Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2011, №65

УДК 303.732.4 
UDC 303.732.4 
 
РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАЦИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ 
СИСТЕМ В СИСТЕМНОМ ОБОБЩЕНИИ 
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (ОБЪЕДИНЕНИЕ 
БУЛЕАНОВ) 
 

IMPLEMENTATION OF OPERATION OF 
INTEGRATING OF SYSTEMS IN SYSTEM 
GENERALIZATION OF THE THEORY OF 
SETS (BULEAN INTEGRATING) 

Луценко Евгений Вениаминович 
д.э.н., к.т.н., профессор 
Lutsenko Evgeny Veniaminovich 
Dr. Sci.Econ., Cand. Tech.Sci., professor 
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия 
 

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia 

В статье рассматривается реализация операции 
объединения систем, являющаяся обобщением 
операции объединения множеств в рамках системного обобщения теории множеств. Эта операция 
сходна с операцией объединения булеанов классической теории множеств. Но в отличие от классической теории множеств в ее системном обобщении предлагается конкретный алгоритм объединения систем и обосновывается количественная мера 
системного 
(синергетического, 
эмерджентного) 
эффекта, возникающего за счет объединения систем. Для этой меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р.Хартли» 
из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли, 
отражающим степень отличия системы от множества его базовых элементов. Приводится ссылка на 
авторскую программу, реализующую предложенный алгоритм и обеспечивающую численное моделирование объединения систем при различных ограничениях на сложность систем и при различной 
мощности порождающего множества, приводятся 
некоторые результаты численного моделирования 
 

In the article, the embodying of operation of integrating of systems, being generalization of operation of 
integrating of sets within the limits of system generalization of the theory of sets is considered. This operation is similar to bulean integrating operation of the 
classical theory of sets. However, unlike the classical 
theory of sets, the concrete algorithm of integrating of 
systems in its system generalization is offered and the 
quantitative standard system effect (synergetic, emergetic) arising with the application of integrating of 
systems is proved. For this standard, the unique name 
is offered: «The generalized coefficient of emerge by 
R.Hartley» because of likeness of its mathematical 
form to the local coefficient of emerge by Hartley, 
reflecting a degree of difference of system from the set 
of its base elements. The reference to the author's program realizing offered algorithm and providing numerical modeling of integrating of systems at various 
restrictions on complexity of systems and at various 
power of generating set is given, some effects of numerical modeling are given 
 

Ключевые слова: СИСТЕМНЫЙ 
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ, ОПЕРАЦИЯ 
ОБЪЕДИНЕНИЯ, БУЛЕАН, СИСТЕМА, 
МНОЖЕСТВО, СИСТЕМНОЕ ОБОБЩЕНИЕ 
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ЧИСЛЕННОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ, ОБОБЩЕННЫЙ 
КОЭФФИЦИЕНТ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ ХАРТЛИ 

Keywords: SYSTEM SYNERGETIC EFFECT, 
OPERATION OF INTEGRATING, BULEAN, 
SYSTEM, SET, SYSTEM GENERALIZATION OF 
THE THEORY OF SETS, NUMERICAL 
MODELING, GENERALIZED COEFFICIENT OF 
EMERGE BY HARTLEY 
 
 
В статье [2] в общем виде сформулирована, обоснована и предложе
на программная идея системного обобщения математики, суть которой со
стоит в тотальной замене понятия "множество" на более общее понятие 

"система" и прослеживании всех математических последствий этого во 

всех разделах математики, основанных на теории множеств или исполь
зующих ее результаты. При этом обеспечивается соблюдение принципа 

соответствия, обязательного для более общей теории, т.к. чем ниже уро
вень системности, тем в меньшей степени система отличается от множест

ва, а система с нулевым уровнем системности тождественно и есть множе
ство. В работах [3, 4] приводится неформальная постановка и обсуждение 

задач, возникающих при системном обобщении теории множеств. В работе 

[5] обосновываются количественные меры уровня системности (эмерд
жентности, синергетического или системного эффекта1 [5, 7, 12]). В статье 

[6] приводится развернутый пример реализации этой программной идеи, в 

качестве которого выступает предложенная автором системная теория ин
формации. 

Данная работа посвящена разработке подхода к решению 9-й задачи, 

сформулированной в [3, 4]: «Разработать операции с системами: объеди
нение (сложение), пересечение (умножение), вычитание. Привести предва
рительные соображения по реализации операции объединения систем». 

