Согласованность и управление спектром в линейных системах с наблюдателем

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.977.1 + 517.926

c
⃝ В. А. Зайцев

СОГЛАСОВАННОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ
В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НАБЛЮДАТЕЛЕМ

Исследуется свойство согласованности линейной управляемой системы с наблюдателем. Получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности. Исследована задача управления
спектром в системе с линейной неполной обратной связью; получены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра в случае, когда коэффициенты системы имеют специальный
вид. Установлена связь между свойством согласованности стационарной системы с наблюдателем и
глобальной управляемостью спектра замкнутой системы.

Ключевые слова: управляемая система, неполная обратная связь, согласованность, управление спектром.

§ 1. Определения и обозначения

Пусть Rn — евклидово пространство размерности n с нормой |x| =
√

x∗x, ∗ означает операцию транспонирования вектора или матрицы; если x ∈ Rn — вектор-столбец, то x∗ ∈ Rn∗ —
вектор-строка; Mm,n — пространство вещественных m × n -матриц с нормой |A| = max
|x|⩽1 |Ax|;

Mn := Mn,n;
e1, . . . , en
— канонический базис в Rn, то есть e1 = col (1, 0, . . . , 0), . . . ,
en = col (0, . . . , 0, 1); I = [e1, . . . , en] ∈ Mn — единичная матрица; J — первый единичный ко
сой ряд, то есть J :=
n−1
i=1
eie∗
i+1 ∈ Mn; J0 := I, Ji := Ji, i ∈ N (то есть J1 := J, Jk = 0 ∈ Mn

при k ⩾ n ); χ(A; λ) — характеристический многочлен матрицы A; Sp A — след матрицы A.
Рассмотрим линейную управляемую систему с наблюдателем

˙x = A(t)x + B(t)u,
y = C∗(t)x,
(t, x, u, y) ∈ R × Rn × Rm × Rk,
(1.1)

где матричные функции A(·), B(·), C(·) кусочно-непрерывны и ограничены на R. Обозначим через X(t, s) матрицу Коши соответствующей однородной системы
˙x = A(t)x. Пусть
управление в системе (1.1) строится по принципу линейной неполной обратной связи в виде
u = U(t)y, где U : R → Mm,k — ограниченная кусочно-непрерывная функция. Тогда система
(1.1) переходит в замкнутую систему

˙x = (A(t) + B(t)U(t)C∗(t))x.
(1.2)

Если обратная связь — полная, то есть C(t) ≡ I, y = x, u = U(t)x, то соответствующая
замкнутая система имеет вид
˙x = (A(t) + B(t)U(t))x.
(1.3)

В системах (1.2) и (1.3) управляющими воздействиями являются коэффициенты матрицы U(t).
Исследуется задача управления асимптотическим поведением однородной системы (1.2)
(или (1.3)), в частности, задача стабилизации. В стационарном случае она заключается в том,
чтобы построить (стационарное) управление U так, чтобы спектр собственных значений матрицы системы (1.2) (или (1.3)) переместился в левую полуплоскость. В нестационарном случае
речь идет о задаче управления характеристическими показателями Ляпунова. Задача управления показателями Ляпунова может быть рассмотрена в глобальной или в локальной постановке. Первые результаты об управлении показателями Ляпунова в нестационарном случае были

Согласованность и управление спектром
51

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

получены в локальной постановке для системы (1.3) в работе [1]. Ключевым свойством в этой
задаче является свойство полной управляемости системы

˙x = A(t)x + B(t)u,
x ∈ Rn.
(1.4)

Это свойство позволяет перенести метод поворотов В. М. Миллионщикова на линейные управляемые системы и таким образом решить задачу локального управления показателями Ляпунова в системе (1.3).
В работе [2] было введено понятие согласованности для системы (1.1). Это свойство позволяет применить метод поворотов к системе (1.2).
Определение 1 (см. [2]). Система (1.1) называется согласованной на отрезке [t0, t0 + ϑ],
если существует l > 0 такое, что для всякой G ∈ Mn найдется кусочно-непрерывное ограниченное управление U : [t0, t0 + ϑ] → Mm,k такое, что решение матричной задачи Коши

˙Z = A(t)Z + B(t)U(t)C∗(t)X(t, t0),
Z(t0) = 0

удовлетворяет условию Z(t0 + ϑ) = G, при этом |U(t)| ⩽ l|G|, t ∈ [t0, t0 + ϑ].

