Геометрия и графика, 2015, № 3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2015

Подписано в печать 17.09.2015. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

Сальков Н.А.
Слово главного редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Гирш А.Г.
Фокусы алгебраических кривых  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Сафиулина Ю.Г., Шмурнов В.К. 
Графическое доказательство основной теоремы 
неевклидовой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Жихарев Л.А. 
Обобщение на трехмерное пространство 
фракталов Пифагора и Коха. Часть I . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Сальков Н.А.
Американизация геометрического образования 
в России и начертательная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . .38

Абросимов С.Н., Тихонов-Бугров Д.Е.
Проектно-конструкторское обучение инженерной 
графике: вчера, сегодня, завтра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Короткий В.А.
Ломоносов и компьютерные технологии 
в обучении начертательной геометрии  . . . . . . . . . . . . . .58

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

2015. Том 3. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного университета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного 
института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Омского 
государственного технического университета 
(ОмГТУ), Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2015. Vol. 3. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.
 Сибирская государственная автомобильно-дорожная 

академия, Омск (Россия).

 Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 

(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies,  Moscow (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies,  Moscow (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова (Россия). 

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies, Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский государственный университет тонких хи
мических технологий имени М.В. Ломоносова (Россия).

 Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 

Technologies, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 

(Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

Уважаемые читатели и авторы журнала!

Прошли долгие три года со времени возникновения журнала «Геометрия и 
графика» и два с половиной – со времени выхода его первого номера в 2013 г. 
До сего времени журнал входил только в Российский индекс научного цитирования – РИНЦ.
Однако все это время и редколлегия, и авторы ждали почти что невозможного: вхождения журнала в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание 
ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук 
(Перечень ВАК). Для этого редколлегия делала все от нее зависящее, чтобы 
журнал удовлетворял новым требованиям, предъявляемым к периодическим 
изданиям со стороны ВАК. Многие не верили, что ВАК сочтет возможным 
включить наш журнал в свой список. Верили мы – редколлегия и издательство ИНФРА-М, которое всеми 
силами помогало журналу. За что издательству огромное спасибо!
И вот долгожданное событие произошло – наш журнал вошел в Перечень! Статус журнала с этого момента вырос на порядок!
Теперь соискателям ученых степеней кандидата наук и доктора наук не нужно бегать по редколлегиям 
непрофильных журналов и за большие деньги упрашивать включить их статьи в очередной выпуск – уже 
есть, где публиковать статьи бесплатно. Более того, в некоторых технических университетах даже доплачивают за опубликование статьи в ВАКовском журнале.
А поскольку мы, редколлегия журнала «Геометрия и графика», поставили целью войти не только в списки РИНЦ и ВАК, но и в международную базу данных SCOPUS, статус журнала может повыситься еще на 
порядок!
С этого момента журнал «Геометрия и графика» принимает статьи по следующим отраслям наук:
1) 01.00.00 – Физико-математические науки.
2) 02.00.00 – Технические науки.
3) 13.00.00 – Педагогические науки.
По этим направлениям соискатели научных степеней могут присылать свои работы.
Статьи, конечно же, должны иметь геометрическое или графическое направление.
Еще раз поздравляем всех с радостным известием и ждем ваших статей!

Н.А. Сальков,
главный редактор,
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова,
канд. техн. наук

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 3–3
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015

Слово главного редактора

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015                                                                      GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.11/ .16                                   DOI: 10.12737/14415

А.Г. Гирш
Д-р техн. наук, доцент,
Кассельский университет,
Германия, 34109, г. Кассель, Мюнхенбергштрассе, 19

Фокусы алгебраических кривых 

Аннотация. Кривые линии всегда были частью геометрии. 

Вначале это были прямые и окружности, затем к ним добавились конические сечения и позже, с появлением аналитической 
геометрии, – более сложные кривые. Особо в ряду линий 
стоят алгебраические кривые, описываемые алгебраическими 
уравнениями. Кривые линии находили приложение большей 
частью в механике. Сегодня алгебраические кривые используются как в технике, так и в самой математике – в теории 
чисел, теории узлов, информатике, криминалистике и др. 
С привлечением к счёту комплексных чисел стало возможным 
рассматривать кривые на комплексной плоскости. Это расширило горизонты геометрии и обогатило знания по кривым, 
в частности, по алгебраическим кривым. Мы ставим задачу 
дать геометрическую картину фокусов алгебраических кривых, 
наглядно показать положение фокусов на плоскости, показать, 
как количество фокусов связано с классом кривой. Решение 
поставленной задачи мы видим в приложении разработанного 
нами способа визуализации мнимых образов к исследованию 
фокусов и фокальных центров алгебраических кривых.

