О некоторых точках расширения Белла счетного дискретного пространства

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА




                МАТЕМАТИКА





2009. Вып. 4

УДК 515.12

© Е. С. Бастрыков

О НЕКОТОРЫХ ТОЧКАХ РАСШИРЕНИЯ БЕЛЛА СЧЕТНОГО


            ДИСКРЕТНОГО ПРОСТРАНСТВА


Доказана теорема, вводящая эквивалентные определения для некоторых пределов сходящихся последовательностей в расширении Белла счетного дискретного пространства.

Ключевые слова', топология, общая топология, дискретные пространства, бикомпактные расширения, нарост расширения.


            Введение


   Рассматриваемое в данной статье пространство построено М. Беллом [1] и является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но удовлетворяет условию Суслина. Дополнительные свойства этого расширения получены в [2]. Мы будем обозначать его BN. Дальнейшее исследование этого расширения было проведено в [3], были получены следующие результаты. Построена новая база для нароста. Доказано, что существуют счетные дискретные подмножества, как в N, так и в BN \ N, замыкания которых гомеоморфны 4N — бикомпактному расширению Стоуна-Чеха счетного дискретного пространства. С другой стороны, показано, что существуют счетные дискретные подмножества N, наросты которых состоят из одной точки, то есть являющиеся сходящимися последовательностями. Также в [3] доказано, что дискретные подмножества, замыкание которых гомеоморфно ^N, и сходящиеся последовательности образуют п-сети в BN.
   В данной статье продолжено исследование этого пространства и доказана теорема, дающая эквивалентное определение точек, являющихся пределами описанных в [3] сходящихся последовательностей.


            § 1. Конструкция расширения Белла счетного дискретного пространства


   Приведем конструкцию расширения Белла (см. [1]).
   Пусть P = {f € шш : 0 < f (n) < n + 1 для всех n < w}. Определим

N = {f |n: f € P, n C w}

— множество всех сужений отображений f € P на n C w (здесь под n понтгается {0,1,... , n}).
   Пусть T = {п € Nш : dom (п(п)) = n + 1 для всех n < w}, где под dom s понимается область определения отображения s € N (то есть функция п сопоставляет каждому n < w кусочек функции соответствующей длины). Для каждого s € N положим Cs = {t € N : t|dₒₘs = s}. Для п € T положим Cₙ = |J{Cₙ(ₙ) : n < w}. Отметим, что Cₙ и N \ Cₙ бесконечны для всякого п € T. Пусть B— нормальная база [4], порожденная множествами из

B‘ = {Cn : п € T} U {N \ C, : п € T}.

   Очевидно, что {{s} : s € N} U {Cs : s € N} C B. Определим BN как волмэновское расширение N по базе B. Это расширение и является расширением Белла [1].