Квадратичные формы и матрицы

Ефимов Н.В.

Квадратичны е ф ормы

и матрицы

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512.83+512.897; 513.5(075.8)
ББК 517.1
Е 91

Е ф и м о в
Н. В.
Квадратичные
формы
и
матрицы.
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. — 168 с. — ISBN 978-5-9221-1049-5.

Книга является дополнением книги автора «Краткий курс аналитической геометрии». Она начинается с приведения к каноническому
виду общего уравнения линий 2-го порядка, затем рассматривается
приведение к каноническому виду общего уравнения поверхностей
2-го порядка и заканчивается изучением линейных преобразований и
матриц. На каждом шаге теории все объясняется и вычисляется таким
образом, что студенту очень просто понять важность и функции
каждого этапа.
Для преподавателей, аспирантов и студентов, изучающих углубленный курс высшей алгебры и геометрии.

ISBN 978-5-9221-1049-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2012

c⃝ Н. В. Ефимов, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Г л а в а 1. Общая теория линий второго порядка . . . . . . .
7
§ 1. Преобразование координат на плоскости . .. . . . . . . . . .
7
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения линии второго порядка с центром в начале координат . .. . . . . . . .
11
§ 3. Инварианты и классификация квадратичных форм от
двух аргументов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 4. Приведение к каноническому виду общего уравнения линии второго порядка. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
22
§ 5. Уравнения центра. Признак вырождения линии второго
порядка. Примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

Г л а в а 2. Общая теория поверхностей второго порядка. .
36
§ 6. Преобразование декартовых прямоугольных координат
в пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 7. Некоторые общие выводы, основанные на формулах преобразования координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 8. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат . .. . .
41
§ 9. Инварианты и классификация квадратичных форм от
трех аргументов. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
§ 10. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
§ 11. Уравнения центра. Признак вырождения поверхности второго порядка. Примеры. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

Г л а в а 3. Линейные преобразования и матрицы. . . . . . .
79
§ 12. Линейные преобразования на плоскости . .. . . . . . . . . .
79
§ 13. Произведение линейных преобразований на плоскости
и произведение квадратных матриц второго порядка. Сложение матриц. Умножение матрицы на число . .. . . . . . .
89

Оглавление

§ 14. Теорема об определителе произведения двух матриц . .. .
95
§ 15. Геометрический смысл определителя линейного преобразования. Вырожденные преобразования . .. . . . . . . . . . .
96
§ 16. Обращение линейного преобразования на плоскости . .. .
99
§ 17. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
§ 18. Изменение матрицы линейного преобразования на плоскости при переходе к новому базису . .. . . . . . . . . . . . .
106
§ 19. Матричная запись системы двух линейных уравнений . .
109
§ 20. Линейное преобразование в пространстве и квадратные
матрицы третьего порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
§ 21. Собственные векторы линейного преобразования. .. . . . .
127
§ 22. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
§ 23. Симметрические линейные преобразования. Приведение
к диагональному виду матрицы симметрического преобразования на плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
§ 24. Приведение к диагональному виду матрицы симметрического линейного преобразования в пространстве . .. . . . .
143
§ 25. Приведение к каноническому виду квадратичной формы.
Приложения в теории линий и поверхностей второго порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153

Предисловие

Эта книга является дополнением нашего «Краткого курса
аналитической геометрии».
Книга состоит из трех глав. Первая глава посвящена приведению к каноническому виду общего уравнения линии второго порядка. Изложение этой главы построено преимущественно в алгебраическом плане. Векторное исчисление в этой
главе не употребляется (используется только понятие вектора как направленного отрезка и проекции вектора на оси
координат). Решение основной задачи общей теории линий
второго порядка изложено с расчетом, чтобы метод непосредственно обобщался по размерности. Таким образом, сущность
дела в полной мере разъясняется на двумерном случае. Соответственно этому вторая глава, посвященная приведению
к каноническому виду общего уравнения поверхности второго
порядка, по своей схеме совершенно аналогична первой.
Третья глава имеет своим предметом линейные преобра-
зования и матрицы. И здесь основные вопросы прежде всего
излагаются в двумерном случае с последующим обобщением
на трехмерное пространство. В конце главы рассматривается приведение к каноническому виду квадратичных форм и
устанавливается связь этого вопроса с теорией линий и поверхностей второго порядка. Третья глава написана соответственно требованиям по элементам линейной алгебры новой
программы курса математики высших технических учебных
заведений. Изложение последней главы не зависит от двух
первых глав.

1975 г.
Н. Ефимов

Г л а в а 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО

ПОРЯДКА

§ 1. Преобразование координат на плоскости

1. Вспомним формулы преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости.
1) Если новые оси получаются параллельным переносом
старых осей на величину a в направлении оси Ox и на величину b в направлении оси Oy, то

x = x′ + a,
y = y′ + b;
(1)

здесь
(x; y)
—
старые
координаты
произвольной
точки,
(x′; y′) — новые координаты той же точки.
2) Если новые оси получаются поворотом старых осей на
угол α вокруг неподвижного начала координат, то

x = x′ cos α − y′ sin α,
y = x′ sin α + y′ cos α.
(2)

Эти формулы будут применяться в ближайших параграфах
для упрощения общего уравнения кривой второго порядка.
Следует иметь в виду, что формулы (1) и (2) справедливы
при условии, что для новой системы координат сохраняется
прежний масштаб.

