
стенок канала становится нелинейной функцией температуры этой поверхности. 
Сложность краевых условий не позволяет решать эту задачу с помощью чисто аналитических способов. Однако было бы неправильно по этой 
причине совсем отказаться от их использования и ограничиваться лишь 
применением численных методов. Наиболее целесообразный подход к решению подобных задач заключается в сочетании обоих методов: теоретические уравнения корректируются и дополняются данными численного 
расчета для оценки погрешности и определения границ применимости 
аналитических способов исследования. 
В монографии предлагается именно такой подход к изучению явлений теплового переноса, сопровождающихся нелинейными эффектами. 
Вначале рассматриваются малоинтенсивные процессы нагрева, когда перепад температуры по сечению потока сравнительно невелик и для расчета 
температурных полей применяется интегральный метод линеаризации граничных условий. Затем показано усовершенствование этого метода и обобщение его на процессы переноса любой интенсивности. Далее излагаются 
методы нахождения верхнего и нижнего пределов для температурного поля 
в сечении потока при его ламинарном течении. На основе этих методов разработан эффективный приближенный способ расчета нагрева жидкости 
в каналах от высокотемпературных внешних источников. Приводятся результаты сравнения численных и аналитических расчетов. 
Даются зависимости, позволяющие определить полностью поле температуры в потоке теплоносителя, если известно распределение температуры вдоль координатных осей, выбранных произвольно. Завершается монография рассмотрением некоторых задач, относящихся к классу проблем 
сопряженного нелинейного теплообмена.  
 
 
 

Глава 1 

4 

Глава 1 

 
 
ПРИМЕНЕНИЕ  МЕТОДА  ИНТЕГРАЛЬНЫХ  
ЛИНЕАРИЗУЮЩИХ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ  
К  РАСЧЕТУ  ПРОЦЕССОВ  ТЕПЛООБМЕНА 
 
 
1.1. Постановка задачи. Принятые допущения 
 
Во многих теплопередающих устройствах жидкость, текущая внутри 
труб, нагревается за счет наружной газовой среды. Хотя вопросам нагрева 
жидкости в таких условиях и посвящен целый ряд теоретических работ, все 
они ограничены случаями, когда перенос тепла к внешней поверхности труб 
осуществляется лишь путем конвекции [1]. При высоких температурах газовой 
среды Тc доля тепла, переданная радиацией, может быть весьма значительной 
и ее необходимо учитывать наряду с конвекцией и теплопроводностью. 
Настоящая работа посвящена изучению влияния совместного лучистого и конвективного переноса тепла на распределение температуры 
внутри ламинарного потока жидкости. 
При анализе приняты следующие допущения: 
1. Течение жидкости стационарное и стабилизированное с параболи
ческим профилем скоростей 

2

2
0
2
(1
)
x
r
W
W
r
=
−
. 

2. Теплопроводность в осевом направлении, а также диссипация энергии в потоке пренебрежимо малы. 
3. Теплофизические свойства жидкости, коэффициенты теплоотдачи α 
и излучения σ на наружной поверхности трубы постоянны. 
4. Температура на входе в теплообменный участок постоянна и равна Т0. 
5. Лучистая теплопередача в движущемся потоке жидкости и между 
внутренними стенками канала отсутствует. 
6. Термическим сопротивлением стенки трубы из-за ее малой толщины 
и большого коэффициента теплопроводности материала можно пренебречь. 
При указанных допущениях математическая постановка рассматриваемой задачи для канала круглого сечения имеет вид 
 

 

2
2

2
0

( , )
1
( , )
2
( , )
1
T x r
T x r
W
r
T x r
r
r
a
r
x
r

⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
⎢
⎥
+
=
− ⎜
⎟
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
, 0 ≤ x ≤ ∞, 0 ≤ r ≤ r0, (1) 

 

 
(
)
(
)
{
}
4
4
0
0
0
0
( ,
)
λ
α
,
σ
,
c
c
T x r
d
T
T x r
T
T
x r
d
r
∂
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
−
⎣
⎦
⎣
⎦
∂
, 
(2) 

Применение метода интегральных линеаризующих преобразований … 

5 

 
( , 0)
0
T x
r

∂
=
∂
, 
(3) 

 
 
T (0, r) = Т0, 
(4) 
 
где d и d0 – соответственно наружный и внутренний диаметры трубы. 
Дифференциальное уравнение (1) и краевые условия (2)−(4) можно 
выразить в обобщенных переменных: 
 

 
(
)

2
2
2
(
, )
1
(
, )
(
, )
1
X R
X R
X R
R
R
R
X
R

∂ Θ
∂Θ
∂Θ
+
=
−
∂
∂
∂
, 
(5) 

 

 
[
]
4
(
,1)
1
(
,1)
1
(
,1)
X
Bi
X
Sk
X
R
∂Θ
⎡
⎤
=
− Θ
+
− Θ
⎣
⎦
∂
, 
(6) 

 

 
(
, 0)
0
X
R

∂Θ
=
∂
, 
(7) 

 
 
Θ (0, R) = Θ0. 
(8) 
 

Здесь 
Θ0 ≤ Θ 

c

T
T  = ≤ 1;   0 ≤ R = 

0

r
r  ≤ 1, 
 

 

0 ≤ X = 

0

2
x

Pe d  ≤ ∞;   
0 ,
Wd
Pe
a
=
 d0 = 2r0, 

 

0 < Bi = 
0

0

α
λ
r d
d ;   

3
0

0

σ
0
λ

cT r d
Sk
d
<
=
. 

