Геометрия

А.П. Киселёв





                ГЕОМЕТРИЯ




ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ



УЧЕБНИК



Под редакцией и с дополнениями проф. Н.А. Глаголева











МОСКВА ФИЗМАТЛИТ®
201 3

УДК 501
ББК 22.151
     К44


    Киселёв А.П. Геометрия / Под ред. Н.А. Глаголева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. — 328 с. — ISBN 978-5-9221-0367-1.
    А.П. Киселев (1852-1940) — выдающийся педагог-математик. Его «Элементарная геометрия» впервые вышла в 1892 г.
    В наше время книги Киселёва стали библиографической редкостью и неизвестны молодым учителям. А между тем дальнейшее совершенствование преподавания математики невозможно без личного знакомства каждого учителя с учебниками, которые некогда считались эталонными. Именно по этой причине и предпринимается переиздание «Геометрии» Киселева.

ISBN 978-5-9221-0367-1

(О ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2009, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЕОМЕТРИЯ - ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЁВУ..................8
ПРЕДИСЛОВИЕ..........................................12
ВВЕДЕНИЕ.............................................13
   Плоскость.........................................13
   Прямая линия......................................14
   Понятие об окружности.............................16

Часть I

ПЛАНИМЕТРИЯ


Глава I. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

1. УГЛЫ............................................. 19
   Предварительные понятия...........................19
   Измерение углов...................................22
   Смежные и вертикальные углы.......................24
   Упражнения........................................28
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ....................... 28
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ..................................... 31
   Понятие о многоугольнике и треугольнике...........31
   Симметрия геометрических фигур относительно оси...33
   Некоторые свойства равнобедренного треугольника...35
   Признаки равенства треугольников..................36
   Внешний угол треугольника и его свойство..........39
   Соотношения между сторонами и углами треугольника.40
   Сравнительная длина прямолинейного отрезка и ломаной линии.... 41

ОГЛАВЛЕНИЕ

   Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных...44
   Признаки равенства прямоугольных треугольников...45
   Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку прямой через его середину, и свойство биссектрисы угла. 46
4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ................... 48
   Упражнения.......................................52
5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ............................. 55
   Основные теоремы.................................55
   Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами................. 59
   Сумма углов треугольника и многоугольника........61
   Центральная симметрия............................63
6. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ И ТРАПЕЦИИ...................... 65
   Параллелограммы..................................65
   Некоторые частные виды параллелограммов: прямоугольник, ромб, квадрат.................... 68
   Некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма.... 69
   Трапеции.........................................71
   Задачи на построение.............................72
   Упражнения.......................................73

Глава II. ОКРУЖНОСТЬ

1. ФОРМА И ПОЛОЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ.................... 78
2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДУГАМИ, ХОРДАМИ
  И РАССТОЯНИЯМИ ХОРД ОТ ЦЕНТРА.................... 81
3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ .. 82
4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ......... 85
5. ВПИСАННЫЕ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ УГЛЫ.
  ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ........................... 88
   Задачи на построение.............................94
   Упражнения.......................................96
6. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ........... 100
7. ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
  В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.................................. 103
   Упражнения......................................105

Глава III. ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ

1. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВЕЛИЧИН................... 108
2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.......................... 117
   Три признака подобия треугольников..............120
   Признаки подобия прямоугольных треугольников....123
3. ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ........................ 126
4. ПОДОБИЕ ФИГУР ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА............... 132

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

   Задачи на построение.........................136
5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ ................... 139
   Свойство биссектрисы угла треугольника.......141
6. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
  МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ФИГУР..................... 143
7. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ В КРУГЕ.............. 150
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА...... 152
9. ПОНЯТИЕ О ПРИЛОЖЕНИИ АЛГЕБРЫ К ГЕОМЕТРИИ..... 158
   Упражнения...................................162

Глава IV. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ

1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ................... 167
   Упражнения...................................176
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЧАСТЕЙ...... 177
   Предел числовой последовательности...........178
   Длина окружности.............................182
   Упражнения...................................190

Глава V. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

1. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ..................... 191
   Теорема Пифагора и основанные на ней задачи..202
   Отношение площадей подобных фигур............204
2. ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ.................. 207
   Упражнения...................................211

Часть II. СТЕРЕОМЕТРИЯ

  Предварительные замечания.................... 215


Глава I. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ............. 215
2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ............. 217
  Параллельные прямые.......................... 217
  Прямая и плоскость, параллельные между собой. 218
  Параллельные плоскости....................... 219

