Некоторые свойства оператора продолжения меры

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.987.1

c
⃝ А. Г. Ченцов

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА
ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕРЫ1

Рассматривается оператор, сопоставляющий мере, определенной на алгебре множеств, ее продолжение
на σ -алгебру, порожденную данной алгеброй. На основе представления продолженной меры в терминах минимакса устанавливается, что упомянутый оператор является изометрическим изоморфизмом
при использовании традиционных способов нормирования пространств, элементами которых являются
меры. Устанавливаются некоторые свойства, связанные с сохранением порядковых соотношений при
действии оператора продолжения.

Ключевые слова: алгебра множеств, мера, продолжение меры, изометрический изоморфизм.

Введение

Операция лебеговского продолжения является одной из важнейших конструкций современной теории меры. Она подробно излагается в целом ряде монографий (см., например, [1;
2; 3]). В связи с этим отметим сейчас особо схему [2, § I.5], применяемую (в [2]) для целей
продолжения вероятности, но допускающую очевидный перенос на случай продолжения любой счетно-аддитивной (с.-а.) неотрицательной меры. Эта схема существенно используется в
дальнейшем.
Возможны, однако, и продолжения мер на более обширные (в сравнении с традиционным
случаем лебеговского продолжения) σ -алгебры множеств; см., например, [3, c. 85]. Если меру
нельзя продолжить на σ -алгебру всех подмножеств (п/м) «единицы» (исходного пространства), то у меры нет максимального с.-а. продолжения (см. [3, c. 85]). К этому можно добавить
свойства, отмеченные в [4, c. 94–102] и касающиеся, в частности, продолжения бэровских мер. В
связи с этим возникает естественный вопрос о том, чем же выделяется процедура лебеговского
продолжения среди других возможных процедур такого рода. В настоящей работе, являющейся
продолжением [5; 6; 7], делается попытка в какой-то мере ответить на этот вопрос. Она связана
с рассмотрением оператора, переводящего исходные меры на алгебре множеств в их с.-а. продолжения на σ -алгебру, порожденную исходной алгеброй. Оказывается, что с точки зрения
многих естественных свойств две вышеупомянутые меры оказываются отождествимыми, а сам
оператор продолжения является изометрическим изоморфизмом. В основе данного подхода находится модификация процедуры [2, § I.5], связанная с представлением значений продолженной
меры в виде некоторого «минимакса» (экстремумы в операциях минимума и максимума могут
не достигаться). Это представление было использовано в [5; 6] (автору неизвестны более ранние публикации, его содержащие) для описания продолжений знакопеременных ограниченных
мер на алгебре множеств. С этой точки зрения процедура лебеговского продолжения выделяется особенностью: здесь продолженная мера оказывается расширенной «копией» исходной, ее
дубликатом. Это позволяет получать некоторые свойства продолженных мер на основе соответствующих свойств исходных мер (в [5] приведено, в частности, представление лебеговского
продолжения суммы ряда мер, определенных на исходной алгебре множеств).

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 06–01–00414, 08-08-00981a).

Некоторые свойства оператора продолжения меры
115

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

§ 1. Основные обозначения и определения

В дальнейшем используем кванторы и пропозициональные связки; def заменяет фразу «по

определению»,
△= — равенство по определению, ∅ — пустое множество. Принимаем аксиому
выбора. Для всякого объекта x через {x} обозначаем одноэлементное множество, содержащее

x. Если же x и y — произвольные объекты, то {x; y}
△= {x} ∪ {y} есть неупорядоченная пара
(двоеточие), соответствующая упомянутым объектам. Семейством называем множество, все

элементы которого — множества; если U — семейство, а V — множество, то [U](V )
△= {U ∈
U | V ⊂ U} (семейство всех множеств из U, содержащих V ). Через P(H) (через P′(H) )
обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м множества H; Fin(H) есть def семейство всех
конечных множеств из P′(H). Если A и B — множества, то через BA обозначаем множество
всех функций, действующих из A в B. Если же A и B — множества, f ∈ BA и C ∈ P(A),
то:
1) (f|C) ∈ BC
есть определяемое обычным образом сужение f
на C, для которого
(f|C)(x) = f(x) ∀ x ∈ C;

2) f1(C)
△= {f(x) : x ∈ C} ∈ P(B) (образ C при действии f ).
Для произвольных множеств X и Y (bi)[X; Y ] есть def множество всех биекций X на Y.

В дальнейшем R — вещественная прямая, N
△= {1; 2; . . .} (натуральный ряд); если k ∈ N,

то 1, k
△= {i ∈ N | i ⩽ k} и −−→
k, ∞
△= {i ∈ N | k ⩽ i}. Полагаем далее, что элементы R (вещественные и, в частности, натуральные числа) не являются множествами; тогда для всяких

множества A и числа k ∈ N Ak △= A1,k есть множество всех кортежей (ai)i∈1,k : 1, k −→ A
(здесь и ниже используем индексную форму записи функций). Линейные операции, умножение
и порядок в пространствах вещественнозначных (в/з) функций определяем поточечно; используем
<= для обозначения поточечного порядка в пространстве в/з функций с общей областью
определения. Напомним, что RA, где A — множество, есть множество всех в/з функций на A.
Последовательности (функции на N ) обычно записываются в индексной форме, как и кортежи
конечной длины.
Если (X, τ) — топологическое пространство (ТП) и A ∈ P(X), то через cl(A, τ) обозначаем
замыкание A в (X, τ); через τR обозначаем обычную топологию R, порожденную метрикоймодулем.
Если S — непустое множество, то через B(S) обозначаем множество всех ограниченных
в/з функций на S (то есть множество всех ограниченных функций из RS ); OS ∈ B(S) есть
def в/з функция на S, для которой

OS(x)
△= 0 ∀ x ∈ S.

Кроме того, через ∥·∥S обозначаем обычную sup-норму B(S) (см. [1, c. 261]); при этом ∥f∥S
△=
sup({|f(x)| : x ∈ S}) ∀ f ∈ B(S). Сходимость в (B(S), ∥ · ∥S) тождественна равномерной.

§ 2. Простейшие свойства мер

Всюду в дальнейшем фиксируем непустое множество E. Пусть

π[E]
△= {L ∈ P′(P(E)) | (∅ ∈ L) & (E ∈ L) & ( A ∩ B ∈ L ∀ A ∈ L ∀ B ∈ L)}.
(2.1)

Через (alg)[E] (через (σ − alg)[E] ) обозначаем множество всех алгебр (всех σ -алгебр) п/м
множества E; (σ − alg)[E] ⊂ (alg)[E],

(alg)[E] = {L ∈ π[E] | E \ L ∈ L ∀ L ∈ L}.

Если S ∈ P(P(E)), то через σ0
E(S) обозначаем σ -алгебру п/м E, порожденную семейством
S (см. [2, c. 31]): при

(σ − alg)[E|S]
△= {H ∈ (σ − alg)[E] | S ⊂ H}