 
Использование безразмерной формы записи математической модели 
процесса имеет известные преимущества. Главным из них является то, что 
решение уравнений теплопереноса в безразмерном виде менее трудоемко, 
чем решение тех же уравнений в размерной форме, поскольку число обобщённых переменных сокращается. По этой же причине объём расчетной 
работы по безразмерным решениям оказывается минимальным [2, 3]. 
 
 
1.2. Расчет процессов теплообмена  
ограниченной интенсивности 
 
Затруднений, которые возникают в связи с нелинейностью краевого условия (6), отражающего радиационно-конвективный теплообмен на 
поверхности трубы, можно избежать при помощи перехода к системе 

Глава 1 

6 

с линейными граничными условиями. Для этого используем новую переменную (
,
)
X R
ϑ
, которая имеет следующий вид [4−6]:  

 

2
2
2
4
2
1
1
0

η
(
, )
(
, )
(
, )
ln
(
)(1
η)
1
η
(
, )
(
, )
d
X R
a
X R
b
X R
M

Bi Sk
X R
a
X R
b

Θ
Θ
+
Θ
+
ϑ
=
=
+
−
+ −
−Θ
−
Θ
−
∫
 

 

 
1
2

0
1

(
, )
2 2 (
, )
ln
arctg
1
(
, )
2
α
α
X R
b
X R
a
N
L
X R
Θ
−
Θ
+
+
+
− Θ
+
, 
(9) 

где 

0
2
2
1
0

2α
,
α
8α
M =
+
 

(
)

1
0

2
2
1
0
1
0

α
2α
α
1
α
α
8α
2

N
+
= ⎛
⎞
−
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠

, 

 

1
0
2
2
0
1
1
0

2(α
2α )
α
α (α
8α )
L
−
=
+
+
, 

 

2
4
3
2
4
3
3
3
0
0
2
2
α
α
16
27
16
27
16
16

Bi
p
p
q
p
p
q
Sk
⎛
⎞
=
=
+
−
+
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
, 

 

1
1
0
0
,
1
, α
,
2α ,
2α
Bi
Bi
p
p
q
a
Sk
Sk
⎛
⎞
=
= −
+
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

 

1
1
1
0
2
0
2
0
α
α
α
,
2α ,
α
2
2
b
a
b
=
−
= −
=
+
. 

 
В табл. 1 приведены значения величины α0 в зависимости от отношения р = Bi Sk .  
 
Таблица 1 
Значения функции α0 = α0 (р) 
 
р 
0 
0,20 
0,40 
0,60 
0,80 
1,00 
1,25 
1,50 
2,00 

α0 
0 
0,0042 0,0142 0,0281
0,0441
0,0625
0,0865 0,1116 0,1648

 
Преобразование (9) приводит нелинейное граничное условие (6) 
к виду линейного граничного условия второго рода. При этом задача (5)–(8) 
запишется так:  
 

 

2
2
2
(
, )
1
(
, )
(
, )
(
, )
(1
)
X R
X R
X R
X R
R
R
R
X
R

∂ ϑ
∂ϑ
∂ϑ
+
− ϕ
=
−
∂
∂
∂
, 
(10) 

Применение метода интегральных линеаризующих преобразований … 

7 

 
(
)

2
3
(
, )
4
X R
p
R
∂ϑ
⎛
⎞
ϕ
=
+ Θ
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
, 
(11) 

 

 
(
)
,1
X
Sk
R

∂ϑ
=
∂
, 
(12) 

 

 
(
)
,0
0
X
R

∂ϑ
=
∂
, 
(13) 

 

 
(
)
(
)

0

0
4
0
0,
1
1
d
R
p

Θ
Θ
ϑ
=
= ϑ
− Θ + − Θ
∫
. 
(14) 

 
Нетрудно видеть, что функция φ = φ (X, R) всегда положительна 
и может рассматриваться с физической стороны как внутренний сток тепла 
переменной мощности. 
Когда числа Bi и Sk → 0, градиент температуры 
R
∂Θ ∂
 → 0 и нелинейный комплекс φ (X, R) также стремятся к нулю. Это дает возможность 
при небольших значениях чисел Bi и Sk (не слишком интенсивные процессы нагрева) принять φ = φ (X, R) ≈ 0. Тогда 
 

 
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
,
,
,
1
1
X R
X R
X R
R
R
R
X
R

