Начертательная геометрия

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
В. В. Дергач, А. К. Толстихин, И. Г. Борисенко  
 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ 
 
Допущено Учебно-методическим объединением 
по профессионально-педагогическому образованию 
в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по специальности 
050501.07 «Профессиональное обучение (материаловедение и обработка материалов)», 25.10.2010 г. 
 
3-е издание, переработанное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск  
СФУ 
2011 
 

УДК 514.18 (07) 
ББК 22.151.34я73 
Д36 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: И. И. Астапкович, канд. техн. наук зав. кафедрой 
инженерной графики СибГТУ; 
Г. В. Ефремов, доц. зав. кафедрой инженерной графики СибГАУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Дергач, В. В.  
Д36             Начертательная геометрия : учеб. пособие / В. В. Дергач,                
А. К. Толстихин, И. Г. Борисенко. – 3-е изд., перераб. и доп. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 144 с. 
ISBN 978-5-7638-2230-4 
 
В учебном пособии в соответствии с программой изложены основные методы проецирования, позволяющие строить изображения пространственных 
геометрических образов на плоскости, способы решения позиционных и метрических задач, имеющих практическое значение. 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности 050501.07 «Профессиональное обучение (материаловедение и 
обработка материалов)», а также может быть полезно студентам  других специальностей машиностроительного профиля. 
 
 
 
УДК 514.18 (07) 
ББК 22.151.34я73 
 
 
ISBN 978-5-7638-2230-4                                                            © Сибирский федеральный  
                                                                                                          университет, 2011 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
В начертательной геометрии под геометрическим телом понимают 
предмет, лишенный всех свойств, кроме пространственных. Поэтому точка 
рассматривается как тело, лишенное размеров, линия – тело, лишенное 
толщины и ширины, а поверхность – часть тела, мысленно отделенная от 
него и лишенная толщины. След, оставляемый  при движении точки в пространстве, образует линию, а линия при ее движении порождает поверхность, которая порождает тело.  
В природе нет геометрических точек, линий и поверхностей, но все 
их геометрические свойства находят применение при изучении и проектировании тех или иных объектов. Изучение геометрических свойств в чистом виде является основной задачей дисциплины «Начертательная геометрия», рассматривающей геометрические модели, в отличие от математических, которые отображаются в виде формул, описывающих основные 
свойства объекта и физических моделей. 
Начертательная геометрия – область науки и техники, занимающаяся разработкой научных основ построения и исследования геометрических 
моделей проектируемых инженерных объектов и процессов и их графического отображения. Задачи этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, 
разработка геометрических основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе их геометрических моделей, разработка теории графического отображения объектов и 
процессов при их проектировании в промышленности и строительстве. 
Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в 
котором пространственные формы (совокупности точек, линий, поверхностей) с геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображений на плоскости. 
С изучением начертательной геометрии приходит умение изображать всевозможные сочетания геометрических форм на плоскости, решать 
позиционные и метрические задачи, производить исследования геометрических образов по их изображениям. 
Начертательную геометрию называют «грамматикой языка техники». Кроме того, она по своему содержанию и методам занимает особое 
положение среди других наук. Наглядность и простота решения многих 
задач не только обогащают точные науки, но и помогают работникам изобразительного искусства (художникам, архитекторам, скульпторам) в создании их произведений. Художнику и архитектору знания по начертательной геометрии нужны для построения перспективы предметов, т. е. для 
изображения предметов такими, какими они представляются в действи

тельности нашему глазу. Скульптору они нужны для определения очертания ваяния, которое создается из куска камня, дерева, глины и т. п. 
В инженерной практике мы часто встречаемся с геометрическими 
моделями в виде чертежей, которые являются средством общения людей в 
их производственной деятельности. 
Словесное описание не может заменить чертежа, построенного по 
определенным геометрическим правилам. Начертательная геометрия – 
наилучшее средство развития у человека  пространственного воображения, 
без которого немыслимо никакое техническое творчество. Без живой силы 
воображения и наглядности мышления нельзя прийти и к абстрактной, математической формулировке проблемы, невозможно вывести понятия, а 
тем более осуществить практически экспериментальные исследования. 
При использовании систем автоматизированного проектирования 
основной проблемой является математическое описание геометрических 
форм рассматриваемых объектов. На качестве проектируемых технических 
объектов в значительной степени будет сказываться знания и умения использовать геометрические закономерности. 
В математических науках вопросы теории геометрических форм и их 
сочетаний сопровождаются реальным и конкретным их представлением. 
Разрешая математические задачи в их графическом значении, начертательная геометрия находит применение в физике, астрономии, химии, механике, кристаллографии и многих других науках. Методы начертательной 
геометрии являются связующим звеном между прикладной математической наукой и профессиональными техническими дисциплинами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ   
И  ПОЛОЖЕНИЯ 
 
 
В начертательной геометрии, как и в любой другой области математики, для упрощения записи условий и решения задач принята система условных обозначений объектов и действий. Ниже приведены используемые 
в процессе изучения дисциплины символы и условные обозначения. 
 
 
 
1.1.  Обозначения  и  символика 
 
 
При изучении предмета будут использоваться символы и знаки, обозначающие те или иные геометрические тела или понятия. Это позволит 
кратко записывать геометрические предложения, алгоритмы решения задач и доказательства теорем. 
Условные обозначения объектов и действий, которые будут использоваться в данном курсе при изучении теоретического материала и записи 
алгоритмов решения задач, следующие. 
1. Геометрическая фигура – Ф.  
2. Точки  – прописные буквы латинского алфавита или арабские 
цифры 

A, B, C, D, … или 1, 2, 3, 4, … 

3. Линии, произвольно расположенные в пространстве по отношению к плоскостям проекций: 

a, b, c, d, … . 

Линии уровня: h – горизонталь; f – фронталь;  р – профильная прямая 
линия уровня. 
Кроме того, прямые линии обозначаются так: 
 (АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; 
 [AB) – луч с началом в точке А; 
 [AB] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В; 
 |АВ| – расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ); 
 |Аа| – расстояние от точки А до прямой линии а; 
 |АФ| – расстояние от точки А до плоскости Ф; 
 |SW| – расстояние между плоскостями S и W. 
4. Углы обозначаются как a, b, g, a, b, g,  а также АВС – угол с 
вершиной в точке В.  

5. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита: a, b, g, d, … . 
Для обозначения способа задания поверхности указывают геометрические элементы, которыми она определяется, например: 
a (a ׀׀b) – плоскость a задана двумя параллельными прямыми a и b; 
Ф(g, i) – поверхность определяется образующей g и осью вращения i. 
6. Центр и направление проецирования обозначаются S и S
  соответственно. 
Плоскости проекций обозначаются греческой буквой П (), причем:   
П1, 1 – горизонтальная плоскость проекций Oxy; 
П2, 2 – фронтальная плоскость проекций Oxz; 
П3, 3 – профильная плоскость проекций Oyz. 
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей их 
обозначают как  4, 5 и т. д. 
Оси проекций: x – ось абсцисс; y – ось ординат; z – ось аппликат. 
7. Координаты точек  А, В, … обозначаются как  xA, yA, zA, xB, yB, zB, …  
8. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначают теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на 
которой они получены: 
А1, В1, С1 , … – горизонтальные проекции точек; 
А2, В2, С2, … – фронтальные проекции точек; 
Аn, Bn, Cn, … – проекции точек на дополнительную (n-ю) плоскость 
проекций; 
a1, b1, c1, … – горизонтальные проекции линий; 
a2, b2, c2, … – фронтальные проекции линий;  
an, bn, cn, … – проекции линий на дополнительную (n-ю) плоскость 
проекций. 
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами, следующие: 
= – результат действия, –  знак равенства, например: |AB| = |CD| – 
длины отрезков АВ и CD равны; 
 – совпадение, тождество, например:  А1  В1 – горизонтальные проекции точек А и В  совпадают; 
 – конгруэнтность; 
 – перпендикулярность; 
II – параллельность; 
 – скрещивание; 
, или  – пересечение; 
 – импликация (логическое следствие). Например, а  b означает, 
что «если есть а, то есть и b, или из а следует b»; 

,  – принадлежность: например, А  а – точка А принадлежит прямой а; А  а – прямая а проходит через точку А; 
∞ – подобие; 
  – включение (содержит в себе), например: W  а – плоскость W 
проходит через прямую а; а  W – прямая принадлежит плоскости W; 
 – объединение множеств. Так, ABCD = [AB]  [BC]  [CD] – ломаная ABCD состоит из отрезков АВ, ВС, СD; 
, ,  –  отрицание. Например, А  а – точка А не принадлежит 
прямой а, или прямая а не проходит через точку А; 
 – конъюнкция предложений, соответствует союзу и; 
 – дизъюнкция предложений, соответствует союзу или; 
 – квантор общности, читается так: «для всех, для любого». Выражение (х)Р(х) означает – «для всякого х имеет место свойство Р(х)»; 
 – квантор существования, читается так: «существует». Выражение 
(х)Р(х) означает -  «существует х, обладающее свойством Р(х)». 
1 – квантор единственности существования, читается так: «существует единственное (-я, -й)…» Выражение (1х)(Рх) означает: существует 
единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх; 



Px  – отрицание высказывания (Рх). Например, а b  ( 
 )(a   a, b). 
Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости a, которая 
содержит их; 
\ – отрицание знака. 
 
 
 
1.2. Свойства евклидова  пространства   
и  его  реконструкция 
 
 
Изображение предмета на какой-либо поверхности можно получить 
путем проецирования его на данную поверхность. При этом предполагается, что основные свойства трехмерного пространства могут быть выражены следующими положениями. 
1. Если точка А принадлежит прямой а, которая принадлежит плоскости a, то точка А принадлежит плоскости a (рис. 1.1):  

А  а    А  α. 

2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же и 
только одной прямой а (или каждой прямой а) принадлежат, по крайней 
мере, две точки А и В (рис. 1.2): 

(A, B)(A ≠ B)  (
1 a)(a  A, B). 

3. Три различные точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, 
принадлежат одной и той же и только одной плоскости (рис. 1.3): 
 
(A, B, C) (A ≠ B ≠ C)  (A, B, C   a)  (
1 α)(α  (A, B, C)). 
 
 

Рис. 1.1 
Рис. 1.2 
 
 
4. Если две точки А и В, принадлежащие прямой а, принадлежат 
плоскости a, то прямая принадлежит плоскости a (рис. 1.4):  
 
( A, B)(A ≠ B)(А, В   a)  (А, В   a)  (a   a). 
 
 

Рис. 1.3 
Рис. 1.4 
 
 
Помимо указанных свойств, можно добавить следующие три положения, касающиеся аксиомы параллельности. 

5. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут принадлежать (рис. 1.5, а) или не принадлежать (рис. 1.5, б) одной точке, т. е. две 
прямые либо пересекаются, либо параллельны: 
 
( а, b)(a ≠ b)(a, b   α)  (a × b)  (a ׀׀b). 
 

а 
б
Рис. 1.5 
 
6. Две плоскости могут принадлежать (рис. 1.6, а) или не принадлежать (рис. 1.6, б) одной и той же прямой, т. е.  две плоскости либо пересекаются, либо параллельны: 
 
( α, β)(α ≠ β)  (α × β)  (α ׀׀β). 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
а 
б 
 
Рис. 1.6 
 

7. Плоскость и не принадлежащая ей прямая могут принадлежать 
(рис. 1.7, а) или не принадлежать (рис. 1.7, б) одной точке, т. е. не принад

лежащая плоскости прямая может ее либо пересекать, либо быть ей параллельной: 
( а, α)(a   α)  (a × α)  (a ׀׀α). 
 
 

 
а 
б 
 
Рис. 1.7 
 
 
Принятые три последних положения о параллельности при последующем изучении начертательной геометрии приводят к некоторым трудностям, так как при проектировании на плоскость геометрических фигур, 
расположенных в пространстве, мы сталкиваемся с неоднородностью евклидова пространства и находящихся в них фигур. Для того чтобы избавиться от неоднородности пространства, необходимо выполнить его реконструкцию, т. е. допустить  существование на прямой бесконечно удаленной точки – несобственной точки,  на плоскости – несобственной прямой,  в пространстве – несобственной плоскости. В результате три последних положения можно перефразировать следующим образом: 
п. 5, а  – две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда принадлежат одной и той же и только одной точке, т. е. параллельные прямые 
принадлежат одной и только одной несобственной точке – К∞ (точка находится в бесконечности) (рис. 1.8) и пересекающиеся прямые (рис. 1.5, а) 
 
( а, b)(a ≠ b)(a, b   a)  (a, b  К  К∞); 
 
п. 6, а –  две различные плоскости всегда принадлежат одной и той 
же и только одной прямой, т. е две параллельные плоскости имеют одну 
собственную прямую, находящуюся в бесконечности (рис. 1.9) или пересекаются (рис. 1.6, б) 
 
( α, β)(α ≠ β)  (α, β  l  l∞);