Об одном семействе подпространств пространства прерывистых функций

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2009. Вып. 4

УДК 517.5


© В. И. Родионов




                ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОСТРАНСТВА ПРЕРЫВИСТЫХ ФУНКЦИЙ




В пространстве прерывистых функций исследовано параметрическое семейство подпространств специального вида и подпространство, представляющее их пересечение. Оно содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. Исследована решетка подпространств, зависящая от параметра. Исследованы вопросы существования интеграла Римана-Стилтьеса на элементах подпространств. Доказана полнота подпространств (в каждом подпространстве используется собственная норма). Исследованы соотношения между нормами.

Ключевые слова: прерывистая функция, интеграл Римана-Стилтьеса, банахова алгебра.





                Введение




   Непрерывные функции x : K ^ C, где K — это отрезок или интервал, обладают достаточно высокой степенью регулярности («порядка»), заключающейся в том, что близость аргументов влечет близость значений непрерывной функции. «Не слишком разрывные» прерывистые функции тоже обладают хорошей регулярностью (в англоязычной литературе они так и называются — regulated functions, то есть упорядоченные функции). Они обладают тем свойством, что в каждой точке t G K определены три значения x(t — 0), x(t) и x(t + 0), что позволяет конструировать другие сопутствующие атрибуты функций и получать новые результаты.
   Настоящая работа продолжает цикл публикаций [1-4]. В силу специфики этих работ изложение ведется в терминах алгебр и подалгебр.

§1 . Алгебра G[a, b] прерывистых функций




                1.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения




   Зафиксируем отрезок K = [a, b] и через G = G(K) = G[a, b] обозначим пространство прерывистых (см. [5, с. 16]) функций, то есть функций x : K ^ C, обладающих конечными пределами x(t — 0) = lim х(т) при всех t G (a,b] и x(t + 0) = lim х(т) при всех t G [a, b). т ^t—0                                                т ^t--0
Пространство G, наделенное естественной операцией умножения функций, является алгеброй над полем C, ив дальнейшем м ы будем называть G как пространством, так и алгеброй. Через GL обозначим подпространство (подалгебру) в G, состоящее из тех функций, что x(t — 0) = x(t) при t G (a,b] и x(a + 0) = x(a). Симметричное подпространство (подалгебра) GR состоит из тех функций, что x(t + 0) = x(t) при t G [a, b) и x(b — 0) = x(b). Функции из GL будем называть непрерывными слева, а функции из GR — непрерывными справа прерывистыми функциями. Через G₀ обозначим пространство (алгебру) таких функций x : K ^ C, что при любом е > 0 множество {t G K : |x(t)| ^ е} состоит из конечного числа точек. Нет никаких ограничений для того, чтобы считать, что функции x вещественнозначны, то есть x : K ^ R, — читатель может так и поступать, однако мы будем вести изложение для комплекснозначных функций, отступая от этого принципа лишь в исключительных случаях. Отметим еще, что в [5] дается определение прерывистых функций, действующих из K в произвольное банахово пространство.
   Функция x : K ^ C называется ступенчатой, если существует такое конечное разбиение a = т₀ < т1 < ... < тп = b, что на кажд ом интервале (тк—1,т^), к = 1, ...,n, функция x тождественно равна константе Ck G C. Очевидно, всякая ступенчатая функция является прерывистой. Более того, справедливо

В. И. Родионов

МАТЕМАТИКА                                                               2009. Вып.4

  Утверждение 1 (см. [5, с. 16]). Для функции х : [a, b] ^ C следующие утверждения эквивалентны:
   1) x G G[a, b] ;
   2) x есть равномерный {на [a, b]) предел последовательности ступенчатых функций;
   3)    для любого е > 0 существует такое аонечное разбиение a = т₀ < т1 < ... < тп = b, что при вс= k = 1,... ,n справедл,и,во sup   |x(s) — х(т)| < е.
t,s е (rfc-i,rfc)

   Третье утверждение теоремы означает, что колебание функции х на каждом интервале (т^-1,тк) не превышает е.

  Следствие 1. Равномерный предел, последовательности прерывистых функций есть функция прерывистая.

  Теорема 1 (см. [5, с. 16]). Если х G G[a,b], то х ограничена и измерима, а само пространство G[a, b] банахово по норме ||х|| = sup |x(t)| {более того, G[a,b] является банахо-t е [a,b]
eop аиреброи) si яиряет,ся, замы,ко,тем nppcmpancmea сигрпенчатых финкций по sup-норме.

   Действительно, так как х G G(K), то в топологии равномерной сходимости существует сколь угодно близкая к х ступенчатая функция y : K ^ C, которая, очевидно, ограничена, поэтому х х ограничена. Поскольку всякая ступенчатая функция измерима, то и х измерима (как предел последовательности измеримых функций). Наконец, если последовательность {xn}, xn G G(K), фундаментальна по sup-норме, то она равномерно (на K) сходится в себе и, следовательно, равномерно сходится к некоторой функции х : K ^ C, причем в силу следствия 1 справедливо включение х G G(K).

  Лемма 1 (см. [5, с. 17]). Если х G G[a, b] и е > 0, то каждое из множеств
            {t G (a, b] : |x(t — 0) — x(t)| > е} и {t G [a, b) : |x(t + 0) — x(t)| > e} состоит из конечного числа, точек.
  Теорема 2 (см. [5, с. 17]). Множество T(х), состоящее из всех точек разрыва прерывистой функции х G G, не более чем счетно.

   В силу леммы 1 точки множества T(х) (это обозначение применяем на протяжении всей работы) легко поддаются перечислению (последовательно берем значения е = 1, |, |,...).

  Утверждение 2. Если функция х : [a, b] ^ C кусочно непрерывна, то х G G.

   Мы называем функцию х кусочно непрерывной на отрезке (и пишем х G KC[a,b]), если она имеет на нем только конечное множество точек разрыва и притом все они первого рода.

  Утверждение 3. Если функция х : [a, b] ^ C имеет ограниченное изменение, то есть х G BV[a, b], то х G G[a, b].

   В соответствии с [6, с. 206] у функции ограниченной вариации множество точек разрыва не более чем счетно, причем все разрывы первого рода. Следовательно, BV[a,b] С G[a,b].

  Утверждение 4. Если х G G[a, b], то х интегрируема по Риману и, следовательно, интегрируема по Лебегу.