Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2004, №4

УДК 622.011.43 

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗМЕРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ 

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДЗЕМНЫХ ПОЛОСТЕЙ В 

ВЯЗКОУПРУГИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ 

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук 

Кубанский государственный аграрный университет 

 

Методом конечных элементов определяется поле напряжений в окрестности 

осесимметричных полостей, сооружаемых в вязкоупругой среде. Для оценки их допус
тимых размеров используется статистическая теория хрупкого разрушения и получен
ные компоненты напряжений в массиве с полостью. 

В основу исследования допустимых размеров подземных полостей 

положена статистическая теория хрупкого разрушения [1], согласно кото
рой процесс разрушения материала зависит от местного напряжения в точ
ке, где встречается наиболее опасный дефект структуры. Чем крупнее те
ло, тем больше вероятность обнаружить первичный элемент низкой проч
ности. Если n – среднее число дефектов в единице объема тела, F(σ) – 

функция распределения дефектов, равная вероятности выявить дефектный 

элемент, местный предел прочности которого меньше σ, и допускается, 

что разрушение произойдет в случае превышения напряжением σ мини
мального предела прочности в совокупности nV дефектов, то функция рас
пределения пределов прочности тела представима в виде [1]: 

[
]nV
n
n
v
)
F(
1
1
)
(
F
σ
−
−
=
σ
.  
 
 
(1) 

Пусть σ есть некоторое приведенное напряжение, полученное по ка
кой-нибудь теории прочности для однородного поля напряжений. Если 

число nV достаточно велико и функция FV (σ) удовлетворяет условиям: 

2

а) Fv (σ} = 0 при σ ≤
0
n
σ , F(σ)>0 при σ>
0
n
σ ; 

б) при достаточно малых величинах ε > 0 имеет место 

c
v
=
ε

ε
+
σ

α
→
ε
)
(
F
lim
0
, 

где с и α – некоторые положительные числа, 

то при больших значениях nV справедливо асимптотическое представле
ние FV (σ) [1]: 

[
]
α
σ
−
σ
−
−
=
=
σ
)
(
exp
1
)
(
F
0
n
v
cnV
P
, 
 
 
(2) 

где 
0
n
σ  – минимальное значение прочности дефектного элемента, в пре
дельном случае равное нулю. Если в (2) произвести замену cn =1/V0σc
α, где 

V0 , например, объем стандартного образца, σс – константа с размерностью 

напряжения, то 

−
−
=

б

c

0
n
у
у
у
exp
1
P
0
V
V
.  
(3) 

В случае неоднородного напряженного состояния область V разбива
ется на микрообъемы ∆Vк, в каждом из которых поле напряжений близко 

к однородному. Вероятность сохранения прочности тела в целом равна 

произведению вероятностей сохранения прочности каждого микрообъема 

∆Vk  , поэтому вероятность разрушения объема V вычисляется по формуле 

σ
σ
−
σ
∆
−
−
=

α
∑
c

n

K
k
V
V
P
0

0

1
exp
1
, 
 
(4) 

где суммирование ведется по тем объемам ∆Vk, в которых σ ≥ σn
0, т.е. 

по области возможного разрушения. 

Авторы работы [2] оценивают допустимые размеры выработок в 

горных породах, сравнивая вероятности разрушения проектируемой и не

3

которой успешно эксплуатируемой (эталонной) выработок, вычисляемые 

по формуле 

   

σ
σ
−
σ
−
−
=
∫

α

V
V
P
Vp
с

n
d
1
exp
1

0
_

0
, (5) 

где 
_
σ – приведенное напряжение, определяемое по критерию прочности, а 

интеграл берется по области вероятного разрушения Vp (
_
σ≥σn
0).  

Предполагается, что проектируемая полость будет устойчивой, если 

вероятность ее разрушения не превысит вероятности разрушения эталон
ной емкости, т.е.  
 
 

 
 
 
 
P ≤ P∋.  
                                                 (6) 

В зависимости от геометрии полости величина интеграла в (5) про
порциональна квадрату или кубу ее характерного размера. С учетом (5), 

(6), получается отношение характерных размеров проектируемой и эта
лонной полостей 

 

n

V
c

n

э
V
с

n

э
v

v

L
L

1

0

0

d

d

σ
σ
−
σ

σ
σ
−
σ

=
α

α

∫

∫

ρ

ρ
(n=2,3), 
(7)

 

где индексом э отмечены величины, соответствующие эталонной полости.  

Зная параметры, входящие в (7), и размеры эталона, можно найти ве
личину характерного размера проектируемой емкости. Авторы статьи [2] 

отмечают, что по косвенным признакам сложно оценить условия успеш
ной эксплуатации, поэтому в качестве эталона проще выбирать устойчи

4

вые не эксплуатируемые выработки и желательно сопоставлять геометри
чески подобные хранилища, что накладывает ограничения на выбор этало
на. 

В работе [2] исследовались протяженные горизонтальные выработки, 

имеющие в поперечном сечении эллипс или квадрат. На основе линейной 

огибающей Мора и полей напряжений, полученных методами плоской за
дачи теории упругости, строятся зоны вероятного разрушения в окрестно
сти выработок и для различных значений параметров σс, δ, σn
0, α табули
руются интегральные функции в (5). 

Методика определения допустимых размеров, предложенная в [2], 

применялась в исследовании прочных размеров осесимметричных полос
тей, сооружаемых в вязкоупругих массивах соляных пород. Эксперимен
тальные исследования прочностных свойств соляных пород свидетельст
вуют о применимости критерия Мора к анализу прочности стенок подзем
ных сооружений, возводимых в соляных отложениях. Поэтому в расчетах 

использовались:  

линейный критерий Мора 

[
]
δ
σ
+
σ
−
σ
−
σ
δ
−
=
σ
sin
)
(
sin
1

1
3
1
3
1

_
 ,                             (8) 

 

где σ1,σ2 – главные напряжении (σ1> σ3), δ – угол внутреннего трения по
роды, 

  
и нелинейная огибающая Мора  

1
1

'
1
'
1

2
1
'
1
3
1
'
1

'
1
3
1
,
1
)
)(
(
,
1
−
σ
σ
σ
=
σ
+
σ
σ
σ
−
σ
=
τ
+
σ
σ
σ
+
σ
=
σ
a
p

a
c
nt
n
a
b
,  
          (9) 

5

где 
р
c σ
σ ,
 – напряжения разрушения при одноосных сжатии и растяжении, 

a,b – параметры, принимающие для одного из видов каменной соли число
вые значения a =2, b =1, 
1
σ ,
2
σ ,
3
σ  – главные напряжения. 

Предполагалось, что проектируемое хранилище будет возведено в 

соляной толще с такими же прочностными характеристиками, как и соль, в 

которой сооружена эталонная полость.  

В расчетах зон разрушения использовались компоненты исходного 

поля линейно-упругих напряжений вблизи полостей исследуемых форм, 

определяемые методом конечных элементов. Релаксация напряжений, вы
зываемая вязкоупругостью каменной соли,  не учитывалась, поскольку 

снижала их начальную максимальную концентрацию. Для аппроксимации 

массива с полостью применялись неравномерные сетки кольцевых конеч
ных элементов треугольного поперечного сечения. После замены интегри
рования суммированием по конечным элементам, соотношение (9) было 

преобразовано к виду: 

3
1

0

0

)
(

)
(

σ
−
σ

σ
−
σ
∆
=
∑

∑

α

α

K
n
k

K
э
n
k

V

V

L э
L
   .          (11) 

В проведенных расчетах σn
0 изменялось в сегменте [0, σс] с шагом 

0,25 σс (σс – средний предел прочности образцов каменной соли на одноос
ное сжатие), а α выбиралось из интервала (0,5) с шагом 1. Параметры δ и χ 

варьировались соответственно в промежутках (0,25°) с шагом 5° и в (0,1– 

0,5) с шагом 0,1.  

Расчетные напряжения, зоны вероятного разрушения и соотношение 

(11) позволили оценить допустимые размеры полостей различной гемет
рии. Эталонной считалась  шаровая полость радиуса R и предполагалось, 

что исследуемые полости будут сооружены на той же глубине и при тех же 

прочностных параметрах соляных пород, что и эталонная. Определялась 

6

величина отношения a/R, в котором  а – радиус осесимметричной  проек
тируемой полости. 

В таблицах 1,2 представлены расчетные значения отношения a/R, 

полученные на основе вышеназванных критериев прочности для различ
ных осесимметричных полостей. Из этих данных следует, что увеличение 

параметров α и σn
0 вызывает уменьшение объема полостей, равнопрочных 

шаровой, причем с возрастанием отношения характерных размеров в/а (в – 

половина высоты полости) увеличивается и объем хранилища, т.е. при 

прочих равных условиях емкости с отношением в/а = 0,4 более объемны в 

сравнении с подобными им, но более вытянутыми (в/а = 0,2). Среди рас
четных равнопрочных конфигураций наибольшими объемами обладают 

шаровая и цилиндрическая с шаровыми торцами (в/а = 0,4) полости.

7

Таблица 1. Отношения а/R размеров полостей, соответствующие 
линейному критерию Мора (8) 

Величина  a/R при δ,  равном 

α 
50 
100 
150 
200 
250 

1 
2 
3 
4 
5 
6 

Эллипсоидальная полость, в/а=02 

σ 0
п = σ c 
 
 

1 
 
 
1,64
1 ,73
1,36
1, 95
1,67 

2 
 
1,25 
1 ,17 
0,88 
0, 59
0,48 

3 
 
0,94 
0 ,80 
0,58 
0, 40
0,54 

4
0,70
0 ,55
0,59
0, 28
0,25

5 
 
0,52 
0 ,39 
0,26 
0, 20
0,18 

σ0
п = 0,75 σ c 

1 
 
 
1,62 
1 ,68 
1,95 

 
 
2,11
1,72 

2 
 
1,47 
1 ,54 
1,66 
1, 58
1,29 

3
1,31
1 ,35
1,55
1, 21
0,91

4 
 
1,15 
1 ,14 
1,09 
0, 95
0,78 

5
0,99
0 ,95
0,87
0, 75
0,62

σ 0
п = 0,50  σ c 

1 
 
2,12 
1 ,93 
1,63 
1, 85
2,21 

2
1,86
1 ,70
1,59
1, 75
1,88

3 
 
1,64 
1 ,53 
1,50 
1, 57
1,56 

4
1,46
1 ,38
1,36
1, 58
1,50

5 
 
1,29 
1 ,23 
1,22 
1, 19
1,09 

σ 0
п = 0,25 σ c 

1 
 
2,15 
2 ,15 
2,18 
1, 85
1,84 

2 
 
1,99 
1 ,98 
1,95 
1, 74
1,80 

3 
 
1,85 
1 ,81 
1,75 
1, 64
1,69 

4
1,70
1 ,65
1,57
1, 52
1,55

5 
        1,55 
1 ,50 
1,45 
1, 40
1,39 

σ 0
п = 0,00 σ c 

1 
 
2,25 
2 ,21 
2,16 
2, 22
2,00 

2
2,14
2 ,09
2,05
2, 05
1,87

8

1 
2 
3 
4 
5 
6 

2,02             1,95             1,91    
1,89             1,82             1,77   
       1,76             1,69             1,64 
 
Эллипсоидальная полость, в/а = 0,4 

1,86 
1,71 
1,58 
 
 

σ 0
п = σ c 

3 
4 
5 
 
 
 
 
1

 
1,49 
1,45 
1,16 
 
0,85 

1,77  
1,66 
1,54  
 
 
 
 