В работе обсуждается понятие фокуса алгебраической 

кривой, даются основы теории кривых, приводится математический аппарат для разыскания фокусов. Геометрическая 
картина фокусов показана на совмещённых эпюрах – совмещённые эпюры сводят воедино данную кривую с её фокусами 
с мнимым сечением данной кривой, на котором сопряжённые 
изотропные прямые касаются его и пересекаются между собой 
в фокусе. Совмещённые эпюры даны для 16 кривых – коник, 
кубик и квартик.

Ключевые слова: алгебраическая кривая, циркулярная 

кривая, порядок кривой, класс кривой, коника, кубика, квартика, изотропные прямые, циклические точки, несобственная 
прямая, мнимое сечение, касание, фокус обыкновенный, 
фокус особый.

A.G. Hirsch 
Dr. Eng., Associate Professor,
University of Kassel,
19, Monkebergstrasse, Kassel, 34109, Germany

Foci of Algebraic Curves

Abstract. Curves have always been part geometry. Initially, there 

were lines and circle, then it was added to a conic section and 
later, with the advent of analytic geometry, they added more complex curves. Particularly in a number of lines are algebraic curves 
that are described by algebraic equations. Curves found application 
mostly in mechanics. Today algebraic curves used in engineering 
and in mathematics, in number theory, knot theory, computer science, criminology, etc. With the bringing to account of complex 
numbers became possible to consider curves in the complex plane. 
It has expanded the horizons of geometry and enriched their knowledge on curves, particularly on algebraic curves. Our goal is to give 
a geometric picture of the foci of algebraic curves clearly show the 
position of the foci in the plane, show how the number of foci associated with a class curve. The solution of this problem we see in 

the application we have developed ways to visualize imaginary 
images to the study of foci and focal centers of algebraic curves.

This article explains the concept of the foci of algebraic curves 

shows the basic principle of the curve-theory and offers a method 
for the identification of the foci. The geometric picture of the foci 
is shown in a diagram, which is putted together from two tables. 
One table shows the real curve with her foci, the other table shows 
an imaginary cut of the curve, on which the isotropic line contacts 
the cut and under them intersects in a real point. The point is a 
focal point of the real curve. This project shows 16 diagrams for 
conic, cubes and quadrics.

Keywords: algebraic curve, circular curve, order of the curve, 

class of the curve, conics, cubics, quartics, isotropic lines, cyclical 
points, ideal line, imaginary section, tangent line, ordinary foci, 
special foci.

Введение
Кривые линии всегда были частью геометрии [1]. 

О кривых линиях статьи имеются в различных научных сборниках [6; 13–15; 18; 20], в том числе и в 
журнале «Геометрия и графика» [6; 15]. Вначале это 
были прямые и окружности, затем к ним добавились 
конические сечения и позже, с появлением аналитической геометрии, – более сложные кривые. Особо 
в ряду линий стоят алгебраические кривые, описываемые алгебраическими уравнениями. Кривые линии находили приложение большей частью в механике. Сегодня алгебраические кривые используются 
как в технике, так и в самой математике – в теории 
чисел, теории узлов, информатике, криминалистике 
и др. 

С привлечением к счету комплексных чисел ста
ло возможным рассматривать кривые на комплексной 
плоскости [3; 5]. Это расширило горизонты геометрии 
и обогатило знания по кривым, в частности, по алгебраическим кривым. Комплексные числа и их 
геометрическая реализация в виде мнимых образов 
на сегодня еще настораживают геометров, особенно 
геометров старшего поколения. Мнимые образы не 
стали рутиной еще и в силу не до конца решенного 
вопроса их изображения. Автор приложил определенные усилия как к толкованию мнимых образов, 
так и к их изображению, в частности, с помощью 
совмещенных эпюров. Бытует мнение, что если евклидова геометрия не располагает средством для 
изображения мнимых образов, то их и не следует 
изображать. Форму мнимого образа следует представлять-де мысленным взором, каждый как может. 
Такой подход обедняет геометрию и потому не может 
быть рекомендован ко всеобщему применению.

Алгебраические кривые сопровождаются различ
ными характеристиками, такими как степень, класс, 
асимптоты, поляры, фокусы. Кривые имеют особые 
точки, особенности поведения в бесконечности 

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17                                                                      ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015

и др. Фокусы алгебраических кривых непосредственно связаны с комплексным расширением кривых 
и изотропными прямыми, которые являются сопряженными мнимыми прямыми. Мы ставим задачу 
дать геометрическую картину фокусов алгебраических 
кривых, наглядно показать положение фокусов на 
плоскости, показать, как количество фокусов связано с классом кривой. Решение поставленной задачи 
мы видим в приложении разработанного нами способа визуализации мнимых образов к исследованию 
фокусов и фокальных центров алгебраических кривых.