Если C(t) ≡ I, то свойство согласованности системы (1.1) на [t0, t0 + ϑ] равносильно свойству полной управляемости системы (1.4) на [t0, t0 + ϑ]. Свойство согласованности системы
(1.1) исследовалось в работах [2, 3, 4, 5]. На основе этого свойства были получены результаты
о локальной управляемости показателей Ляпунова системы (1.2) [6, 7, 4, 8], об устойчивости
показателей Ляпунова системы (1.2) [7].
Предположим теперь, что система (1.1) стационарна:

˙x = Ax + Bu,
y = C∗x,
(x, u, y) ∈ Rn × Rm × Rk.
(1.5)

Пусть матрица обратной связи в системе (1.5) также стационарна: u = Ux. Соответствующая
замкнутая система имеет вид

˙x = (A + BUC∗)x,
x ∈ Rn.
(1.6)

Асимптотическое поведение системы (1.6) характеризуется спектром собственных значений
матрицы этой системы. Допуская некоторую вольность, спектр собственных значений матрицы
системы (1.6) будем называть спектром системы (1.6).
Поставим задачу о глобальном управлении спектром системы (1.6). Будем говорить, что
задача управления спектром системы (1.6) разрешима, если для любого многочлена n -й степени p(λ) = λn + γ1λn−1 + . . . + γn с вещественными коэффициентами γi найдется постоянное
управление U ∈ Mm,k такое, что χ(A + B UC∗; λ) = p(λ). По-другому эта задача еще называется задачей о назначении (или размещении) собственных значений, или задачей о модальном
управлении. Если система стационарна, то полный спектр характеристических показателей
Ляпунова совпадает с вещественными частями собственных значений матрицы системы (1.6).
Если для любого набора µ1, . . . , µn вещественных чисел существует (допустимое) управление
в системе (1.2) такое, что полный спектр показателей Ляпунова системы (1.2) с таким управлением совпадает с этим набором, то говорят, что спектр системы (1.2) глобально управляем. Мы
будем пользоваться этой терминологией и для стационарных систем, то есть будем говорить,
что спектр системы (1.6) глобально управляем, если разрешима задача управления спектром
системы (1.6).
Известно [9, 10], что в случае когда C = I, спектр системы (1.6) глобально управляем тогда
и только тогда, когда система
˙x = Ax + Bu
(1.7)

вполне управляема, то есть rank [B, AB, . . . , An−1B] = n. Свойство согласованности системы
(1.5) при C = I также эквивалентно полной управляемости системы (1.7). Таким образом,

В. А. Зайцев

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

при C = I согласованность системы (1.5) равносильна глобальной управляемости спектра системы (1.6). Известно также (см., например, [11, c. 178]), что если задача управления спектром
системы (1.6) разрешима, то система (1.7) вполне управляема, а система ˙x = Ax, y = C∗x
вполне наблюдаема. Эти условия являются в свою очередь и необходимыми условиями согласованности системы (1.6) [2]. Е. Л. Тонковым был поставлен вопрос, будет ли свойство согласованности системы (1.5) эквивалентно глобальной управляемости спектра системы (1.6) для
произвольных A, B, C. В данной работе установлены условия, при которых эти свойства будут
эквивалентны.
Задаче управления спектром системы (1.6) посвящено большое количество работ (см. обзор
в [11, c. 179–181]). Было установлено, в частности, что для глобальной управляемости спектра в
типическом случае (то есть для почти всех A, B, C ) достаточным условием является неравенство m+k ⩾ n+1 [12, 13], а необходимым (но не достаточным) условием является неравенство
mk ⩾ n [14, 15]. Здесь слова «для почти всех» означают, что свойство, зависящее от матрицы,
не выполняется на подмножестве нуль-множества некоторого нетривиального многочлена от
элементов матрицы.
В настоящей работе продолжается исследование свойства согласованности системы (1.5).
Получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности, в том числе для
стационарных систем. Исследована задача управления спектром; получены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра в случае, когда коэффициенты системы
имеют специальный вид. Установлена связь между свойством согласованности стационарной
системы (1.5) и глобальной управляемостью спектра системы (1.6).

§ 2. Согласованные системы

В этом параграфе приведены основные свойства согласованных систем. Некоторые утверждения доказаны в работах [2, 4, 5].
Обозначим через vec : Mn,m → Rnm отображение, которое «разворачивает» матрицу H =
{hij} i = 1, n, j = 1, m по строкам в вектор-столбец vecH := col (h11, . . . , h1m, . . . , hn1, . . . , hnm).
Нетрудно проверить, что для любых L ∈ Mm,n,
A ∈ Mn,k,
N ∈ Mk,l равенство B = LA
эквивалентно vec B = (L ⊗ I)vec A,
I ∈ Mk; равенство C = AN эквивалентно vec C =
(I ⊗ N∗)vec A, I ∈ Mn; равенство D = LAN эквивалентно vec D = (L ⊗ N∗)vec A. Здесь
⊗ — прямое (кронекерово) произведение матриц [16, с. 235]. Отметим также, что для матриц
A, B ∈ Mn,m выполнено равенство Sp (A∗B) = (vec A)∗(vec B).
Введем в рассмотрение матрицы B(t) = X(t0, t)B(t) ∈ Mn,m,
C(t) = X∗(t, t0)C(t) ∈ Mn,k,
t ∈ [t0, t0 + ϑ]. Построим матрицу

Γ(ϑ) =
t0+ϑ

t0

B(t) B∗(t)
⊗
C(t) C∗(t)
dt ∈ Mn2.