ОГЛАВЛЕНИЕ

  Задачи на построение........................... 221
3 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ К ПЛОСКОСТИ............ 222
4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ
  И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ . . 225
  Задачи на построение........................... 227
5. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ, УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ.
  МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ ............................. 229
  Двугранные углы................................ 229
  Перпендикулярные плоскости..................... 232
  Угол двух скрещивающихся прямых................ 233
  Угол, образуемый прямой с плоскостью........... 233
  Многогранные углы.............................. 234
  Простейшие случаи равенства трехгранных углов.. 237
  Упражнения .................................... 238




Глава II. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ, ОТРЕЗКА И ФИГУРЫ

     ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ.................... 240


Глава III. МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА................... 251
  Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. 254
  Свойства параллельных сечений в пирамиде .... 255
  Боковая поверхность призмы и пирамиды........ 257
  Упражнения .................................. 259
2. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ..................... 259
  Объем параллелепипеда........................ 260
  Объем призмы................................. 265
  Объем пирамиды .............................. 267
3. ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ...................... 274
4. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ......... 276
5. ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР . . 279
  Упражнения .................................. 285


Глава IV. КРУГЛЫЕ ТЕЛА

1. ЦИЛИНДР И КОНУС ............................ 287
  Поверхность цилиндра и конуса................ 289

ОГЛАВЛЕНИЕ                  7

  Объем цилиндра и конуса ......................... 294
  Подобные цилиндры и конусы....................... 295
2. ШАР ............................................ 296
  Сечение шара плоскостью ......................... 296
  Плоскость, касательная к шару ................... 298
  Поверхность шара и его частей.................... 299
  Объем шара и его частей.......................... 303
  Упражнения ...................................... 310

ДОПОЛНЕНИЕ

  ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ ........................... 312
  Таблица тригонометрических функций .............. 324

ГЕОМЕТРИЯ — ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЕВУ

   В декабре 2002 г. научная и педагогическая общественность России отметила 150-летие со дня рождения Андрея Петровича Киселева (1852-1940). В центре Орла был установлен бюст выдающегося педагога-математика (он родился в городе Мценске Орловской губернии); в Орловском университете открылся музей отечественного школьного учебника и прошла мемориальная научно-педагогическая конференция. Конференция, посвященная юбилею просветителя, состоялась и в Воронежском университете (в Воронеже А. П. Киселев долгие годы работал).
   Среди деятелей отечественного образования А. П. Киселев занимает совершенно особое, можно сказать, уникальное место. Он явился автором исключительно удачных учебников сразу по трем компонентам школьной математики — по арифметике, алгебре и геометрии (ни до, ни после него никто не создавал такой палитры учебников!). Все эти его учебники прожили долгую жизнь с огромной пользой для многих поколений юношества. Но рекордсменом-долгожителем оказался учебник по геометрии.
   Истории российских школьных учебников по математике в текущем году исполняется три века, если считать с появившейся в 1703 г. «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Первый учебник специально по геометрии — «Генеральная геометрия» Н. Г. Курганова — увидел свет в 1765 г. В последующие времена создавались все новые и новые учебники по геометрии (как не упомянуть здесь и «Руководство начальной геометрии» нашего выдающегося математика М.В. Остроградского), причем одни из них быстро исчезали из школы, а другие (скажем, учебник А. Ю. Давыдова) просуществовали целые десятилетия.
   А. П. Киселев впервые выпустил «Элементарную геометрию» (ч. I, «Планиметрия»; ч. II, «Стереометрия») в 1892г. Уже в начале XX века этот учебник завоевал широкую популярность и профессиональное признание учителей России. Он регулярно переиздавался и начал постепенно вытеснять конкурирующие учебники геометрии других