2. Чтобы облегчить дальнейшее употребление формул (2),
запишем их более компактно:
x = l1x′ + l2 y′,
y = m1x′ + m2 y′.
(3)

Иначе говоря, мы ввели обозначения коэффициентов формул (2):

l1 = cos α,
m1 = sin α,
l2 = − sin α,
m2 = cos α.

Гл. 1. Общая теория линий второго порядка

Заметим, что пара коэффициентов l1, m1 допускает простое геометрическое истолкование. Именно, если мы отложим
на новой оси Ox′ отрезок длины = 1, направленный из начала
координат в положительную сторону этой оси, т. е. единичный
вектор направления Ox′, то проекции этого вектора на старые
координатные оси будут: l1 = cos α, m1 = sin α. Таким образом,
{l1; m1} = {cosα; sin α}
(4)

есть единичный вектор, определяющий направление новой оси
абсцисс. Аналогично

{l2; m2} = {− sin α; cos α} =
cos
α + π

2

; sin
α + π

2

(5)
есть единичный вектор, определяющий направление новой оси
ординат (рис.1).

Рис. 1

3. Формулы (2) выражают с т а р ы е координаты произвольной точки через ее н о в ы е координаты. Часто требуются
обратные формулы, выражающие н о в ы е координаты через
с т а р ы е. Чтобы найти их, заметим, что новая система осей
получается поворотом старой на угол α; в свою очередь старые
оси можно получить поворотом новых на угол −α. Поэтому
мы можем в формулах (2) поменять ролями старые и новые
координаты, одновременно заменяя α на −α, отсюда

x′ =
x cos α + y sin α,
y′ = −x sin α + y cos α,

§ 1. Преобразование координат на плоскости
9

так как cos(−α) = cos α, sin(−α) = − sin α. Если применить
введенные выше обозначения, то получим

x′ = l1x + m1y,
y′ = l2x + m2y.
(6)

4. Коэффициенты l1, m1, l2, m2 формул (3) удовлетворяют
следующим условиям:

l2
1 + m2
1 = 1,
l2
2 + m2
2 = 1,
(7)

l1l2 + m1m2 = 0,
(8)
l1
m1
l2
m2

= 1.
(9)

Эти равенства непосредственно усматриваются из (4) и (5).
Соотношения (7)–(9) являются не только необходимыми, но
и достаточными условиями того, что формулы (3) выражают преобразования прямоугольных координат при некотором
повороте системы осей (с неизменным масштабом). В самом
деле, допустим, что нам дана система прямоугольных координат с осями Ox, Oy и даны формулы (3) с какими-то
коэффициентами l1, m1, l2, m2. Если соблюдены условия (7),
то найдутся угол α и угол β такие, что

{l1; m1} = {cos α; sin α},
{l2; m2} = {cosβ; sin β}.

Если соблюдено также равенство (8), то

cos α cos β + sin α sin β = cos(β − α) = 0.

Таким образом, равенство (8) гарантирует перпендикулярность векторов {l1; m1} и {l2; m2}. Так как cos(β − α) = 0, то
либо β = α + π

2 , либо β = α + 3π

2 . Соответственно, имеем:

либо {l2; m2} = {− sinα;
cos α},
либо {l2; m2} = {
sin α; − cosα}.

Если соблюдено (9), то второе предположение отпадает и мы
получаем {l2; m2} = {− sin α; cos α}. Вместе с тем формулы (3) сводятся к формулам (2). Значит, при соблюдении
условий (7)–(9) мы действительно имеем переход к новой,
также прямоугольной системе координат с тем же масштабом;
при этом обе оси поворачиваются на один и тот же угол в одну
и ту же сторону.

Гл. 1. Общая теория линий второго порядка

5. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных координат, при котором ось Ox′ получается поворотом оси Ox на
угол α, а ось Oy′ получается поворотом оси Oy на угол α + π
(рис. 2). Такое преобразование н а р у ш а е т о р и е н т а ц и ю

Рис. 2

о с е й: если кратчайший поворот
оси Ox к оси Oy совершается против часовой стрелки, то кратчайший поворот оси Ox′ к оси Oy′
идет по ходу часов. В этом случае
старые и новые координаты связаны формулами:

x = x′ cos α + y′ sin α,
y = x′ sin α − y′ cos α.
(10)

Чтобы убедиться в справедливости этих формул, будем рассуждать
так: данное преобразование можно осуществить в два этапа,
поворачивая сначала обе оси на угол α, затем меняя направление повернутой оси ординат на противоположное. Значит,
нужно написать формулы (2), затем изменить знаки перед
членами, которые содержат y′. Таким образом мы и получим
(10). Формулы (10) можно написать в виде формул (3), если
считать
{l1; m1} = {cosα;
sin α},
{l2; m2} = {sin α; − cos α}.