Матрица Γ(ϑ) называется матрицей согласования системы (1.1) на [t0, t0 + ϑ] [2]. Матрица

согласования является аналогом матрицы управляемости W(ϑ) =
t0+ϑ

t0
B(t) B∗(t) dt систе
мы (1.4) на [t0, t0 + ϑ]. Матрица Γ(ϑ) представляет собой матрицу Грама для совокупности
вектор-строк (n2 × mk) -матрицы
B(t) ⊗ C(t),
t ∈ [t0, t0 + ϑ]. Известно, что система (1.4)
вполне управляема на [t0, t0 + ϑ] тогда и только тогда, когда матрица W(ϑ) положительно
определена, что в свою очередь равносильно линейной независимости вектор-строк матрицы
B(t) на отрезке [t0, t0 + ϑ]. Аналогичное утверждение имеет место для согласованных систем.
Теорема 1 (см. [2, теорема 1]). Следующие свойства эквивалентны:
a) система (1.1) согласованна на [t0, t0 + ϑ];
b) матрица Γ(ϑ) положительно определена;
c) строки матрицы B(t) ⊗ C(t) линейно независимы на [t0, t0 + ϑ].

Согласованность и управление спектром
53

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

Утверждение 1. Система (1.1) не является согласованной на [t0, t0 + ϑ] тогда и только
тогда, когда существует ненулевая матрица H ∈ Mn такая, что

C∗(t)X(t, t0)HX(t0, t)B(t) ≡ 0,
t ∈ [t0, t0 + ϑ].

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 1 система (1.1) не является согласованной на
[t0, t0 + ϑ] в том и только в том случае, если строки матрицы B(t) ⊗ C(t) линейно зависимы
на [t0, t0 + ϑ], то есть существует ненулевой вектор

h = col (h11, . . . , h1n, . . . , hn1, . . . , hnn) ∈ Rn2

такой, что h∗( B(t)⊗ C(t)) = 0, t ∈ [t0, t0 +ϑ]. Транспонируем это равенство, получим ( B∗(t)⊗
C∗(t))h = 0. Пусть H∗ = {hij}n
i,j=1 ∈ Mn — это прообраз вектора h при отображении vec, то
есть vec H∗ = h. Тогда H ̸= 0 и

0 = ( B∗(t) ⊗ C∗(t))(vec H∗) = vec ( B∗(t)H∗ C(t)) = vec
( C∗(t)H B(t))∗=

= vec
(C∗(t)X(t, t0)HX(t0, t)B(t))∗,
t ∈ [t0, t0 + ϑ],

что и требовалось доказать.
□

Следствие 1. Если C∗(t)B(t) ≡ 0, t ∈ [t0, t0 + ϑ], то система (1.1) не является согласованной на [t0, t0 + ϑ].

Это следствие вытекает из утверждения 1, если взять H = I.

Лемма 1. Строки матрицы B(t) ⊗ C(t) линейно зависимы на [t0, t0 + ϑ] тогда и только
тогда, когда строки матрицы C(t) ⊗ B(t) линейно зависимы на [t0, t0 + ϑ].

Д о к а з а т е л ь с т в о.

(vec H)∗( B(t) ⊗ C(t)) = 0 ⇐⇒ ( B∗(t) ⊗ C∗(t))(vec H) = 0 ⇐⇒ ( B∗(t)H C(t)) = 0 ⇐⇒

⇐⇒ ( C∗(t)H∗ B(t)) = 0 ⇐⇒ ( C∗(t) ⊗ B∗(t))(vec H∗) = 0 ⇐⇒ (vec H∗)∗( C(t) ⊗ B(t)) = 0.
□

Из теоремы 1, утверждения 1 и леммы 1 вытекает теорема, которая иллюстрирует связь
между согласованностью системы (1.1) и свойствами управляемости и наблюдаемости и определяет соотношения двойственности между сопряженными системами.

Теорема 2. Пусть даны следующие утверждения:
(a) система (1.1) согласованна на [t0, t0 + ϑ];

(b) матрица
t0+ϑ

t0

B(t) B∗(t)
⊗
C(t) C∗(t)
dt положительно определена;

(c) матрица
t0+ϑ

t0

C(t) C∗(t)
⊗
B(t) B∗(t)
dt положительно определена;

(d) система ˙x = −A∗(t)x + C(t)u, y = B∗(t)x согласованна на [t0, t0 + ϑ];
(e) система (1.4) вполне управляема на [t0, t0 + ϑ];
(f) система
˙x = A(t)x,
y = C∗(t)x,
(t, x, y) ∈ R × Rn × Rk
(2.1)

вполне наблюдаема на [t0, t0 + ϑ];
(g) система ˙x = −A∗(t)x + C(t)u вполне управляема на [t0, t0 + ϑ];
(h) система ˙x = −A∗(t)x, y = B∗(t)x вполне наблюдаема на [t0, t0 + ϑ].
Имеет место следующая цепочка импликаций:
(h) ⇐⇒ (e) ⇐= (a) ⇐⇒ (b) ⇐⇒ (c) ⇐⇒ (d) =⇒ (f) ⇐⇒ (g).