ГЕОМЕТРИЯ - ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЕВУ

9

авторов (например, в 1916 г. вышло его 25-е издание под названием «Элементарная геометрия. Для средних учебных заведений. С приложением большого количества упражнений и статьи: Главнейшие методы решения геометрических задач на построение»). Такой успех был предопределен тем, что А. П. Киселев обладал исключительным педагогическим даром, глубоко и свободно владел предметом, внимательно изучал новинки методики преподавания, постоянно интересовался новостями науки, имел богатейший многолетний практический опыт работы с учащимися, от издания к изданию неустанно совершенствовал свою книгу, учитывая замечания практикующих учителей.
   После 1917 г. наша средняя школа (как и вся отечественная система образования) претерпела многочисленные реформы и эксперименты, но учебники А. П. Киселева продолжали жить и использоваться. В 1938 г. «Геометрия» А. П. Киселева после переработки, выполненной известным математиком и педагогом Н.А.Глаголевым, получила официальное утверждение как стабильный и единственный учебник по геометрии (в двух частях — соответственно для 6-8 и 9-10 классов) советской средней школы (дополнявшийся в учебной работе «Сборником задач по геометрии» Н. А. Рыбкина).
   Этот учебник просуществовал без всяких изменений в качестве общепринятого до 1956 г., когда школьная программа по математике претерпела изменения. Появились другие учебники, но они не отличались ни особой новизной, ни большей удачностью изложения и в школе не прижились. Многие учителя предпочитали, как и раньше, учить по «Планиметрии» А. П. Киселева, а его «Стереометрия» продержалась до 1974 г. Довольно трудно точно сказать, сколько всего изданий выдержал учебник А. П. Киселева (тем более, что две его части не всегда выходили в комплекте), но, видимо, их насчитывается много десятков.
   Впрочем, и позже, после реформ школьного математического образования в 70-х годах прошлого века, о «Геометрии» А. П. Киселева вспоминали с ностальгией, наблюдая, как растет неприязнь школьников к геометрии, и констатируя, что ее изучение по очередным, но по-прежнему неудачным учебникам ведет лишь к катастрофическому падению геометрического образования. Предпринималась даже попытка (СПб.: Специальная литература, 1999) подстроить «Планиметрию» А. П. Киселева «под новую программу» с помощью специальных дополнений, но эта попытка была изначально обречена на провал. Кроме того, книга А. П. Киселева еще выпускалась как пособие для учителей — в том виде, какой она имела до переработки 1938 г. (М.: Просвещение, 1980, 1998), и в виде, идентичном стабильному учебнику, вместе с задачником Н. А. Рыбкина (М.: Дрофа, 1995).
   Хотя современная программа средней школы по геометрии «модернизирована» координатами, векторами, преобразованиями, уравнениями простейших линий и др., ее основу составляет классическая элементарная геометрия. Конечно, чтобы глубже познакомиться с ней,

ГЕОМЕТРИЯ - ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЕВУ

можно изучать русский перевод «Начал» Евклида или штудировать какой-нибудь солидный вузовский учебник. Но книга А. П. Киселева и сегодня остается наиболее удобным, четко и доступно написанным образцом изложения евклидовой геометрии, приспособленным к нуждам школы. Именно поэтому она включена в новую серию «Библиотека физико-математической литературы для школьников и учителей» и, несомненно, будет полезна и творческому учителю (прежде всего — начинающему), и даже интересующемуся ученику.
   Дело, однако, не только в желании просто сделать доступным широкому кругу читателей «канонический» учебник, верой и правдой служивший советской школе два десятилетия. Книга А. П. Киселева предоставляет еще и богатую пищу для методических размышлений и поисков. Учителю математики было бы очень полезно проанализировать — с точки зрения нынешних наших представлений об учебнике для школы — такие вопросы, как подбор материала и манера его преподнесения, соотношение между научностью и доступностью изложения, сочетание теории и задач, целесообразность раздельного изучения планиметрии и стереометрии, использование фактов из истории математики, учет возрастной психологии, язык и стиль книги, ее оформление и т. д. Ибо дальнейшее совершенствование геометрического образования в школе и объективная оценка ныне действующих учебников немыслимы без тщательного личного ознакомления с опытом прошлого.
   В последнее время явно прослеживается усиление интереса к изучению истории математического образования в России. Достаточно упомянуть здесь два фундаментальных труда по этой проблематике — Ю. М. Колягина «Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль» (М.: Просвещение, 2001) и Т. С. Поляковой «История математического образования в России» (Изд-во МГУ, 2002). Но нельзя не обратить внимание на одно обстоятельство: в большинстве проводимых многими авторами исследований ударение делается на слово «история», в центре внимания оказываются чисто фактологические детали летописания. Между тем, важно осуществлять систематическую и целенаправленную работу по той же тематике с ударением на слово «математического», чтобы понять внутреннюю логику и определяющие факторы эволюции содержания преподавания, выбора доказательств и примеров, требований к строгости обоснования, стиля изложения, общих взглядов на учебник и т. д.
   Десятки изданий учебника А. П. Киселева, сопутствовавшие им методические материалы, иные учебники и пособия открывают широкие возможности для научного изучения исторической динамики развития методических воззрений на конкретные вопросы преподавания геометрии и создания учебника. Вот лишь один пример: в разных изданиях «Геометрии» А. П. Киселева мы встречаем и «алгебраическое», и «геометрическое» обоснования несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Отметим и такой удивительный факт: из из