Часть 1. Теоретические предпосылки
Фокусы кривых второго порядка определяются 

опосредованно через соотношение определенных 
параметров. В таком подходе нет общности, которая 
позволила бы перейти к теории фокусов кривых 
более высокого порядка. Теория фокусов коник была 
разработана Кеплером, теория фокусов алгебраических кривых второго и более высокого порядка была 
разработана Ю. Плюккером [19] в 1832 г.

1. Основные определения [7; 8; 9–12; 16].
1.1. Мы рассматриваем алгебраические уравнения 

y = f(x) или f(x, y) = 0 с действительными коэффициентами и допускаем, что плоская кривая в некоторых своих частях полностью может быть мнимой. 
Это значит, что действительным значениям аргумента могут соответствовать комплексные значения 
функции.

1.2. Порядок n алгебраической кривой Km
n  есть 

наибольшее число точек пересечения ее с некоторой 
прямой и соответствует степени ее алгебраического 
уравнения.

1.3. Класс m алгебраической кривой есть наиболь
шее число касательных, которые можно провести к 
ней из некоторой точки плоскости. Если кривая не 
имеет особых точек, то класс кривой равен m = n(n
– 1). Например, коника – K2
2 , кубика – K6
3 , квар
тика – K12
4 .

1.4. Касательная прямая к кривой есть предельное 

положение секущей, когда вторая точка сечения 
неограниченно приближается к данной.

1.5. Асимптота алгебраической кривой есть линия, 

к которой кривая неограниченно приближается в 
бесконечности (асимптоты могут быть и криволинейными). Обыкновенная асимптота имеет с кривой 
касание 1-го порядка, оскулирующая – касание 2-го 
порядка.

1.6. Фокус алгебраической кривой есть точка пло
скости, в которой пересекаются изотропные касательные, проведенные к кривой из циклических 
точек.

1.7. Фокальный центр кривой есть особый фокус, 

касательные, проведенные из него к кривой, являются асимптотами кривой.

1.8. Изотропные прямые есть мнимые прямые с 

угловым коэффициентом, равным i или –i, где i2 = –1:

 
{ y = ix + p + qi, y = –ix + p – qi}.

Действительная точка мнимой прямой y = ix + p + qi

имеет координаты x0 = –q, y0 = p.

1.9. Циклические (круговые) точки есть точки 

пересечения несобственной прямой с изотропными 
прямыми. Через циклические точки своим мнимым 
расширением проходят все окружности плоскости.

1.10. Циркулярная кривая проходит через цикли
ческие точки – пара мнимых сопряженных точек на 
несобственной прямой. Фокальная кривая есть циркулярная кривая, проходящая через свой особый 
фокус [16].

К п. 3. Если уравнение алгебраической кривой 

перевести из точечных декартовых координат в линейные плюккеровы координаты, то степень нового 
уравнения укажет класс кривой [21]. В частных несложных случаях класс кривой можно вычислить по 
формулам Плюккера [4; 7; 16, с. 95], связывающим 
класс кривой с другими характеристиками кривой. 
Формула 3(m – n) = w – r, где w – число точек перегиба, r – число точек возврата, учитывает также несобственные особые точки кривой. Например, кубическая парабола y = x3 имеет значения n = 3, w = 
1, r = 1. Следует 3(m – 3) = 1 – 1, откуда m = 3. 
Кубическая парабола есть кривая K3
3 .

К п. 7. Изотропные касательные, проведенные к 

кривой из циклических точек, пересекаются в ее 
фокусах. Из каждой циклической точки I и J к кривой класса m можно провести m касательных прямых. 
Эти прямые пересекаются в m2 действительных и 
мнимых фокусах. В действительных фокусах пересекаются только сопряженные изотропные прямые, 
их число равно m. Остальные m(m – 1) фокусов будут 
мнимые. Например, кривая K6
3  имеет 36 фокусов, 

из которых только шесть действительных.

Если кривая проходит через циклическую точку, 

то число касательных уменьшается на одну. Если 
кривая проходит через обе циклические точки, то 
число касательных уменьшается на две. Такая циркулярная кривая K6
3  имеет только четыре действи
тельных фокуса при общем их числе 16.

Количество действительных фокусов также умень
шается, если кривая касается несобственной прямой. 
Если кривая k-кратно касается несобственной прямой, то число ее действительных фокусов не может 
превышать числа m – k.

Число действительных фокусов кривой уменьша
ется на два при наличии у кривой несобственной 
точки перегиба.

