Моделирование движение космического аппарата с упругими элементами

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА                                                         2009. Вып. 2




                МЕХАНИКА




УДК 534.1; 539.3

© М. В. Борисов, А. А. Авраменко


            МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ


Целью работы является получение математической модели движения составной упругой системы. Поиск собственных форм и частот предлагается проводить путем разложения колебаний по формам неподвижных элементов. Это позволяет преобразовать уравнения движения в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения. Проведено моделирование движения космического аппарата, в состав которого входят упругие элементы большой протяженности (панели солнечных батарей).

Ключевые слова: составная упругая система, собственные частоты колебаний, собственные формы колебаний, дифференциальные уравнения движения, упругий космический аппарат, панели солнечных батарей, метод Релея-Ритца, принцип Гамильтона-Остроградского.


            Введение


   Тенденции увеличения размеров деформируемых конструкций, уменьшения их масс, жесткости и ряд других факторов требуют новых подходов моделирования сложных механических систем, развития методов их качественного анализа, численного интегрирования.
   В известных работах основное внимание уделяется исследованию стационарных вращательных движений упругих систем или движения вокруг центра масс системы [1-9].
   Имеется ряд основных методов для моделирования и исследования движения сложных систем с упругими элементами. К ним относятся: моделирование упругих элементов твердыми телами [1, 4, 6, 7]; метод конечных элементов [8, 9].
   Наиболее распространенным методом компьютерного моделирования составных упругих конструкций в настоящее время является метод конечных элементов. Однако точность данного метода зависит от количества конечных элементов. Соответственно, учет большего числа конечных элементов требует больших затрат машинного времени. Кроме того, метод конечных элементов дает значения динамических характеристик в точках выбранных конечных элементов, а при изменении конструкции моделируемой системы требует перестройки всей конечноэлементной сетки.
   В данной работе предлагается метод получения математической модели движения составной упругой системы и приведен пример его использования для исследования колебаний условного космического аппарата (КА) с панелями солнечных батарей (ПСБ).

§ 1. Моделирование движения составной упругой системы


            1.1. Определение собственных форм и частот системы


   Сложную упругую систему, как правило, можно представить в виде некоторой условной конструкции, состоящей из простых элементов (стержней, пластин, оболочек и т. д.), деформации которых малы и могут рассматриваться как упругие. При исследовании движения такой системы необходимо учитывать возникающие колебания, которые непосредственно связаны с упруго-массовыми характеристиками. В случае малых деформаций возникающие колебания могут быть найдены, если известны собственные частоты и формы колебаний. Если в качестве форм колебаний выбрать некоторую систему перемещений, удовлетворяющую граничным условиям и внутренним связям, то для оценки первой собственной частоты можно использовать неравенство Релея [12]:
U *
" < < T*,                            (1-1)

М.В. Борисов, А. А. Авраменко

МЕХАНИКА


2009. Вып.2

где U* еств упругий потенциал, вычисленный для выбранной системы перемещений, a T* — выражение кинетической энергии, в котором скорости заменены перемещениями. Это неравенство дает верхнюю оценку первой собственной частоты. Если функции, определяющие выбранную систему перемещений, будут содержатв некоторое число неопределенных коэффициентов di (i = 1 ,n), то появляется возможности не только уточнить величину первой собственной частоты, но и получить значения нескольких следующих. Подобная процедура определения частот носит название метода Ритца [12]. Она заключается в выборе таких значений неопределенных коэффициентов, которые минимизируют оценку собственной частоты. Значения коэффициентов могут быть найдены из системы уравнений


дш² _ д U * ddk = ddli Т*

0, (i = 1, n).

U *
Т *

Если допустить, что ш² =

, то получим:

dU * ₂ дТ * ddi Ш ddi

   д
=    (U * - ш ² Т *)
   ddi

dS ddi

(1-2)

= 0.

   Если эти коэффициенты входят в определяющие функции линейно, то для их определения может быть составлена система линейных однородных уравнений. Из условия равенства нулю определителя этой системы и находится значение собственной частоты.
   Для сложной упругой системы выбор соответствующих функций, определяющих систему перемещений, представляет довольно сложную задачу. Для ее решения предлагается использовать функции, заведомо удовлетворяющие краевым условиям: собственные формы колебаний отдельных элементов конструкции [10]. Эти функции обладают очень удобным для дальнейших вычислений свойством: ортогональностью. Рассмотрим подробнее процедуру определения частот и форм колебаний составной упругой системы.
   Предположим, что в числе движений, существующих в рассматриваемой системе при надлежащим образом выбранных начальных условиях, имеются колебания с частотой ш , в которых все координаты изменяются в одинаковой фазе [11]:


f (x, t) = F(x) ■ sin(ut + e),


f (x, y, t) = F(x, y) ■ sin(ut + e),


(1-3)

(1-4)

где
x , y — координаты характерного размера элемента, F(x), F(x,y) — формы колебаний,

ш --- собственная частота.                                                                
Формы колебаний в (1.3)    и (1-4) отдельных элементов системы представим для стержня в   
виде                       F (x) = ^ dnXn (x),                                (1.5)       
для пластины в виде        n                                                              
                           F (x,y) = ^ dm<n Xm (x) Yn (y).                           (1.6)
                           m,n                                                            

   Функции Xₘ(x), Yₙ(y) — базисные функции, подбираемые в соответствии с краевыми условиями задачи. Для того, чтобы формы колебаний были как можно ближе к истинным, коэффициенты dₙ,dₘ,ₙ выбираются таким образом, чтобы квадрат частоты ш² в (1.1) принимал наименьшее значение. Коэффициенты dₙ,dₘ,ₙ являются корректирующими параметрами, которые приближают выбранные базисные функции к истинной форме колебаний.
   В рамках предлагаемого метода моделирования движения составной упругой системы в качестве базисных функций предлагается использовать собственные формы колебаний однородного стержня при тех же условиях закрепления, что и для исследуемой системы [12]. В приближенном решении число собственных форм может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Это сводит задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы