Движение трех точечных вихрей в случае, если один из них проходит через центр завихренности

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 2

УДК 517.928, 532.517.43, 532.527


© А. И. Гудименко, К. Г. Купцов

ДВИЖЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ В СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ОДИН ИЗ НИХ




                ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ЗАВИХРЕННОСТИ ¹





Изучается движение трех точечных вихрей в случае, если центр завихренности лежит на траектории одного из вихрей или находится достаточно близко от нее. Численно исследованы траектории вихрей в широком диапазоне изменения их интенсивностей. Вычислены асимптотики траекторий вихрей для конфигураций, близких к сингулярной или коллинеарной.

Ключевые слова: точечные вихри, возмущения, асимптотики.





                Введение





   Движение трех точечных вихрей в случае, если центр завихренности лежит на траектории одного из вихрей или находится достаточно близко от нее, проявляет себя качественно иным образом, нежели в случае общего положения центра завихренности. Особенноств обнаруживается уже в уравнениях движения вихрей в полярных координатах (см. формулу (1.18)). В момент прохождения вихря через центр завихренности в правой части уравнений возникает неопределенности, приводящая, в частности, к скачкообразному изменению угловой скорости вращения вихря вокруг центра завихренности при малых изменениях начальных данных. Подчеркнем, однако, что ни о какой неустойчивости движения здесь речь не идет. Все дело — в способе описания движения. Если центр вращения не лежит на траектории вихря, угловая скорость остается непрерывной при малых изменениях начальных данных.
   Будем далее называть траекторию вихря, проходящую через центр завихренности, центральной траекторией, а движение вихрей в случае, если одна из траекторий центральная, — центральным движением. Траектории вихрей, близкие к траекториям центрального движения, будем называть окрестными траекториями, а движение по ним вихрей — окрестным движением.
   В компьютерном эксперименте (см. § 2) особенность рассматриваемых типов движения проявляется, в частности, в специфической форме центральной траектории в подходящей вращающейся системе координат. Форма этой траектории стабилизируется при приближении значения интенсивности одного из вихрей к предельному значению, коим мы считаем нуль, бесконечность или суммарную с обратным знаком интенсивность двух других вихрей.
   При таких значениях интенсивности одного из вихрей оказывается возможным вычислить асимптотики центральных и окрестных траекторий вихрей, а также и некоторые другие характеристики движения. Мы показываем в § 3, что соответствующие центральные траектории описываются в декартовых координатах при подходящем масштабировании уравнением


у² = x ⁴(1 — x²) и ли у² = x ⁸(1 — x²),


смотря по тому, к какой конфигурации вихрей траектория близка, коллинеарной или сингулярной.


   ¹ Работа поддержана РФФИ (грант 08-05-00061-а) и ДВО РАН (гранты 09-1-П17-07, 09-II-CO-07-002, 09-1-П4
04).

А. И. Гудименко, К. Г. Купцов

МЕХАНИКА


2009. Вып.2





                § 1. Предварительные сведения





1. Динамика трех точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом


1  ³
H =----^ ——— ln mi
4 п  a ₁ a 2 a ₃
i =1

(1-1)

и скобкой Пуассона

          3
{f,g} = ^2ai
         i=1

/ df dg ddxi dyi

dfdg \ dyi dxi) ’

	

где ai — обратная интенсивность i -го вихря, mi — квадрат расстояния между вихрями, отличными от i-го, xi и yi — его декартовы координаты. Говорят еще, что эта система описывает абсолютное движение трех вихрей.
   Наличие в системе, помимо гамильтониана, первых интегралов


3

33

Q = Е ai-      р = Е%■ ¹ = Е
ai             ai
i=1            i=1             i=1


xi + yi² ai

позволяет свести ее к двумерной динамической системе, о которой говорят как о системе относительного движения трех вихрей. Обозначим Л удвоенную ориентированную площадь вихревого треугольника a положим a = a ₁ a2 + a2 a₃ + a₃ a ₁ . Согласно [1] относительное движение описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом (1.1) и скобкой Ли—Пуассона


{mi, Л} =  ( aj - aₖ) mi + (aj + aₖ)(mj - mₖ), {mi,mj } = - 4 aₖ Л,   (1.2)


ограниченными на поверхность уровня f = 0 и g = const, где


f = (2Л)2 + m I + m 2 + m 2 — 2( m ₁ m 2 + m 2 m ₃ + m ₃ m ₁),

a1m1 + a2m2 + a3m3



(1-3)

Алгебра Ли, соответствующая ли-пуассоновой структуре (1.2), названа в [1] вихревой алгеброй.
   Поверхность уровня f = 0 и g = const является фазовым пространством редуцированной системы. При a > 0 это пространство компактно [1]. В данной работе мы всегда предполагаем выполнение этого условия.


2.  В [1] для a > 0 на фазовом пространстве редуцированной системы были определены канонические координаты. К сожалению, они не удобны для наших целей, ибо их нуль не совпадает, вообще говоря, ни с сингулярной, ни с эллиптической коллинеарной особыми точками. Введем более подходящие координаты.
   В сингулярном случае выберем в качестве образующих вихревой алгебры

Л         ai(ai + aj)mi + aj(ai + aj)mj - (aiaj + a)mk
ei =----^, ej = — --------—-----------------------— ----- ,             (1-4)
                    2 g^/a   ³                   4 ga (ai + aj)
                              (ai + aj)mi - (ai + aj)mj + (ai - aj)mk                  ..
ek = ¹/ - j, x --------------------------- 1-5
4 g^/a (ai + aj)

и g. В этих образующих фазовое пространство системы — сфера

e 2 + e 2 + e 3 = 1,                             (1.6)

а ли-пуассонова структура (1.2) имеет вид


{g,ei} = 0, {ei,ej } = g ¹ ek.


(1-7)