Погрешность кусочно–параболической интерполяции на треугольнике

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.518

c
⃝ Н. В. Латыпова

ПОГРЕШНОСТЬ КУСОЧНО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ
ИНТЕРПОЛЯЦИИ НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Рассматриваются два способа биркгофовой интерполяции функции двух переменных многочленами
второй степени на треугольнике для метода конечных элементов. Оценки погрешности для одного из
предложенных параболических элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов
триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок.

Ключевые слова: погрешность интерполяции, кусочно–параболическая функция, триангуляция, метод
конечных элементов.

Введение

Первоначально оценки погрешности аппроксимации функции и ее i -й производной имели
вид CHn+1−i, где H — диаметр триангуляции, n — степень интерполяционного многочлена
и этот параметр также тесно связан с классом аппроксимируемых функций (классы W n+1M,
которые будут введены ниже). При этом вопрос о том, как константа C зависит от свойств
триангуляции, не рассматривался. Позже появилось условие наименьшего угла триангуляции
(работы Синджа, Зламала, Женишека, Брэмбла и других). Наиболее общие результаты такого рода принадлежат Сьярле и Равьяру [1], у которых в двумерном случае в максимально
общей ситуации оценки погрешности аппроксимации имели вид CHn+1−i(sin α)−i, где α —
наименьший угол триангуляции, а константа C уже не зависит от триангуляции.
В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках Сьярле–Равьяра, можно
заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно). При этом
выясняется, что различные типы интерполяционных процессов (Лагранжа, Эрмита, Биркгофа)
по-разному реагируют на характер вырождения триангуляции. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны.
Так, в случае лагранжевой интерполяции оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла триангуляции. При этом оценки ухудшаются, когда два
угла стремятся к нулю. Здесь к настоящему моменту все выяснено благодаря работам Зламала, Ю. Н. Субботина, Жаме. Кроме того, Ю. Н. Субботин [2] показал неулучшаемость этих
оценок на заданном классе. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие
от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки
снизу.
Наиболее трудным является случай эрмитовой и биркгофовой интерполяции. Здесь некоторые результаты получены Д. О. Филлимоненковым, Ю. Н. Субботиным [3, 4], Н. В. Байдаковой
[5, 6] и автором [7]–[9]. В работах [5; 7; 8] рассматриваются интерполяционные условия биркгофова типа для построения многочленов нечетных степеней 4k + 1 и 4k + 3, позволяющие
заменить наименьший угол на наибольший для старших производных, но избавиться полностью от присутствия наименьшего угла в оценках погрешности производных не удается. В
работах [4; 6] предложены два способа интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике, в оценках погрешности которых наименьший угол полностью заменяется на средний
(наибольший).
В настоящей работе предлагаются два способа интерполяции типа Биркгофа многочленами второй степени на треугольнике, оценки погрешности в одном из которых зависят только