Осесимметрическая модель кольцевой структуры в двухслойном течении вязкой жидкости со свободной поверхностью

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА                                          2009. Вып. 2



УДК 532.5.032

© В. В. Пак

ОСЕСИММЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЬЦЕВОЙ СТРУКТУРЫ В ДВУХСЛОЙНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Разработана осесимметрическая модель на основе упрощенных уравнений вязкой жидкости для исследования двухслойного течения со свободной границей, создаваемого подъемом жесткого блока фундамента. Получено численное решение полной нелинейной системы и выполнен анализ малых возмущений движения границ слоев. Основной результат заключается в том, что кольцевая структура образуется на поверхности жидкости, если плотность нижнего слоя больше, чем у верхнего. Предлагаемая модель может представлять интерес для геофизики при изучении процесса образования крупномасштабных кольцевых структур на поверхности Земли и других планет.

Ключевые слова: стоксово течение, многослойные течения, длинноволоновое приближение, нелинейная диффузия, кольцевые структуры.




                Введение




   Исследование медленных течений многослойной вязкой жидкости со свободной границей, кроме многочисленных практических приложений, является одной из наиболее важных проблем в гидродинамике ([1, 2, 3]).
   В данной статье рассматривается один из ранее не изученных режимов осесимметричного течения двухслойной жидкости, создаваемого поднимающимся жестким цилиндрическим блоком фундамента (см. рис. 1). Т. к. поверхностное натяжение и другие нелинейные эффекты оказываются пренебрежимо малыми из-за большой вязкости [3], движение жидкости инициируется, в основном, гравитационными силами и вязкими напряжениями. Исследование эволюции такого течения весьма затруднительно из-за сильного взаимодействия слоев: верхний слой приподнимается и растягивается нижележащим слоем, который, в свою очередь, испытывает нагрузку и сдвиговые напряжения, создаваемые верхним слоем. Как было показано в предыдущих исследованиях плоской модели [1, 3], это приводит к нетривиальному, трудно предсказуемому поведению границ слоев на больших временах.
   В предположении малости толщины слоев по сравнению с горизонтальным масштабом возмущений использовались упрощенные уравнения в длиноволновом приближении (уравнения смазочного слоя), которые приводят к системе квазилинейных уравнений параболического типа для границ слоев.
   Получено численное решение полной нелинейной системы и выполнен анализ малых возмущений. Это позволило выявить основные особенности течения на малых и на больших временах. Полученные результаты могут представлять интерес для геофизики при исследовании образования крупномасштабных кольцевых структур на Земле и других планетах.




                § 1. Система уравнений и краевые условия




   Рассмотрим вязкую жидкость, состоящую из двух несмешивающихся слоев (обозначены индексами i = 1,2), которые ограничены поверхностями раздела z = Zi,i = 1,3 и боковой границей г = гь. Пусть течение создается поднимающимся цилиндрическим блоком фундамента с радиусом R. Этот подъем моделируется заданием вертикальной составляющей скорости на нижней границе. Верхняя граница Z₁ является свободной. Общая схема модели показана на рис. 1.

В. В. Пак

МЕХАНИКА


2009. Вып.2

   Осесимметрическое течение описывается в цилиндрических координатах (r, р, z) , где r, р и z — это соответственно радиалвная, азимутальная и вертикальная координаты. Пусть начало координат совпадает с пересечением оси симметрии и фундамента. Все переменные предполагаются независимыми от р .

Рис. 1. Общая схема расчетной области. Сплошными лилиями обозначены границы слоев, пунктирными — их начальные положения. Стрелками обозначен поднимающийся блок фундамента

   Движение вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести при условии осевой симметрии описывается следующими уравнениями [4]:

dur     диг       dur   dp + pi [_ 4rdur \  + d 2 ur           
dt     r dr     z dz    dr       r    dr       dr 2  J,        
duz     duz       duz = dp + pi [■ -(rdr)   + d 2 uz           
dt     r dr     z dz    dz       r - \ dr /    dr 2  ■]    pig,
1 dur duz         = 0,                                         
r dr     dz                                                    

(1-1)

где pi, pi, i = 1,2 — плотности и вязкости слое в (постоянные внутри слоев), uᵣ ,uz — радиальная и вертикальная компоненты скорости, p — давление, g — ускорение силы тяжести.
   Для замыкания системы (1.1) на границах слоев задаются слудующие краевые условия [4]:

  (1) На границе Z₁: условия свободной поверхности, т. е. нормальная и касательная составляющие напряжения равны нулю:

(-Р + 2 м 1 )n 1 + & +    n 2 = 0,
dr          or or
dur duz i            duz i
                        laT ⁺ ar)ⁿ ¹ ⁺ p ⁺ ² м ¹ ~azr² = ⁰ ’

(1-2)

где nj — направляющие косин усы нормали к границе Zi, которые вычисляются по фор
мулам: dZi                         1                                         
       ni = - , dr     2,   n2 =   ,           2,                       (1.3)
                                  У1+O)     ^1+&)                            

(2) на границе Z₂ : условия полного прилипания, т. е. составляющие скорости и напряжения

непрерывны: [ ur ] + = 0,   [ uz ]t = 0,                                 
            [(-p + 2 м 1 %) n 2 + (+ dz) n 2] + = 0,                (1.4)
            [(+   ) n2 + (-p + 2P1 z) n2] + = 0,                         

где [• ]t — скачок функции.