ГЕОМЕТРИЯ - ПО ЕВКЛИДУ И ПО КИСЕЛЕВУ    11

дания в издание в книге повторялось неудачное определение призмы, не адекватное фактически изучаемому геометрическому телу (под это определение подпадает и ромбический додекаэдр).
   Жизнь идет вперед, изменяются общественные взгляды, в том числе на цели, содержание и методику преподавания математики новым подрастающим поколениям. Конечно, в буквальном виде «Геометрия» А. П. Киселева сейчас уже не может рассматриваться как учебник для современной российской школы. Но эта книга, благодаря своему исключительному педагогическому потенциалу, не потеряла своей значимости и еще послужит отечественному образованию.

                               Н. Розов профессор, декан факультета педагогического образования МГУ

ПРЕДИСЛОВИЕ




   Учебник элементарной геометрии А. П. Киселева был долгое время самым распространенным учебником геометрии. Его главные достоинства — простота и отчетливость языка и доступность для понимания учащимися средних школ.
   В порядке переработки учебника и приспособления его к существующим программам средних школ внесены многочисленные изменения и дополнения с целью уточнить, а иногда и более широко осветить отдельные вопросы. В вопросах же принципиального характера мною сделаны в тексте автора изменения по существу. В издаваемой первой части книги (Планиметрия) наиболее важными изменениями являются следующие: при изложении вопроса об измерении отрезков введены бесконечные десятичные дроби; теория подобия поставлена в связь с общей задачей подобного преобразования; дано более строгое изложение вопроса об измерении длины окружности; уточнено и вместе с тем несколько упрощено изложение теории измерения площадей; указано значение отдельных теорем в общем курсе геометрии; даны дополнительные указания к решению некоторых наиболее трудных задач; методы решения задач на построение, данные автором в виде приложения в конце всей книги, размещены с надлежащими редакционными изменениями в соответствующих местах книги (чтобы учащийся мог познакомиться с ними и использовать их в процессе изучения предмета); сокращена часть задач на вычисление, именно: выпущены задачи, имеющие малую теоретическую и практическую ценность; вовсе опущена глава «об отношениях и пропорциях», содержание которой с современной точки зрения является совершенно устарелым.
   Кроме того, мною написаны следующие дополнения к первой части книги: 1) о симметрии фигур (осевой и центральной, §§ 37 и 84-86); 2) о подобном преобразовании фигур, перспективном расположении многоугольников и подобии окружностей (§§ 173-178); о пределе числовой последовательности и переменной величины (§§ 227-231).
   Во всей переработке учебника я старался дать более точное изложение предмета и более широкое освещение отдельных вопросов, а также выдвинуть на первый план основные геометрические идеи о движении, о симметрии, о подобии, как геометрическом преобразовании, в той мере, в какой это допускают рамки готового текста и самый размер книги. Кроме того, при переработке текста я старался избежать создания в книге разных стилей, что могло бы затруднить чтение книги учащимися.

Н.Глаголев.
г. Верея, 20/11 1938 г.

ВВЕДЕНИЕ

   1.   Геометрические фигуры. Часть пространства, ограниченная со всех сторон, называется геометрическим телом.
   Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью.
   Часть поверхности отделяется от смежной части линией.
   Часть линии отделяется от смежной части точкой.
   Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела, линию — независимо от поверхности и точку — независимо от линии. При этом поверхность мы должны представить себе не имеющей толщины, линию — не имеющей ни толщины, ни ширины и точку — не имеющей ни длины, ни ширины, ни толщины.
   Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой. Геометрические фигуры могут перемещаться в пространстве, не подвергаясь никаким изменениям. Две геометрические фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве ее можно совместить со второй фигурой так, что обе фигуры совместятся во всех своих частях.
   2.   Геометрия. Наука, рассматривающая свойства геометрических фигур, называется геометрией, что в переводе с греческого языка означает землемерие. Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
Плоскость

   3.   Плоскость. Из различных поверхностей наиболее знакомая нам есть плоская поверхность, или просто плоскость, представление о которой дает нам, например, поверхность хорошего оконного стекла или поверхность спокойной воды в пруде и т. п.

