Некоторые свойства оператора продолжения меры

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.987.1

c
⃝ А. Г. Ченцов

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА
ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕРЫ1

Рассматривается оператор, сопоставляющий мере, определенной на алгебре множеств, ее продолжение
на σ -алгебру, порожденную данной алгеброй. На основе представления продолженной меры в терминах минимакса устанавливается, что упомянутый оператор является изометрическим изоморфизмом
при использовании традиционных способов нормирования пространств, элементами которых являются
меры. Устанавливаются некоторые свойства, связанные с сохранением порядковых соотношений при
действии оператора продолжения.

Ключевые слова: алгебра множеств, мера, продолжение меры, изометрический изоморфизм.

Введение

Операция лебеговского продолжения является одной из важнейших конструкций современной теории меры. Она подробно излагается в целом ряде монографий (см., например, [1;
2; 3]). В связи с этим отметим сейчас особо схему [2, § I.5], применяемую (в [2]) для целей
продолжения вероятности, но допускающую очевидный перенос на случай продолжения любой счетно-аддитивной (с.-а.) неотрицательной меры. Эта схема существенно используется в
дальнейшем.
Возможны, однако, и продолжения мер на более обширные (в сравнении с традиционным
случаем лебеговского продолжения) σ -алгебры множеств; см., например, [3, c. 85]. Если меру
нельзя продолжить на σ -алгебру всех подмножеств (п/м) «единицы» (исходного пространства), то у меры нет максимального с.-а. продолжения (см. [3, c. 85]). К этому можно добавить
свойства, отмеченные в [4, c. 94–102] и касающиеся, в частности, продолжения бэровских мер. В
связи с этим возникает естественный вопрос о том, чем же выделяется процедура лебеговского
продолжения среди других возможных процедур такого рода. В настоящей работе, являющейся
продолжением [5; 6; 7], делается попытка в какой-то мере ответить на этот вопрос. Она связана
с рассмотрением оператора, переводящего исходные меры на алгебре множеств в их с.-а. продолжения на σ -алгебру, порожденную исходной алгеброй. Оказывается, что с точки зрения
многих естественных свойств две вышеупомянутые меры оказываются отождествимыми, а сам
оператор продолжения является изометрическим изоморфизмом. В основе данного подхода находится модификация процедуры [2, § I.5], связанная с представлением значений продолженной
меры в виде некоторого «минимакса» (экстремумы в операциях минимума и максимума могут
не достигаться). Это представление было использовано в [5; 6] (автору неизвестны более ранние публикации, его содержащие) для описания продолжений знакопеременных ограниченных
мер на алгебре множеств. С этой точки зрения процедура лебеговского продолжения выделяется особенностью: здесь продолженная мера оказывается расширенной «копией» исходной, ее
дубликатом. Это позволяет получать некоторые свойства продолженных мер на основе соответствующих свойств исходных мер (в [5] приведено, в частности, представление лебеговского
продолжения суммы ряда мер, определенных на исходной алгебре множеств).

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 06–01–00414, 08-08-00981a).