1,74

2 
1,22 
1,10 
0,85 
0,64 
0,61 

3 
0,99 
0,84 
0,64 
0,50 
0,49 

4 
0,80 
0,65 
0,49 
0,40 
0,40 

5 
0,65 
0,52 
0,59 
0,55 
0,55 

σ 0
п = 0,75 σ c 

1 
1,50 
1,45 
1,65 
1,58 
1,33 

2
1,27
1,57
1,44
1,55
1,15

3 
1,21 
1,26 
1,26 
1,12 
1,00 

4 
1,12 
1,14 
1,09 
0,97 
0,88 

5
1,05
1,01
0,95
0,84
0,78

σ 0
п = 0,50 σ c 

1 
1,61 
1,46 
1,28 
1,50 
1,68 

2 
1,48 
1,56 
1,52 
1,47 
1,51 

3 
1,37 
1,50 
1,31 
1,58 
1,36 

4
1,28
1,24
1,25
1,28
1,22

5 
1,20 
Т,17 
1,18 
1,17 
1,11 

σ 0
п = 0,25 σ c 

1 
1,56 
1,64 
1,66 
1,58 
1,42 

2 
1,51 
1,58 
1,51 
1,37 
1,45 

3
1,45
1,49
1,41
1,56
1,42

4
1,40
1,40
1,54
1,52
1,56

5
1,55
1,51
1,27
1,27
2,28

σ 0
п = 0 

1 
1,61 
1,65 
1,58 
1,76 
1,47 

2
1,57
1,57
1,58
1,59
1,44

3 
1,55 
1,52 
1,55 
1,48 
1,42 

4 
1,48 
1,46 
1,47 
1,41 
1,38 

9

1 
2 
3 
4 
5 
6 

5 
1,42 
1,41 
1,40 
1,35 
1,34 

σ п = σ c 

1 
2,35 
2,27 
1,92 
1,74 
1,67 

2 
1,85 
1,71 
1,48 
1,50 
1,51 

3 
1,41 
1,28 
1,10 
0,97 
1,01 

4 
1,09 
0,96 
0,81 
0,75 
0,76 

5 
0,84 
0,72 
0,60 
0,54 
0,57 

σ 0
п = 0,75 σ c 

1 
2,07 
2,59 
2,52 
2,55 
2,58 

2 
2,00 
2,25 
2,29 
2,25 
2,50 

3 
1,86 
2,00 
2,02 
1,99 
2,04 

4
1,69
1,76
1,76
1,74
1,78

5
1,49
1,52
1,52
1,50
1,55

σ 0
п = 0,50 σ c 

1 
2,59 
2,40 
2,20 
2,48 
2,61 

2 
2,56 
2,25 
2,22 
2,40 
2,50 

3
2,16
2,10
2,16
2,28
2,56

4 
1,99 
1,97 
2,05 
2,14 
2,21 

5 
1,82 
1,85 
1,91 
1,98 
2,06 

σ 0
п = 0,25σ c 

1 
2,54 
2,60 
2,59 
2,44 
2,51 

2 
2,54 
2,51 
2,44 
2,59 
2,49 

3 
2,29
2,57
2,52
2,55
2,45

4 
2,19 
2,22 
2,20 
2,25 
2,56 

5 
2,07 
2,09 
2,09 
2,16 
2,27 

σ 0
п  = 0 

1 
2,55 
2,49 
2,50 
2,68 
2,67 

2 
2,56 
2,42 
2,52 
2,56 
2,57 

3
2,55
2,57
2,46
2,46
2,50

4 
2,28 
2,50 
2,57 
2,58 
2,45 

5 
2,20 
2,22 
2,27 
2,29 
2,36 

2 
3 
4 
5 
6 

Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, в/а = 0,4 

σ 0
п  = σ 0
c 

1 
1,29 
1,22 
1,00 
0,77 
0,59 

2 
1,07 
0,96 
0,77 
0,57 
0,49 

3 
0,88 
0,76 
0,59 
0,44 
0,40 

4 
0,75 
0,60 
0,46 
0,55 
0,55 

5 
0,60 
0,48 
0,56 
0,28 
0,27 

σ 0
п = 0,75 σ c 

1 
1,18 
1,29 
1,47 
 
 

2 
1,14 
1,21 
1,29 
 
 

3 
1,08 
1,12 
1,12 
1,01 
1,88 

4 
1,01 
1,02 
0,98 
0,87 
0,76 

5 
0,93 
0,91 
0,85 
0,75 
0,66 

σ 0
п = 0,50 σ 0
 c 

1 
1,46 
1,55 
1,12 
1,29 
1,52 

2 
1,55 
1,25 
1,16 
1,50 
1,56 

3 
1,25 
1,16 
1,15 
1,25 
1,21 

4 
1,26 
1,11 
1,11 
1,14 
1,08 

5 
1,08 
1,05 
1,05 
1,04 
0,97 

σ 0
п =0,25σ 0
c 

1 
1,45 
1,45 
1,51 
1,25 
1,25 

2 
1,37 
1,40 
1,36 
1,22 
1,27 

3 
1,32 
1,55 
1,37 
1,20 
1,25 

4 
1,27 
1,25 
1,20 
1,17 
1,20 

5 
1,21 
1,18 
1,14 
1,55 
1,14 

σ 0
п =0 

1 
1,52 
1,52 
1,59 
1,58 
1,52 

2 
1,47 
1,44 
1,59 
1,42 
1,28 

5 
1,41 
1,57 
1,56 
1,55 
1,25 

4 
1,56 
1,52 
1,50 
1,26 
1,22 

5 
1,50 
1,27 
1,25 
1,20 
1,18