Об одном свойстве конструктивных движений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.977

c
⃝ Д. А. Серков

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ДВИЖЕНИЙ1

Рассматривается задача управления при наличии динамических помех. Приводится пример управляемой системы и позиционной стратегии, для которых пучок конструктивных идеальных движений,
формирующий гарантированный результат, существенно изменяется при сужении множества допустимых помех до программных помех.

Ключевые слова: дифференциальные игры, программная помеха, позиционная стратегия, конструктивные движения.

Введение

В теории дифференциальных игр определяется пучок конструктивных идеальных движений [1, § 6], [2, гл. 1] (обозначим его X(t, z, U) и назовем «игровым»), порожденный из начальной позиции (t, z) позиционной стратегией U и участвующий в определении гарантированного
результата Γ∗(t, z, U) для этой стратегии:

Γ∗(t, z, U) ≡
sup
x(·)∈X(t,z,U)
γ(x(·)),

γ(x(·)) — значение показателя качества на движении x(·). В случае когда помеха заведомо
является программной, пучок конструктивных идеальных движений, определяющий значение
гарантированного результата, может быть сформирован иначе, чем в ситуации неопределенного характера помехи. Именно, пусть даны начальная позиция (t, z) ∈ G и позиционная
стратегия U. При фиксированной программной помехе v[·] мы получим конструктивные идеальные движения X(t, z, U, v[·]), отвечающие этой помехе. Следовательно, гарантированный
результат для стратегии U в позиции (t, z), как верхняя грань значений показателя качества
на всех возможных конструктивных идеальных движениях при всех возможных реализациях
помехи, дается выражением

Γ∗
pro(t, z, U) ≡
sup
v[·]∈V[t,ϑ]
x(·)∈X(t,z,U,v[·])

γ(x(·)),

где V[t,ϑ] обозначает множество всех программных помех. Величина Γ∗
pro(t, z, U) не превосходит гарантированного результата Γ∗(t, z, U) для произвольных помех в силу включения

v[·]∈V[t,ϑ]
X(t, z, U, v[·]) ⊆ X(t, z, U).

Естественно, возникает вопрос: имеет ли место равенство в последнем соотношении? Приводимый ниже пример показывает, что в общем случае объединение программных пучков конструктивных идеальных движений не является плотным в игровом пучке таких движений (в
топологии равномерной сходимости).

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00313-а).