В классической теории множеств, которую мы далее сокращенно бу
дем называть «КТМ», операция объединения множеств реализуется сле
дующим образом. «Объединение множеств (тж. сумма или соединение) 2 в 

теории множеств – множество, содержащее в себе все элементы исходных 

множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается 
, 

но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B». Графически опе
рация объединения двух множеств может быть представлена в форме диа
граммы Эйлера-Венна, приведенной на рисунке 1.

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения двух множеств3 
 

                                           
1 Системный эффект проявляется в отличии свойств системы от свойств ее элементов. Яркими примерами системного эффекта являются отличие свойств химических соединений от свойств химических элементов, их которых они состоят, дефект массы в физике, когда масса физической системы не совпадает с 
суммой масс ее частей. Системный эффект тем больше, чем сильнее взаимодействие элементов системы. 
2 http://ru.wikipedia.org/wiki/Объединение%20множеств  
3 http://ru.wikipedia.org/wiki/Диаграммы%20Эйлера-Венна

При объединении двух множеств с мощностями A и B образуется 

множество, включающее все элементы как 1-го, так и 2-го множеств с 

мощностью Nk, которая является просто суммой числа элементов 1-го и 2
го множеств: 

B
A
N k
+
=
                                               (1) 

B
A
Nk
∪
=
                                               (2) 

В теории множеств выражения (1) и (2) считаются эквивалентными. 

Однако выражение (1) внешне выглядит так же, как арифметическое сло
жение двух количественных величин, которое совпадает по смыслу с объ
единением множеств только для непересекающихся множеств. Если же 

множества пересекаются, т.е. одно множество включают некоторые эле
менты, которые тождественны элементам другого множества, то при сло
жении эти элементы повторяются в сумме, а при объединении этих повто
рений в объединенном множестве нет (рисунок 2): 

Рисунок 2. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств4 
 

Особенно наглядно различие между арифметическим сложением и 

объединением видно, когда эти операции выполняются над тождествен
ными множествами  (3): 

A
A
A
A
A
A
=
∪

=
+
2
                                                    (3) 

                                           
4 http://ru.wikipedia.org/wiki/Пересечение%20множеств

Запись операции объединения множеств с использованием операции 

арифметического сложения их мощностей предполагает вычитание мощ
ности пересечения множеств из арифметической суммы с целью исключе
ния повторения тождественных элементов (4): 

B
A
B
A
B
A
Nk
∩
−
+
=
∪
=
                                    (4) 

где: Nk – мощность объединенного множества. 

Для непересекающихся множеств: 

∅
=
∩ B
A
                                                   (5) 

и в этом случае выражение (4) с учетом (5) приобретает вид (1) уже не 

только символически, но и фактически (арифметически). 

По мнению автора это означает, что символика выражения (2) точнее 

или более удачно отражает смысл объединения множеств и его использо
вание предпочтительнее.  

В отличие от множеств, системы имеют иерархическое строение. Бу
дем считать, что 1-м уровнем иерархии системы является множество базо
вых элементов, которое будем называть порождающим множеством.  

В случае объединения двух систем, согласно системной теории мно
жеств (СТМ),  на втором и более высоких уровнях иерархии [3, 4] объеди
ненной системы могут возникать новые составные элементы, которых до 

объединения не было ни в одной из исходных систем и состоящие из эле
ментов обоих систем, что и приводит к системному эффекту S. В результа
те мощность объединения систем превосходит мощность объединения их 

порождающих множеств A и B на величину системного эффекта S, воз
никающего за счет объединения систем: 

S
B
A
Ns
+
∪
=
                                            (6) 

Кроме того, в каждой из систем могут возникать составные элементы 

из ее собственных базовых элементов. Это приводит к системному эффек
ту, в результате которого система отличается от множества, т.е. содержит 

больше элементов, чем в порождающем множестве. Этот вид системного 

эффекта аналитически выражается локальным коэффициентом эмерджент
ности Хартли (3), который был получен автором в 2001 году [10] и назван 

так в честь этого ученого, внесшего большой вклад с разработку научной 

теории информации5: 

W
Log

C
Log

M

m

m
W

2

1
2∑
=
=
ϕ
                                                (7) 

где:  

W – количество базовых элементов в системе; 

m – сложность составного элемента системы, т.е. подсистемы (коли
чество базовых элементов в составном элементе);  

M – максимальная сложность подсистем (максимальное количество 

базовых элементов в составном элементе).  

Фактически максимальная сложность подсистем M не может быть 

больше количества базовых элементов в системе W: 
W
M ≤
, т.к. самым 

сложным элементом системы может быть элемент, состоящий из всех ба
зовых элементов. Но формально это ограничение можно не соблюдать, т.к. 