∂ ϑ
∂ϑ
∂ϑ
+
≈
−
∂
∂
∂
. 
(15) 

 
Решая теперь линеаризованную задачу (15), (12)–(14) и подставляя 
найденную функцию 
(
,
)
X R
ϑ
 в преобразование (9), определяем искомое 
распределение температуры Θ = Θ (X, R).  
Решение системы (15), (12)–(14) дается уравнением, полученным в [1]: 
 

 
(
)
( )
(
)
2
4
2
0
1

1
1
7
,
2
2
ψ
exp
μ
2
8
48
n
n
n
n
X R
Sk
X
R
R
A
R
X

∞

=

⎡
⎤
ϑ
= ϑ +
+
−
−
+
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
. (16) 

 
График зависимости 
 
(
)
( )
(
)
2
4
2
0

1

,
1
1
7
2
ψ
exp
μ
2
2
8
48
n
n
n
n

X R
W
X
R
R
A
R
X
Sk

∞

=

ϑ
− ϑ
=
=
+
−
−
+
−
∑
,  

 
для ряда числовых значений безразмерной осевой координаты X приведен 
на рис. 1, а, заимствованном из работы [1]. Зависимости между W и числом 
X для стенки канала (R = 1) и его оси (R = 0) даны на рис. 1, б. Здесь же 
проведена линия, соответствующая среднеинтегральной величине W по сечению канала. 

Глава

8 

 

 
З

(ψn (0)
рис. 2 
различ

 

 
n 

1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 

Ф

зависи

 

 
котора
сложн
таточн

1 

Р

Значения
) = 1) дан

даны гр

чных p = 

2
8
1
2
4
6
8

Формулу
имости: 

p
ϑ =

ая по ср
ной и одно
но высоко

а 

Рис. 1. Гра

я постоян
ны в табл
рафически
Bi Sk . 

Значе

2
μn  

25,6796 
83,8618 
174,167 
296,536 
450,947 
637,387 
855,850 

 (9) мож

(3
1
4

p

p

⎡
⎢
⎢
+
⎢
⎢⎣

авнению 
овременн
ой точнос

фическое 

нных An, 
л. 2 [1]. Д
ие решен

ния 
2
μn , A

жно предс

)

(

5,62

1

p

p

+
Θ

+

с выраж

но позвол
стью. 

представл

μn, а так

Для облег
ния транс

n и ψn (1) в

An

0,2017
− 0,087
0,0527

− 0,036
0,0275
− 0,021
0,0177

ставить в 

(

)(

2,5

1
1,8

p

p

Θ +

+

жением (
яет прово

ление ура

кже функ
гчения пр
сцендентн

в уравнени

741 
7555 
797 
6402 
178 
7415 
7985 

виде сле

)

)

2,75
2

75

Θ
−

(9) являе
одить тех

б 

авнения (1

кций ψn =
рактическ
ного урав

ии (16)

−

−

−

−

едующей 

(

2

2
ln 1
−
−

ется суще
хнические

6)  

= (R) при
ких расче
внения (

Таб

ψn (1) 

− 0,492517 
0,395508 
− 0,345872 
0,314047 
− 0,291252 
0,273808 
− 0,259852 

приближ

)

⎤
⎥
Θ ⎥
⎥
⎥⎦

, 

ественно 
е расчеты

и R = 1 
етов на 
9) при 

блица 2

женной 

менее 

ы с дос

Применение метода интегральных линеаризующих преобразований … 

9 

 
 
Рис. 2. Значение функции Θ = Θ (ϑ ) 
 
Если параметр p = 0, то есть подвод тепла к наружной поверхности 
каналов происходит только излучением, тогда это выражение дополнительно упрощается: 
 
ϑ = 0,75Θ – 0,183Θ2 – 0,25ln (1 – Θ). 
 
Допущение φ (X, R) = 0 приводит к завышенным значениям Θ (X, R). 
Это связано с тем, что величина мощности теплового стока (11) всегда положительна, в то время как принято, что φ (X, R) = 0. 
Сопоставление значений температур, вычисленных по предложенному методу с данными, полученными при помощи ЭВМ, показали, что 
пренебрежение функцией φ (X, R) = 0 вызывает погрешность расчета температуры Θ (X, R) для всех значений R, не превышающую 10 %, когда 
Bi ≤ 0,5; Sk ≤ 0,5 и Θ ≥ 0,2. С уменьшением чисел Bi и Sk, а также ростом 
начальной температуры на входе в трубу Θ0 точность расчета повышается. 
Рассмотрим теперь радиационно-конвективный нагрев жидкости, текущей в плоской трубе. Поскольку методики расчета температуры в круглой 
и плоской трубах принципиально не отличаются, приведем лишь основные 
сведения, т. е. исходную и преобразованную систему уравнений вместе с решением: 

 
(
) (
)
(
)
2
2
2
,
,
1
X Y
X Y
Y
X
Y

∂ Θ
∂Θ
=
−
∂
∂
, 
(17)