Легко проверить, что и в этом случае соблюдаются условия
(7), (8). Однако вместо (9) будем иметь
l1
m1
l2
m2

= −1.
(11)

Соотношения (7), (8), (11) являются не только необходимыми,
но и достаточными условиями того, что формулы (3) выражают преобразование прямоугольных координат, нарушающее
ориентацию осей (для доказательства нужно повторить рассуждения, проведенные в п. 4, до того места, где устанавливается, что либо β = α + π

2 , либо β = α + 3π

2 ; при условии (11)
отпадает первая возможность).
Мы можем теперь сформулировать следующее утверждение: если коэффициенты формул (3) удовлетворяют условиям (7), (8), то эти формулы выражают преобразование
прямоугольных координат с неизменным масштабом (и, ко

§ 2. Приведение к каноническому виду
11

нечно, с неизменным началом координат). Ориентация осей
сохраняется или нарушается, в зависимости от того, будет ли
соблюдено условие (9) или условие (11).

§ 2. Приведение к каноническому виду
уравнения линии второго порядка с центром
в начале координат

6. Пусть дано уравнение

Ax2 + 2Bxy + Cy2 = H.
(1)

Особенностью его является отсутствие членов первой степени
относительно x, y. Этому соответствует известная особенность расположения линии второго порядка, которая задана
уравнением (1). Именно, левая часть (1) не меняется при
замене x, y на −x, −y; следовательно, если точка M(x; y)
лежит на линии (1), то точка N(−x; −y) также лежит на этой
линии. Иначе говоря, точки линии (1) расположены парами,
симметрично относительно начала координат. Таким образом,
если линия второго порядка задана уравнением вида (1),
то а) она о б л а д а е т ц е н т р о м (симметрии); б) н а ч а л о
к о о р д и н а т п о м е щ е н о в ц е н т р.

7. Левая часть уравнения (1)

Ax2 + 2Bxy + Cy2
(2)

представляет собой о д н о р о д н ы й многочлен второй степени
(т. е. многочлен, состоящий только из членов второй степени).
Такой многочлен называют квадратичной формой от двух
переменных x, y.
Мы будем сейчас заниматься задачей о приведении квадратичной формы (2) к каноническому виду. Сущность этой
задачи в следующем: требуется повернуть координатные оси
так, чтобы после приведения формы (2) к новым координатам
исчез член с произведением новых текущих координат. Согласно § 1 дело сводится к тому, чтобы найти формулы

x = l1x′ + l2 y′,
y = m1x′ + m2 y′,
(3)

в силу которых имеет место тождество:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 = λ1x′2 + λ2y′2.
(4)

Гл. 1. Общая теория линий второго порядка

Это значит, что после замены величин x, y по формулам (3)
данная квадратичная форма должна принять вид, указанный
в правой части (4) и называемый каноническим видом (в каноническом виде формы ее средний коэффициент равен нулю).
Коэффициенты формул (3) надлежит подобрать так, чтобы
соблюдались условия (7)–(9) § 1.
Если квадратичная форма (2) будет приведена к каноническому виду, то одновременно с нею получит канонический
вид и уравнение (1). Вопрос о приведении к каноническому
виду общего уравнения второй степени будет решен вообще
в § 4. Здесь мы решим его для уравнения вида (1). Мы
докажем, что каждую квадратичную форму (2), а вместе с тем
каждое уравнение (1), можно привести к каноническому виду,
и дадим простой способ искомого приведения.

8. Предположим сначала, что коэффициенты формул (3)
уже найдены и тождество (4) достигнуто. Перепишем его
следующим образом:

(Ax + By) x + (Bx + Cy) y = λ1x′x′ + λ2y′y′.
(5)

Теперь каждую из скобок в левой части преобразуем по формулам (3):

Ax + By = (Al1 + Bm1) x′ + (Al2 + Bm2) y′,
Bx + Cy = (Bl1 + Cm1) x′ + (Bl2 + Cm2) y′.
(6)

Используем, далее, обратные формулы преобразования координат:
x′ = l1x + m1y,
y′ = l2x + m2y;
отсюда
x′x′ = (l1x + m1y) x′,
y′y′ = (l2x + m2y) y′.
(7)

Тождество (5) вследствие (6) и (7) принимает вид:

(Al1 + Bm1) xx′ + (Bl1 + Cm1) yx′ +

+ (Al2 + Bm2) xy′ + (Bl2 + Cm2) yy′ =

= λ1l1xx′ + l1m1yx′ + λ2l2xy′ + λ2m2yy′.
(8)

В левой части (8) содержатся четыре различных члена;
столько же аналогичных членов мы имеем в правой части (8).
Тождество (8) будет соблюдено, если коэффициенты подобных