Расширения в классе конечно-аддитивных мер условия асимптотической нечувствительности при ослаблении части ограничений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.972.8

c
⃝ А. Г. Ченцов

РАСШИРЕНИЯ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР
И УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ПРИ ОСЛАБЛЕНИИ ЧАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ 1

Для абстрактной задачи управления рассматривается конструкция расширения в классе векторных
конечно-аддитивных мер и исследуются условия асимптотической нечувствительности достижимого
множества при ослаблении части ограничений.

Ключевые слова: расширение, конечно-аддитивная мера, асимптотическая нечувствительность.

§ 1. Содержательная постановка задачи

Рассматриваемая ниже абстрактная постановка имеет своим источником следующую содержательную задачу управления линейной системой:

·x (t) = A(t)x(t) + B(t)f(t)
(1.1)

на конечном промежутке времени I0
△= [t0, ϑ0] (здесь и ниже
△= — равенство по определению),
t0 < ϑ0; начальные условия заданы: x(t0) = x0 ∈ Rn, где n — размерность фазового пространства. В (1.1) A(·) — непрерывный покомпонентно (n × n) -матрицант на I0, B(·) — (n × r) 
матрицант на I
△= [t0, ϑ0[, допускающий покомпонентное равномерное приближение кусочнопостоянными (к.-п.) и непрерывными справа (н. спр.) вещественнозначными (в/з) функциями
на I. Пусть F — множество всех к.-п. и н. спр. неотрицательных покомпонентно r -векторфункций на I, U — непустое подмножество (п/м) F; предполагаем, что в (1.1) u ∈ U, причем
на выбор u накладывается ограничение

ϑ0

t0
S(t)u(t)dt ∈ Y,
(1.2)

где S(·) есть (m × r) -матрицант на I того же типа, что и B(·), Y
— замкнутое п/м Rm.
Ограничение (1.2) порождает множество U∂, U∂ ⊂ U, всех допустимых (в смысле (1.2)) управлений из U. При этом каждая функция f ∈ F, рассматриваемая как управление в системе
(1.1), формирует единственную траекторию ϕf данной системы, определенную на отрезке I0 и

принимающую значения в Rn. Множество G
△= {ϕu(ϑ0) : u ∈ U∂} есть область достижимости
(ОД) в момент ϑ0; см. [1].
Если Y в (1.2) меняется, то меняется и ОД. Ограничимся сейчас обсуждением ослаблений
условия (1.2), имея в виду замену Y каким-то множеством Y1, Y ⊂ Y1 ⊂ Rm, что приводит
к новой ОД G1. Зачастую бывает трудно указать конкретную степень ослабления (1.2), в то
время как тип ослабления понятен. В этой связи полагаем, что Y
«заменяется» непустым
семейством п/м Rm, пересечение всех множеств которого совпадает с Y. Рассматриваем (сейчас) две версии упомянутого семейства: Y1 и Y2; в обоих случаях полагаем, что множества
из упомянутых семейств — метрические ε -окрестности Y, ε > 0. Одна из метрик — нормируемая (сопоставляем вектору из Rm наибольший из модулей его компонент), а другая отвечает
ситуации, когда ослабление Y -ограничения (1.2) касается лишь части координат, и является

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (06-01-00414, 07-01-96088).

А. Г. Ченцов

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

некоторой композицией нормируемой и дискретной метрик. В результате ОД заменяется двумя
сравнимыми множествами притяжения (МП) AS1 и AS2. В первом случае имеем семейство
{G(ε), ε > 0} «больших» ОД (отвечающих ослаблению (1.2) по всем координатам), во втором
— семейство {Gε, ε > 0) «малых» ОД; AS1 совпадает с пересечением всех множеств G(ε),
где черта сверху обозначает замыкание, а AS2 — с пересечением всех множеств Gε, ε > 0.
Исследуются представления абстрактных аналогов AS1 и AS2, а также условия их совпадения; последнее свойство (представляющее практический интерес) имеет смысл асимптотической нечувствительности при ослаблении части ограничений. Для этих целей используется
специальный аппарат расширений исходной задачи. В связи с конструкциями расширений отметим [2, 3, 4, 5]; особо выделяем общий подход Н. Н. Красовского в [4] к исследованию задач
импульсного управления, связанный с применением обобщенных функций.
В дальнейшем рассматривается абстрактная постановка, включающая вышеупомянутую
содержательную задачу как частный случай.
§ 2. Общие понятия и обозначения

Перечислим некоторые соглашения, следуя в основном [6, 7, 8]. Выражение def заменяет фразу
«по определению». Для всякого объекта x через {x} обозначаем синглетон, содержащий x;

∅ — пустое множество. Если x и y — объекты, то {x; y}
△= {x} ∪ {y} — неупорядоченная
пара объектов x и y. Семейством называем множество, все элементы которого — множества.
Принимаем аксиому выбора. Через P(X) (через P ′(X) ) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м множества X; Fin(X) — семейство всех конечных множеств из P ′(X). Если A и
B — множества, а f : A −→ B, то:
1) для всякого множества C ∈ P(A) множество

f 1(C)
△= {f(x) : x ∈ C} ∈ P(B)

есть образ C при действии f, а (f|C) есть def отображение из C в B (сужение f на C ),

для которого (f|C)(x)
△= f(x) ∀x ∈ C;
2) ∀B ∈ P′(P(B))

f −1[B]
△= {f −1(V ) : V ∈ B} ∈ P′(P(A)).
(2.1)

Если A — непустое семейство, а B — множество, то

A|B
△= {A ∩ B : A ∈ A} ∈ P′(P(B)).

