К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пэнлеве

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 2

УДК 531.01

© Г. М. Розенблат




                К ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ДИНАМИКЕ НЕСВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПАРАДОКСЫ ПЭНЛЕВЕ




В статье рассмотрены основные принципы постановок задач в механике твердого тела при наличии связей (с сухим трением и без). Основное внимание уделено предыстории начальных условий задачи, которая должна быть корректно определена таким образом, чтобы не требовалось введения дополнительных гипотез и допущений, выводящих исследование за рамки динамики твердого тела без ударов. Тогда динамика движения (и/или равновесия) твердых тел может быть описана однозначно и без каких-либо парадоксальных ситуаций (парадоксов Пэнлеве). Эта методика иллюстрируется на трех известных задачах механики: опирание твердого тела на одну точку при наличии сухого трения, движение стержня с ползунами в направляющих с сухим трением, опирание твердого тела на две точки с сухим трением («скамейка»).

Ключевые слова-, система со связями, сухое трение, парадоксы Пэнлеве

                                     «... Пэнлеве не прав, называя Кулоновы законы «logiquement inadmissibles» (логически недопустимыми), он однако, прав, утверждая, что эти законы в пределах механики твердого тела с чисто логической точки зрения нуждаются в дополнении».
Р. Мизес [1]




                § 1. Основные принципы




   Все системы материальных точек разделяются на два класса:
   а) системы свободных точек, взаимодействующих между собой и другими точками;
   б)   системы несвободных (связанных) точек, взаимодействующих между собой и другими точками (системы со связями).
   Для систем класса а) постановка задач динамики заключается в следующем: для произвольно заданных начальных условий при t = 0 (положений и скоростей точек) определить последующее движение, то есть положения и скорости точек при t > 0. Эта задача сводится к задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и при «приемлемом» аналитическом описании сил взаимодействия имеет однозначное аналитическое решение. Здесь, однако, возможны затруднения, связанные с соударением точек (то есть совпадение координат каких-либо S (S ^ 2) точек). Эти затруднения снимаются соответствующими гипотезами и теоремами классической теории удара, которые, конечно, имеют ограниченную область применимости.
   Для систем класса б) затруднения появляются сразу и касаются они способа выбора начальных условий. Это вызвано тем, что связи в механике допускают двойственное толкование и определение. С одной стороны, они являются некоторыми функциональными зависимостями между координатами (и, возможно, временем и скоростями) точек. Это удобный формальноматематический метод, который приводит к понятию обобщенных координат и уравнениям Лагранжа (Гиббса-Аппеля и т.п. для неголономной механики).
   С другой стороны, по аксиоме связей последние реализуются соответствующими силами (силами реакций), которые призваны обеспечивать выполнение указанных функциональных зависимостей, и, кроме того, (и это самое важное!) эти силы реакций должны удовлетворять

Г. М. Розенблат

МЕХАНИКА                                                                2009. Вып.2

определенным условиям, которые следуют из физической и механической сущностей рассматриваемой задачи. Например, если мы считаем тела, взаимодействующие (контактирующие) между собой, абсолютно твердыми, то силы реакции, реализующие эти связи, могут быть, вообще говоря, как угодно большими. Если мы допускаем односторонность связи (функциональная зависимость в виде неравенства), то реакция направлена всегда в сторону схода связи (адгезия исключается).
   Отметим, что мы здесь не касаемся вопроса о реализации связей, который рассматривался в работах [2].
   Рассмотрим вначале связи класса 61): удерживающие (двухсторонние) идеальные связи (связи без трения). В этом случае начальные условия задаются так, что выполнены уравнения связей, или, если мы перейдем к обобщенным координатам, задаются (при t = 0) начальные значения обобщенных координат и скоростей. Тогда обобщенные координаты как функции времени и начальных условий определяются из уравнений Лагранжа, которые, так же как и задача Коши для систем класса а), однозначно (как правило) разрешимы. Заметим, что уже здесь мы предполагаем, что движение системы при t < 0 было или состоянием покоя, или движением по связи. В любом из этих двух случаев мы должны указать источники, приводящие при t > 0 к изменению состояния системы, которое было при t < 0. В частности, если при t < 0 система покоилась и при t ^ 0 ничего не меняется (силы и другие геометрические и механические параметры системы), то покой будет сохраняться и при t ^ 0. Если же при t < 0 было движение по связи и мы хотим знать, какое движение будет при t > 0, то при t = 0 мы должны брать такие начальные условия, которые являются результатом некоторого движения по связи, реально существовавшего в «прошлом», то есть при t < 0!
   Если же для каких-то начальных условий мы не можем подобрать (указать) такое движение в «прошлом», то прежде чем решать эту задачу при t > 0, нам следует сначала разобраться с тем, как и каким образом система могла очутиться в таких начальных условиях (например, это мог быть «заход» системы на связь, что реализуется для односторонних при t < 0 связей, которые при t ^ 0 сразу становятся двухсторонними).
   В любом случае, чтобы решать задачу дальше (при t > 0) с этими нестандартными («парадоксальными») начальными условиями, нам следует запастись некоторым набором допущений (гипотез), которые будут приемлемо и правдоподобно описывать такой, вообще говоря, ударный процесс.
   Заметим, что сам Пэнлеве, отвечая на критику своих оппонентов, очень подробно описывает способы, которыми можно было бы реализовать такие «парадоксальные» начальные условия. Иногда эти способы являются достаточно искусственными и хитроумными, усложняющими исходную постановку задачи и механическую модель. Кроме того, и здесь требуется введение новых (дополнительных) гипотез и допущений.
   Используя последнее рассуждение, мы можем рассмотреть принципы задания начальных условий для связей класса б₂) : идеальные связи с трением. В этом случае силы трения создают ненулевую работу на возможных перемещениях системы, и поэтому для использования метода обобщенных координат Лагранжа силы трения включают в число внешних или внутренних (активных) сил. Связи остаются идеальными, однако введенные силы трения зависят как от сил (нормальных) реакций связей, так и, вообще говоря, от кинематического состояния системы в данный момент. Отсюда следует, что выбор начальных условий в данной задаче для ее последующего (при t > 0) решения сопряжен с еще большими осложнениями, чем для систем класса 61) . Более того, если силы трения являются кулоновыми (сухими), то обращение в нуль скорости соответствующего фрикционного контакта приводит к неопределенности, связанной с возникновением силы трения покоя, и, как следствие, к эффекту «заклинивания» и (или) «зонам застоя».
   Выходом из создавшейся ситуации является более аккуратный выбор начальных условий, связанный с требованием того, чтобы они (эти начальные условия) являлись результатом некоторого предыдущего реального движения системы по связи и силами реакций, совме-