Базис дифференциальных инвариантов группы симметрии уравнения Грина-Нагди

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА                                          2009. Вып. 2



УДК 517.9

© Н. В. Любашевская, А. П. Чупахин




                БАЗИС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ГРУППЫ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ ГРИНА—НАГДИ¹




Рассматривается система уравнений Грина-Нагди, описывающая распространение длинных волн на поверхности жидкости. Построены продолжения операторов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди, вычислены ее дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования. Доказана теорема о базисе дифференциальных инвариантов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди. Кроме того, описаны связи между дифференциальными инвариантами, порождаемые операторами инвариантного дифференцирования и самими дифференциальными уравнениями. Для построения в дальнейшем дифференциально инвариантных решений необходимо исследование условий совместности полученной переопределенной системы.

Ключевые слова: уравнения Грина-Нагди, дифференциальные инварианты, операторы инвариантного дифференцирования, базис дифференциальных инвариантов.




                Введение




   Групповой анализ дифференциальных уравнений [1] позволяет получать широкие классы точных решений уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его алгоритмы при исследовании математических моделей физики и механики континуума, обладающих по своему построению широкой группой симметрии. Многочисленные примеры новых нетривиальных решений в газовой динамике можно найти в работах [2, 3, 4].
   Инвариантные решения строятся путем дописывания к исходной системе дифференциальных уравнений представлений всех исходных функций через инварианты. Для частично инвариантных решений лишь часть искомых функций имеет такое представление, а оставшиеся являются, вообще говоря, произвольными. Такая ситуация порождает переопределенную систему дифференциальных уравнений для этих функций, число которых меньше числа уравнений в исходной системе. Условия совместности этой переопределенной системы при приведении ее в инволюции служат для определения этих функций, названных в [1] «лишними». Приведение переопределенной системы дифференциальных уравнений в инволюцию осуществляется алгоритмом Картана, но его практическая реализация в конкретных случаях может оказаться достаточно сложной. Вместе с тем, частично инвариантные решения представляют значительный интерес, поскольку они обладают большей общностью по сравнению с инвариантными и не могут быть получены иначе, чем регулярным применением теоретико-групповых методов.
   Дальнейшим обобщением инвариантных решений являются дифференциально инвариантные. Они получаются при дописывании к системе дифференциальных уравнений соотношений, связывающих дифференциальные инварианты [1]. Исследование дифференциальных инвариантов групп непрерывных преобразований было начато в работах Софуса Ли. Позже эта теория получила свое развитие в работах Овсянникова [1] и Олвера [5, 6]. Исследование таких решений представляется очень сложной задачей, поскольку на сегодняшний день отсутствует законченная теория дифференциально инвариантных решений [7]. Имеются примеры построения таких решений, носящие в значительной мере «экспериментальный» характер [8, 9]. Одной из основных проблем этой теории сегодня является отсутствие теорем о редукции дифференциально инвариантных решений к инвариантным или частично инвариантным. Между тем
   Работа поддержана грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-2817.2008.1) и Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 06-01-00258, 09-01-00403).

Базис дифференциальных инвариантов группы симметрии

53

МЕХАНИКА

2009. Вып.2

дифференциально инвариантные решения составляют содержательные классы решений. Так, потенциальные решения в гидро- и газодинамике выделяются условиями rot и = 0 , являющимися дифференциальными уравнениями относительно искомой функции и и выражающими равенство нулю дифференциального инварианта группы Галилея.
   В данной работе решается задача построения базиса дифференциальных инвариантов группы симметрии уравнений Грина-Нагди [10]. Эти уравнения являются популярной моделью длинных волн. Для них описаны все инвариантные и частично инвариантные решения [11], причем доказано, что все вторые редуцируются к первым. Множество инвариантных решений хорошо обозримо, что облегчает задачу построения существенно новых дифференциально инвариантных решений. Отметим, что вопрос о существовании многозначных решений для уравнений Грина-Нагди является на сегодняшний день открытым. Интересно, что алгебры симметрии L4 уравнений Грина-Нагди и Кортевега-де Фриза являются изоморфными. Их представление является,конечно, различным.
   В работе построены явно дифференциальные инварианты алгебры симметрии L4 до третьего порядка включительно. Найдены операторы инвариантного дифференцирования и построен базис дифференциальных инвариантов, состоящий из четырех образующих. Построены алгебраические соотношения, связывающие дифференциальные инварианты в силу уравнений и их инвариантных продолжений.





                § 1. Инвариантные и частично инвариантные решения уравнений Грина-Нагди




   Рассматривается система уравнений Грина-Нагди (модель мелкой воды), описывающая распространение длинных волн на поверхности жидкости [10]:
                          ht + (uh) x = 0,
[h³(Utx + UUxx - uX)]x                 (1-1)
Ut + uux + ghx =---------r---------•
3 h
В (1.1) через h(t, x) , u(t, x) обозначены высота свободной поверхности жидкости над горизонтальным дном (h > 0) и средняя скорость движения жидкости в горизонтальном направлении; g = const — ускорение свободного падения.
   Система уравнений (1.1) допускает группу непрерывных преобразований, базис алгебры Ли которой имеет вид [11]
x 1 = dt, X2 = dx, Xз = tdx + ди, X4 = tdt + 2xdx + udᵤ + 2hdₕ•     (1.2)
   Точные решения для системы уравнений (1.1) (инвариантные и частично инвариантные), построенные методами группового анализа [1], были получены в [11]. Показано, что все инвариантные решения уравнений (1.1) относятся к одному из следующих типов:
   а) галилеево-инвариантные решения:
       •        галилеево-инвариантные решения, порождаемые подалгеброй (X 1 + вХ₃) с вещественным параметром в = 0, имеющие представление
                          u = fit + U(y), h = H(y), UH = c 1,                    (1.3)
где y = x — et² /2 , c 1 = const. В обозначениях
w = (вс 1 / >/3)¹ /³ /U, y = (c 1 / (3 в ))1 /³ e — c 2,
где a = — д/3g/(4в), c₂ — постоянные, фактор-уравнение, описывающее данные решения, имеет вид
d²w   1 dWw\    ₂ ₂ , ₃ ₃    1
                          wde² =2^de) ew ⁺⁴aw            2’                      ⁽L⁴⁾
       •        галилеево-инвариантные решения, порождаемые подалгеброй (X₃), имеющие представление
u = ( x + u о) /I, h = h о/I,                    (1.5)
где uо , hо — произвольные постоянные;