О разрешимости периодической краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.929

c
⃝ Е. И. Бравый

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, периодическая задача, функция Грина.

Введение

Условиям разрешимости периодической краевой задачи для различных видов функционально-дифференциальных уравнений за последние годы было посвящено значительное число работ [1–12]. В частности, для функционально-дифференциальных уравнений первого [1, 3],
второго [5], третьего [11] порядков получены неулучшаемые условия однозначной разрешимости. Для уравнения n -го порядка на основе результата работы [7] были получены условия
разрешимости в терминах максимумов некоторых многочленов. Для этих максимумов при дополнительных предположениях, доказанных только при n ⩽ 7, справедливы рекуррентные
соотношения. Оптимальность полученных условий была доказана также только для n ⩽ 7.
В данной работе для уравнений произвольного порядка n получены оптимальные условия разрешимости периодической задачи в терминах функции Грина вспомогательной краевой
задачи и доказано рекуррентное соотношение для констант, определяющих условия разрешимости. Отметим, что для широкого класса резонансных краевых задач, который включает в
себя периодические задачи, задачу Неймана для уравнения второго порядка и многие другие
задачи, справедливы аналогичные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости [13].
Используются следующие обозначения:
R = (−∞, +∞); C — пространство непрерывных функций x : [0, ω] → R, ω > 0, c нормой
∥ x∥C = max
t∈[0,ω] |x(t)| ; L — пространство суммируемых функций z : [0, ω] → R c нормой ∥ z∥L =
ω

0
|z(t)| dt ; Wn, n ⩾ 1 — пространство функций x : [0, ω] → R с абсолютно непрерывной

(n − 1) -й производной, ∥ x∥Wn =
n−1
i=0
|x(i)(0)| +
ω

0
|x(n)(t)| dt. Все равенства и неравенства с

функциями из L понимаются как равенства и неравенства почти всюду на [0, ω].
Линейный оператор T : C → L называют положительным, если T отображает каждую
неотрицательную функцию из C в почти всюду неотрицательную. Норма положительного

оператора T определяется равенством ∥ T∥ = ∥ T∥C→L =
ω

0
(T1)(s) ds.

Рассмотрим уравнение с отклоняющимся аргументом

x(n)(t) =

k
i=1
pi(t)x(gi(t)) + f(t),
t ∈ R,
(0.1)

где pi,
i = 1, . . . , k,
f : R → R — ω -периодические локально суммируемые функции,
gi : R → R,
i = 1, . . . , k — ω -периодические измеримые функции. Задача о нахождении

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 06–01–00744 и 07–01–96060).

О разрешимости периодической краевой задачи
13

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

ω -периодических решений уравнения (0.1) эквивалентна периодической краевой задаче на отрезке [0, ω] :

x(n)(t) =

k
i=1
pi(t)x(hi(t)) + f(t),
t ∈ [0, ω],
(0.2)

x(i−1)(0) = x(i−1)(ω),
i = 1, . . . , n,
(0.3)

где hi(t) = gi(t) − mi(t)ω при некоторых таких целых числах mi(t), i = 1, . . . , k, что hi(t) ∈
[0, ω] при всех t ∈ [0, ω].
Действительно, если x является ω -периодическим решением (0.1), то сужение x на [0, ω]
будет решением задачи (0.2), (0.3). Обратно, решение задачи (0.2), (0.3), периодически продолженное на R, является периодическим решением уравнения (0.1).
Уравнение (0.2) можно представить в операторном виде

x(n)(t) = (T +x)(t) − (T −x)(t) + f(t),
t ∈ [0, ω],

где (T +x)(t) =
ki=1
p+
i (t)x(hi(t)), (T −x)(t) =
ki=1
p−
i (t)x(hi(t)), t ∈ [0, ω],

p+(t) = (p(t) + |p(t)|)/2,
p−(t) = (−p(t) + |p(t)|)/2,
(0.4)

T +/− 1 — линейные положительные операторы, действующие из C в L.

§ 1. Основной результат

Рассматривается периодическая краевая задача
x(n)(t) = (T +x) − (T −x)(t) + f(t),
t ∈ [0, ω],

x(i−1)(0) − x(i−1)(ω) = αi,
i = 1, . . . , n,
(1.1)

где n ⩾ 2, линейные операторы T +, T − : C → L положительны, f ∈ L, αi ∈ R, i = 1, . . . , n.
Краевая задача (1.1) называется однозначно разрешимой, если при любой функции f ∈ L и
любых числах αi ∈ R, i = 1, . . . , n задача имеет единственное решение x ∈ Wn. В этом случае
решение полуоднородной задачи ( αi = 0,
i = 1, . . . , n ) имеет интегральное представление,
ядро которого называется функцией Грина [14].
Известно, что задача (1.1) является фредгольмовой [14], поэтому задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда однородная задача
x(n)(t) = (T +x) − (T −x)(t),
t ∈ [0, ω],

x(i−1)(0) − x(i−1)(ω) = 0,
i = 1, . . . , n
(1.2)

имеет только тривиальное решение x = 0. Цель статьи — получить необходимые и достаточные
условия однозначной разрешимости периодической задачи для семейства уравнений (1.1) с
заданными нормами операторов T + и T −.
Следующая лемма дает представление решений периодических задач.
Лемма 1. Задача
x(n)(t) = f(t),
t ∈ [0, ω],

x(i−1)(0) − x(i−1)(ω) = 0,
i = 1, . . . , n
(1.3)

1Здесь и далее « +/− » означает, что имеется два утверждения: первое для знака « + », второе для знака
« − ».