Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.9

c
⃝ А. С. Воронин, Н. Б. Медведева

УСТОЙЧИВОСТЬ МОНОДРОМНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
С ФИКСИРОВАННОЙ ДИАГРАММОЙ НЬЮТОНА

Вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки для
некоторого класса векторных полей на плоскости, диаграмма Ньютона которых состоит из двух четных
ребер. В таком случае главный член преобразования монодромии тождественен. Полученный результат
дает достаточное условие фокуса для особой точки из рассматриваемого класса.

Ключевые слова: монодромная особая точка, преобразование монодромии, диаграмма Ньютона, раздутие особенностей.

Введение

В данной pаботе вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки в случае, когда главный член этого преобразования тождественен.
Для особой точки вектоpного поля на плоскости либо существует тpаектоpия, входящая
в нее с опpеделенной касательной, либо не существует ни одной такой тpаектоpии. Если векторное поле аналитическое, то во втоpом случае особая точка является монодpомной, то есть
для нее определено преобразование монодромии ∆(ρ), переводящее некоторую кривую (полутрансверсаль) с началом в особой точке в себя вдоль траекторий векторного поля.
Если ∆(ρ) ≡ ρ, то особая точка — центр. Доказано [1, 2], что при подходящем выборе
полутрансверсали ∆(ρ) = cρ + o(ρ),
c > 0, при ρ → 0. Неравенство ln c ̸= 0 является
достаточным условием того, чтобы особая точка была фокусом.
В работе [3] вычислена величина ln c для Γ -невырожденных векторных полей, где Γ —
диаграмма Ньютона. Однако оказалось, что если все ребра диаграммы Ньютона Γ четные,
то ln c ≡ 0 на всем пространстве Γ -невырожденных векторных полей, то есть преобразование
монодромии в этом случае имеет асимптотику ∆(ρ) = ρ+o(ρ), а значит, невозможно получить
достаточное условие фокуса с помощью главного члена асимптотики.
В настоящей pаботе pассматpиваются Γ -невырожденные вектоpные поля с монодpомной
особой точкой, имеющей диагpамму Ньютона, состоящую из двух четных pебеp.
Ранее второй член асимптотики преобразования монодромии был вычислен в [4] для того же
класса векторных полей, но с очень ограничительными дополнительными условиями, а также
в [5] для случая, когда отношение собственных значений седловой особой точки, возникающей
в результате раздутия особенности, по модулю меньше единицы. Случай, когда это отношение
равно единице, рассматриваемый в данной статье, является более технически сложным, так
как нормальная форма седла в этом случае содержит резонансный моном.
Дадим некотоpые опpеделения, связанные с диагpаммой Ньютона.
Рассмотрим аналитическое векторное поле в окрестности точки ноль на плоскости, которое
определяет динамическую систему

˙x = X(x, y),
˙y = Y (x, y).
(0.1)

Определение 1. Рассмотрим тейлоровские разложения

yX(x, y) =

∞
i+j=1
aijxiyj,
xY (x, y) =

∞
i+j=1
bijxiyj.

Устойчивость монодромных особых точек
35

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

Носителем системы (0.1), а также векторного поля, соответствующего ей, называется множество таких пар (i, j), что (aij, bij) ̸= (0, 0). Вектор (aij, bij) называется векторным коэффициентом точки носителя (i, j). Показателем точки носителя (i, j) называется величина
bij/aij,
если aij ̸= 0,
∞,
если aij = 0.

Векторным коэффициентом целочисленной точки, не принадлежащей носителю, будем считать
нулевой вектор (0, 0).

Определение 2. Рассмотрим множество (i,j)
{(i, j) +R2
+}, где R2
+ — положительный квад
рант, объединение берется по всем точкам (i, j), принадлежащим носителю. Граница выпуклой
оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять
и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона системы (0.1), а также соответствующего ей векторного поля. Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона,
а их концы — ее вершинами.

Определение 3. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число α, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

Определение 4. Пусть α = m

n — несократимая дробь. Ребро диаграммы Ньютона с показателем α назовем четным, если одно из чисел m и n четно, и нечетным в противном
случае.

Рассмотрим ребро ℓ диаграммы Ньютона системы (0.1) с показателем α = m

n , где
m
n —
несокpатимая дpобь. Члены ряда Тейлора системы (0.1) сгруппируем таким образом, что

yX(x, y) =
∞
k=0
Xk(x, y),
xY (x, y) =
∞
k=0
Yk(x, y),
(0.2)

где
Xk(x, y) =
ni+mj=k+k0
aijxiyj,
Yk(x, y) =
ni+mj=k+k0
bijxiyj
(0.3)

— квазиодноpодные полиномы степени k + k0 с весами n и m пеpеменных x и y соответственно, k0 > 0.
Обозначим Fk(x, y) = nYk(x, y) − mXk(x, y). Таким образом, для любого ребра диаграммы
Ньютона мы определили наборы квазиоднородных полиномов Xk(x, y), Yk(x, y) и Fk(x, y),
k ⩾ 0. Кроме того, положим

Φ0 = X0

F0
;
Ψ0 = −Y0

F0
;
Φ1 = Y0X1 − X0Y1

F 2
0
.
(0.4)

Пусть m/n — несократимая дробь. Для любого квазиоднородного полинома R(x, y) с весами n и m переменных x и y справедливо разложение

R(x, y) = Axs1ys2 i
(yn − bixm)ki,

где bi — различные ненулевые комплексные числа, ki ⩾ 0, s1 ⩾ 0, s2 ⩾ 0 [3, с. 159].

Определение 5. Множитель вида yn − bixm, bi ̸= 0, называется простым множителем
полинома R(x, y), число ki называется кратностью этого множителя.

Определение 6. Векторное поле (росток) с диаграммой Ньютона Γ называется Γ -невырожденным, если: 1) для любого ребра диаграммы Ньютона Γ полином F0(x, y) не имеет простых множителей кратности больше единицы; 2) показатель любой не лежащей на координатной оси вершины отличен от показателей примыкающих к ней ребер.