В дальнейшем R — вещественная прямая, N
△= {1; 2; . . .} и ∀k ∈ N

( 1, k
△= {i ∈ N|i ⩽ k}) & ( −−→
k, ∞
△= {i ∈ N|k ⩽ i}).

Если T — множество и s ∈ N, то через T s обозначаем множество всех кортежей (ti)i∈1,s :
1, s −→ T (в частности, Rs — s -мерное арифметическое пространство). Речь, стало быть,
идет о функциях, определенных на 1, s.
Для всяких топологического пространства (ТП) (X, t) и множества A ∈ P(X) : 1) cl(A, t)
есть def замыкание A в (X, t); 2) t|A — топология A, индуцированная из (X, t); 3) Nt[A] —
семейство всех окрестностей A в (X, t), понимаемых в смысле [9, гл. I]. Если (X, t) — ТП и

x ∈ X, то полагаем Nt(x)
△= Nt[{x}], получая фильтр [9, гл. I] окрестностей точки x. Если
(X, t) — ТП, то через Ft (через (t − comp)[X] ) обозначаем семейство всех п/м X, замкнутых
(компактных [10]) в (X, t). Если (X, τ1) и (Y, τ2) — ТП, то через C(X, τ1, Y, τ2) обозначаем
множество всех (τ1, τ2) -непрерывных отображений из X в Y,

Ccl(X, τ1, Y, τ2)
△= {g ∈ C(X, τ1, Y, τ2) | g1(F) ∈ Fτ2 ∀F ∈ Fτ1}

Расширения в классе конечно-аддитивных мер
143

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

(множество всех замкнутых отображений из X в Y ) и, наконец,

Cap(X, τ1, Y, τ2)
△= {g ∈ Ccl(X, τ1, Y, τ2) | g−1({y}) ∈ (τ1 − comp)[X] ∀y ∈ Y }

(множество всех почти совершенных [10, c. 287] отображений из X в Y ).
Если P и T — непустые множества и t — топология T, то через ⊗P (t) обозначаем
[7, c. 269] топологию множества всех отображений из P в T, соответствующую тихоновской
степени ТП (T, t) при использовании P в качестве индексного множества. Если при этом

P = 1, k, где k ∈ N, то ⊗k[t]
△= ⊗1,k(t); ТП (Tk, ⊗k[t]) — конечная степень ТП (T, t).
Если X — множество, то β[X] (или β0[X] ) — множество всех семейств B ∈ P′(P(X))
(всех семейств B ∈ P′(P′(X)) ) таких, что

∀B1 ∈ B ∀B2 ∈ B ∃B3 ∈ B : B3 ⊂ B1 ∩ B2;

F[X]
△= {F ∈ P′(P′(X)) | (A ∩ B ∈ F ∀A ∈ F ∀B ∈ F) &({G ∈ P(X) | F ⊂ G} ⊂ F ∀F ∈ F)}

есть множество всех фильтров [9, гл. I] X (элементы β0[X] — суть базы фильтров X и только
они), причем

(X − fi)[B]
△= {L ∈ P(X) | ∃B ∈ B : B ⊂ L} ∈ F[X] ∀B ∈ β0[X].

Обычным образом [9, гл. I] определяем сходимость фильтров: если (X, t) — ТП, F ∈ F[X]
и x ∈ X, то свойство F
t
=⇒ x эквивалентно вложению Nt(x) ⊂ F.
Направленность в множестве P определяем в дальнейшем как всякий триплет (D, ≼, l),
где (D, ≼) — непустое направленное множество (НМ), l : D −→ P. Каждой направленности
(D, ≼, l) в множестве P сопоставляем фильтр

(P − ass)[D; ≼; l]
△= {V ∈ P(P) | ∃d ∈ D ∀δ ∈ D((d ≼ δ) =⇒ (l(δ) ∈ V ))} ∈ F[P],

ассоциированный с (D, ≼, l). Если (X, t) — ТП, (D, ⊑, g) — направленность в X и x ∈ X, то

((D, ⊑, g)
t
−→ x)
def
⇐⇒ ((X − ass)[D; ⊑; g]
t
=⇒ x)
(2.2)

(в (2.2)) введена «обычная» сходимость по Мору-Смиту; см. [10, 11]). Используем ниже известное [10] представление непрерывности в терминах сходимости (2.2). Последовательность
есть частный случай направленности: оснащая N
обычной упорядоченностью ⩽, получаем непустое НМ (N, ⩽); если (xi)i∈N
— последовательность в множестве X, то триплет
(N, ⩽, (xi)i∈N ) — направленность в X и для всяких топологии t множества X и точки x ∈ X

((xi)i∈N
t
−→ x)
def
⇐⇒ ((N, ⩽, (xi)i∈N )
t
−→ x).

Получили обычную секвенциальную сходимость в ТП.
Множества притяжения. До конца настоящего параграфа фиксируем непустое множество E (в дальнейшем E будет конкретизировано). Если (X, t) — ТП, l : E −→ X и
E ∈ P′(P(E)), то через (as)[X; t; l; E] обозначаем множество всех x ∈ X таких, что для некоторой направленности (D, ≼, g) в множестве E

(E ⊂ (E − ass)[D; ≼; g]) & ((D, ≼, l ◦ g)
t
−→ x)

( ◦ — символ суперпозиции); называем (as)[X; t; l; E] множеством притяжения (МП). Если в
условиях, упомянутых выше, E ∈ β[E], то [12, c. 39,40]

(as)[X; t; l; E] =
P ∈E
cl(l1(P), t).
(2.3)