при 
W
M >
согласно выражения (7) будут получаться нулевые слагаемые 

под логарифмом в числителе, отражающие тот факт, что соответствующих 

составных элементов просто не существует. Поэтому за соблюдением это
го условия можно особо не следить и математически объединять выраже
ния, указывая один максимальный уровень сложности из всех возможных 

при различных количествах базовых элементов в разных системах, что 

пригодится нам в будущем. 

                                           
5 Приходится об этом напоминать, т.к. в ряде материалов, широко распространившихся в научной печати 
и в Internet, их авторы без ссылки на первичный источник информации о коэффициентах эмерджентности Хартли и Харкевича, т.е. работы автора, используют большие фрагменты из этих работ. Чтобы 
убедится в этом достаточно сделать запрос: «коэффициенты эмерджентности Хартли и Харкевича» 

Будем считать, что составные элементы в системах не могут образо
вываться за счет многократного использования одних и тех же базовых 

элементов в одном составном (повторений): 

– это предполагается самим видом математического выражения (7) и 

понятием комбинаторики «число сочетаний из n по m»; 

– в противном случае уровень сложности элементов и системы в це
лом, а также ее мощность, могли бы неограниченно возрастать, например, 

за счет наличия в системе элементов, представляющих собой сколь угодно 

высокую степень любого из базовых элементов. 

Коэффициент эмерджентности Хартли исследован автором в ряде 

работ, в частности [1, 5]. Непосредственно из вида выражения для коэф
фициента эмерджентности Хартли (7) ясно, что он представляет собой от
носительное превышение количества информации в системе при учете 

системных эффектов (смешанных состояний, иерархической структуры ее 

подсистем и т.п.) над количеством информации без учета системности 

(только в базовом уровне или порождающем множестве), т.е. этот коэф
фициент отражает уровень системности объекта. 

Получим аналитические выражения для количества элементов в объ
единенной системе и величины системного эффекта, образующегося не за 

счет объединения базовых элементов в отдельно-взятой системе (что от
ражается локальным коэффициентом эмерджентности Хартли), а за счет 

объединения систем, а затем проведем и количественные оценки с исполь
зованием этих выражений и численного моделирования. 

Аксиома о максимальной мощности системы системной теории 

множеств (СТМ) и СТИ [1]: в системе, основанной на множестве из W не
повторяющихся элементов, которые мы будем называть базовыми, может 

содержаться не более Nmax элементов, включающих как все базовые эле
менты, так и составные элементы (подсистемы), образованные из всех 

возможных различных сочетаний базовых элементов по 2, 3, …, W элемен
тов (без повторений): 

∑
=
=

W

m

m
W
C
N

1
max
                                                   (8) 

Эта аксиома СТМ аналогична аксиоме булеана6 классической теории 

множеств, в которой постулируется существование и единственность мно
жества всех подмножеств некоторого множества из W элементов, т.е. бу
леана, а также доказывается7, что мощность булеана равна 2W.  

В этой связи необходимо сделать два замечания. 

Замечание 1: мощность системы, базирующейся на W элементах, 

всегда на 1 меньше мощности булеана, образованного на тех же элементах: 

1
2

1
−
=
∑
=

W
W

m

m
W
C
                                      (9) 

Это связано с тем, что по определению булеан включает как элемент 

самого себя, а система не включает в качестве элемента саму себя, но 

включает элемент наивысшего уровня сложности (иерархии), состоящий 

из всех базовых элементов. 

Замечание 2: в самой аксиоме булеана классической теории мно
жеств не содержится алгоритма или способа нахождения всех элементов 

образуемого множества, но такой алгоритм предлагается в рамках СТМ и 

его идея основана на аксиоме о максимальной мощности системы: это ал
горитм формирования  всех возможных различных (без повторений) соче
таний базовых элементов системы. Подобные алгоритмы известны [13] и 

поэтому здесь не приводятся. 

Однако, фактически количество элементов в системе всегда меньше 

максимального, т.к. действуют определенные правила запрета на образо
                                           
6 http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома%20булеана  
7 http://ru.wikipedia.org/wiki/Булеан

вание некоторых составных элементов [1]8. Среди таких правил запрета 

могут быть, например, ограничения на максимальное (или/и минимальное) 

количество базовых элементов в составных элементах (т.е. на их слож
ность), а также запрет на повторное включение базовых элементов в со
ставные (когда один и тот же базовый элемент не может несколько раз 

входить в один и тот же составной элемент). 

Если система образована на основе W базовых элементов, то в ней 

существует M уровней иерархии, на 1-м из которых находятся сами базо
вые элементы и этот уровень иерархии системы тождественно является 

порождающему множеству, на 2-м – составные элементы, образованные 

различными сочетаниями базовых элементов по 2, на 3-м – по 3, и на по
следнем – по M.  Если количество уровней иерархии в системе M (будем 

называть его рангом системы) равно количеству ее базовых элементов W, 

то все базовые элементы входят в единственный элемент наивысшего 

уровня иерархии. В системе отсутствуют составные элементы, включаю
щие больше базовых элементов, чем ранг системы. 

Чтобы учесть в выражении (7) 1-е ограничение (на максимальную 

сложность составных элементов M) и получить выражение для количества 

элементов в системе ранга M, модифицируем его следующим образом: 

∑
=
=

M

m

m
W
M
C
N

1
                                                   (10) 

В частности, если есть два множества, в 1-м из которых A элементов, 

а во 2-м – B, то согласно системной теории множеств (СТМ) на базе 1-го 

множества образуется система с  числом элементов NA: 

                                           
8 Автор просит прощения за большое количество самоцитирований, которое обусловлено тем, что практически все работы автора образуют единую систему и основываются друг на друге, в частности посвящены развитию предложенного в 2000-2001 годах автоматизированного системно-когнитивного анализа [1], его математической модели – системной теории информации (СТИ) [6], и реализующего их программного инструментария – универсальной когнитивной аналитической системы «Эйдос» [8. 9]. 

∑
=
=

M

m

m
A
A
C
N

1
,                                                  (11) 

а на базе 2-го – с числом элементов NB: 

∑
=
=

M

m

m
B
B
C
N

1
,                                                  (12) 

В случае объединения этих 2-х систем по правилам классической  

теории множеств (КТМ) (4), т.е. считая систему множеством всех ее эле
ментов: и базовых, и составных, количество элементов в объединенной 

системе Nk равно просто сумме числа элементов 1-й и 2-й систем (11) и 

(12), как в случае множеств: 

B
A
B
A
k
N
N
N
N
N
∩
−
+
=
                                     (13) 

где: 

NA – множество всех элементов (базовых и составных) системы A; 

NB – множество всех элементов (базовых и составных) системы B. 

Выражение 
(13) 
является 
системным 
аналогом 
теоретико
множественного выражения (4), но проще его записать аналогично (2): 

B
A
k
N
N
N
∪
=
                                               (14) 

Подставим в выражение (14) переменные NA и NB из (11) и (12): 

∑
∑
=
=
∪
=

M

m

m
B

M

m

m
A
к
C
C
N

1
1
                                      (15) 

В выражении (15) все элементы систем A и B (базовые и составные) 

по сути, рассматриваются как элементы множеств. Операторы суммирова
ния вычисления количества сочетаний в выражении (15) понимаются не 

как арифметические операторы, а как символические порождающие опера
торы теории множеств, которые содержат обобщенное аналитическое опи
сание алгоритма генерации элементов систем на базе порождающих мно
жеств A и B. 

Однако в системной теории множеств в случае объединения 2-х и 

более систем возникает системный (синергетический) эффект, состоящий в 

отклонении от аддитивности (6), т.е. в том, что сумма элементов в объеди
ненной системе (16) превосходит9 сумму элементов в исходных системах 

(15). Математически это можно выразить, добавив в выражение (15) еще 

одно слагаемое S, отражающее системный эффект: 

S
C
C
N

M

m

m
B

M

m

m
A
s
+
∪
=
∑
∑
=
=
1
1
                                 (16) 

Это слагаемое S равно числу тех составных элементов объединенной 

системы, которые могли возникнуть только в результате объединения этих 

2-х систем, т.е. которые включают элементы как 1-й, так 2-й систем, и ко
торых до объединения этих систем не было ни в одной из них. 

Например, при объединении 2-х систем, содержащих на 1-м уровне 

иерархии простые числа, а на 2-м уровне составные числа, являющиеся 

произведениями различных пар простых сомножителей, образуется объе
диненная система, 1-й уровень которой является объединением 1-х уров
ней исходных систем, а 2-й образуется по тому же алгоритму, что и в них 

(рисунок 3): 

 
Рисунок 3. Объединение 2-х систем из простых чисел на базовом уровне 

и сложных чисел, образованных из пар простых, на 2-м уровне10 
 

Может возникнуть впечатление, что пример объединения символических числовых систем носит какой-то абстрактный и узко-специальный 
характер и не имеет отношения к реальным системам. Но это не так, что 
                                           
9 Если же количество элементов в объединенной системе меньше числа элементов в исходных системах, 
то наблюдается эффект антисистемы [11]. 
10 Пример разработан с помощью авторской программы, размещенной по адресу: 
http://www.twirpx.com/file/370725/ при параметрах «по умолчанию» и максимальным уровнем сложности