Об одной задаче простого преследования

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 519.8(045)

c
⃝ А. С. Банников

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОСТОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Рассматривается дифференциальная игра группы преследователей и одного убегающего при равных
динамических возможностях всех участников. Получены необходимые и достаточные условия поимки
в случае, когда убегающий стеснен фазовыми ограничениями.

Ключевые слова: дифференциальная игра, фазовые ограничения, кусочно-программные стратегии и
контрстратегии.

Введение

Рассматривается нестационарная задача простого преследования несколькими управляемыми
объектами одного убегающего с фазовыми ограничениями на состояние убегающего и одинаковыми динамическими возможностями всех участников. Стационарный случай a(t) ≡ 1 рассматривался многими авторами. В работах [1, 2] получено решение такой задачи без фазовых
ограничений, причем в работе [1] рассмотрен случай, когда множество допустимых управлений
игроков — шар, терминальные множества — начало координат, в работе [2] — множество допустимых управлений и терминальные множества — выпуклые компакты. В работе [3] получено
решение задачи с фазовыми ограничениями, когда множество, ограничивающее управления
игроков, — шар единичного радиуса, терминальные множества — начало координат, а фазовые ограничения — выпуклый компакт. В работе [4] получено решение задачи с фазовыми
ограничениями, когда множество, ограничивающее управления игроков, — шар единичного
радиуса, терминальные множества — компакты, а фазовые ограничения — выпуклое многогранное множество. В работе [5] расматривался случай, когда множество допустимых управлений игроков — выпуклый компакт, терминальные множества — выпуклые компакты, фазовые
ограничения — выпуклое многогранное множество.
В данной работе рассмотрен нестационарный случай, когда множество, ограничивающее
управления игроков, — шар, терминальные множества — выпуклые компакты, фазовые ограничения — выпуклое многогранное множество.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Rk ( k ⩾ 2 ) рассматривается дифференциальная игра n + 1 лиц: n преследователей P1, . . . , Pn и убегающего E .
Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид

˙xi(t) = a(t)ui(t),
xi(t0) = x0,
ui ∈ Q.
(1.1)

Закон движения убегающего E имеет вид

˙y(t) = a(t)v(t),
y(t0) = 0,
v ∈ Q,
(1.2)

причем z0
i = x0
i − y0 /∈ Mi ( i = 1, . . . , n ), где M1, . . . , Mn — заданные выпуклые компакты;
a(t) — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве
оси t; Q — выпуклый строго выпуклый компакт с гладкой границей, 0 ∈ Q.
Будем полагать, что убегающий E в процессе игры не покидает пределы множества D,
Int D ̸= ∅.