ВВЕДЕНИЕ

   Укажем следующее свойство плоскости: Всякую часть плоскости можно наложить всеми ее точками на другое место этой или другой плоскости, причем накладываемую часть можно предварительно перевернуть другой стороной.
Прямая линия

   4.    Прямая линия. Самой простой линией является прямая. Представление о прямой липни, или просто о прямой, всем хорошо знакомо. Представление о пей даст туго натянутая пить или луч света, выходящий из малого отверстия. С этим представлением согласуется следующее основное свойство прямой:
   Через всякие две точки пространства можно провести прямую и притом только одну.
   Из этого свойства следует:
   Если две прямые наложены одна на другую так, что какие-нибудь две точки одной прямой совпадают с двумя точками другой прямой, то эти прямые сливаются и во всех остальных точках (потому что в противном случае через две точки можно было бы провести две различные прямые, что невозможно).
   По той же причине две прямые могут пересечься только в одной точке.
   Прямая линия может лежать па плоскости. При этом плоскость обладает следующим свойством:
   Если на плоскости взять какие-нибудь две точки и провести через них прямую линию, то все точки этой прямой будут находиться в этой плоскости.

      А         а         В                   с Ъ D


Рис. 1                                    Рис. 2


   5.   Неограниченная прямая; луч; отрезок. Если прямую представляют продолженной в обе стороны бесконечно, то се называют бесконечной (или неограниченной) прямой.
   Прямую обозначают обыкновенно двумя большими буквами, поставленными у двух каких-либо се точек. Так, говорят: «прямая АВ» или «ВА» (рис. 1).
   Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком прямой; отрезок обыкновенно обозначается двумя буквами,

поставленными у его концов (отрезок CD, рис. 2). Иногда д прямую или отрезок прямой (. обозначают и одной буквой (малой); например, говорят: «прямая а, отрезок Ъ» и т. п.


Рис. 3

ВВЕДЕНИЕ

15

   Для краткости вместо «отрезок прямой» мы будем часто говорить просто «отрезок».
   Иногда рассматривают прямую, ограниченную только с одной стороны, например в точке А (рис. 3). О такой прямой говорят, что опа исходит из точки А; ее называют лучом (или полупрямой).
   6.   Равенство и неравенство отрезков. Два отрезка равны, если они могут быть наложены один на другой так, что их концы совпадут. Положим, например, что мы накладываем отрезок АВ па


А            ВС              D
     I------------1 I-------------1
Рис. 4


отрезок CD (рис. 4) так, чтобы точка А совпала с точкой С и чтобы прямая АВ пошла по прямой CD, если при этом концы В и D совпадут, то отрезки АВ и CD равны; в противном случае отрезки будут нс равны, причем меньшим считается тот, который составит часть другого.
   Чтобы на какой-нибудь прямой отложить отрезок, равный данному отрезку, употребляют циркуль — прибор, известный учащимся из опыта.
   7.    Сумма отрезков. Суммой нескольких данных отрезков АВ, CD, EF,... (рис. 5) называется такой отрезок, который получится следующим образом. На какой-нибудь прямой берем произвольную



  А      ВС      D Е     F
   I-----1 I-----1 I-----1



          М               N              р               Q
          -I--------------1--------------1---------------н
Рис. 5


точку М и откладываем от нее отрезок MN, равный АВ, затем от точки N в том же направлении откладываем отрезок NP, равный CD, и отрезок PQ, равный ЕР. Тогда отрезок MQ и будет суммой отрезков АВ, CD и ЕЕ (которые по отношению к этой сумме называются слагаемыми). Подобным образом можно получить сумму какого угодно числа отрезков.
   Сумма отрезков обладает всеми свойствами суммы чисел; так, она нс зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и нс изменяется, если некоторые слагаемые будут заменены их суммой (сочетательный закон). Так:
     АВ + CD + EF = АВ + EF + CD = ЕЕ + CD + AB = ...
и
   АВ + CD + EF = АВ + (CD + EF) = CD + (АВ + EF) = ....