Полутела с образующей

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 512.556

c
⃝ Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева

ПОЛУТЕЛА С ОБРАЗУЮЩЕЙ 1

Статья посвящена теории полуколец и полутел. Вводится и изучается понятие образующей полутела.
Показано, что любое полутело вкладывается в полутело с образующей. Дана спектральная характеризация полутел с образующей.

Ключевые слова: полутело, ядро полутела, образующая полутела, неприводимый спектр.

Введение

Специальное рассмотрение полутел с образующей мотивируется следующими обстоятельствами. Во-первых, всякое полутело вкладывается в полутело с образующей (теорема 1). Вовторых, полутела с образующей обладают некоторыми важными дополнительными свойствами, например, в них собственные ядра содержатся в максимальных ядрах (теорема 5). Вложение в полутело с образующей является одним из инструментов исследования произвольных
полутел. Отметим, что понятие образующей полутела служит аналогом единицы в кольцах
и обобщает понятие сильной единицы в решеточно упорядоченных группах. А само понятие
полутела является весьма широким обобщением понятия решеточно упорядоченной группы.
Теорию полутел можно рассматривать и как раздел теории полуколец, и как часть теории мультипликативных групп, наделенных коммутативно-ассоциативной операцией сложения. Первые работы, посвященные полутелам, появились в 60-е годы XX века в рамках теории
полуколец. Назовем статьи [1–8], а также монографию Голана [9] по общей теории полуколец,
на которые мы будем далее ссылаться.

§ 1. Исходные понятия и результаты

Полутелом называется алгебраическая структура U с бинарными операциями сложения
+ и умножения ·, такими, что ⟨U, +⟩ — коммутативная полугруппа, ⟨U, ·⟩ — группа с единицей 1 и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон [2]. Эквивалентное
определение: полутело — это делимое полукольцо с квазитождеством a + b = 0 ⇒ a = 0 с
выброшенным затем нулем 0.
В сигнатуре ⟨+, ·,−1 , 1⟩ типа (2, 2, 1, 0) класс всех полутел образует многообразие. Понятия подполутела, конгруэнции на полутеле, факторполутела, гомоморфизма и прямого произведения полутел определяются стандартно. Для полутел выполняются известные теорема о
гомоморфизме и теоремы об изоморфизме (см. [3, §3]).
Полутело называется:
полуполем, если умножение в нем коммутативно;
идемпотентным, если оно удовлетворяет тождеству a + a = a (равносильно, 1 + 1 = 1 );
сократимым, когда оно удовлетворяет квазитождеству a + c = b + c ⇒ a = b ;
зероидным, когда a + b = a для некоторых его элементов a, b ;
тривиальным, если оно содержит единственный элемент 1.
Всякое полутело U либо идемпотентно, либо содержит в качестве подполутела копию полуполя Q+ положительных рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения
чисел [2, пункт 2]. Во втором случае будем считать, что Q+ ⊆ U, и тогда Q+ лежит в центре

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 08-01-11000 ано).