Если циклические точки будут особыми точками 

кривой, то двойные точки пересечения изотропных 
касательных исключаются из числа фокусов, так как 
две изотропные прямые, проходящие через двойную 
точку, сливаются в действительную прямую и уже не 
могут определять фокус.

К п. 10. Вид кривой в бесконечности достижим 

переходом от декартовых координат (евклидова плоскость) к однородным координатам (проективная 
плоскость). Однородные координаты позволяют 
получить вид кривой в некоторой окрестности «несобственной» прямой. Переход осуществляется под

становкой x
x
z y
y
z
=
=
,
. Очевидно, когда z стремится 

к нулю, то и x, и y стремятся к бесконечности [6, с. 43]. 
Например, уравнение y2 = x3 – x + a в однородных 
координатах имеет вид y2z = x3 – xz2 + az3. Полагая 
y = 1, запишем уравнение в окрестности точки (0; 1; 0) 
в координатах. Кривая с большой точностью аппроксимируется кривой z = x3 с точкой перегиба в начале 
координат.

2. Комплексная кривая.
Принятие к рассмотрению комплексных коорди
нат точек (x = a + bi, y = c + di) означает переход от 
евклидовой плоскости к комплексному пространству. Для представления мнимой точки P(x = a + bi, 
y = c + di) необходимы четыре координатные оси: 
Ox, Oy, Oxi, Oyi. Четыре оси определяют шесть координатных плоскостей, из которых только одна действительная. Кривую в комплексном пространстве 
можно будет изучать сечениями координатными 
плоскостями. С переходом от реального пространства R2 к комплексному пространству C2 теряется 
непосредственное восприятие кривой, «кривая» в C2

предстает уже поверхностью в четырехмерном пространстве со свойствами римановой поверхности. 
Но это не повод для расстройства, это только факт, 
который не затруднит наши вычисления по данному 
феномену. Выделение в пространстве C2 = R4 «реальных» плоскостей дает различные действительные 
кривые как сечения поверхности в R4 этими плоскостями.

3. Определение фокусов алгебраической кривой.

• (a) Уравнение кривой задано в явной форме y = f(x). 

2.1. Первую производную y′ приравнять к i, где 

i =
−1 .

2.2. Из уравнения y′ = i определить xT точки T

касания изотропной прямой к кривой. Далее по 
значению xT вычислить значение yT = f(xT). 

2.3. Записать уравнение изотропной прямой, про
ходящей через данную точку T(xT, yT): y – yT = i(x – xT). 
Координаты x0, y0 действительной точки изотропной 
прямой (см. п. 1.8) определяют искомый фокус F.
• (b) Уравнение кривой задано в неявной форме 

f(x, y) = 0.
3.1. Уравнение функции: f(x, y) = 0, уравнение 

изотропной прямой: x + iy = c, где c = a + bi.

3.2. Из системы этих двух уравнений исключить y. 
3.3. Полученное уравнение h(x, c) = 0 разрешить 

относительно x. Выражение для x будет содержать 
радикал. Подрадикальное выражение – дискриминант 
D, содержащий функцию от c.

3.4. Значения ck = a + bi, где k = 1, …, m, находят 

из решения уравнения D(c) = 0. Координаты действительного фокуса F: x0 = a, y0 = b.

4. Графическая картина комплексной точки и ком
плексной прямой.

Мнимые точки существуют только сопряженны
ми парами на действительной прямой u, называемой 
носителем. Различают главное положение пары мнимых точек M1, M2 и их побочное положение 
′
′
M
M
1
2
,
, 

образующие на прямой эллиптический инволюционный ряд. По двум произвольным парам точек на 
носителе можно определить пару точек в главном 
положении, точку Лагерра L и центр инволюции P
(рис. 1а).

б)

Рис. 1. а) мнимая точка определяется рядом действительных точек 

в эллиптической инволюции на носителе u; б) мнимая прямая – пучком 

лучей в эллиптической инволюции с вершиной U

Угол между сопряженными изотропными прямы
ми остается прямым как в главном, так и в побочном 
положении (рис. 1б).

Часть II. Фокусы алгебраических кривых
В работе к рассмотрению приняты кривые с одной 

или двумя осями симметрии. Задача поиска и визуализации фокусов осесимметричных кривых значительно упрощается. Кривая рассматривается как 
поверхность в комплексном четырехмерном пространстве. Если кривая имеет ось симметрии на оси x, 
то переход y → yi определяет плоскость Oxyi, которая 
рассекает комплексную кривую по мнимой кривой. 
Изотропные прямые касаются мнимой кривой и 
пересекаются на оси симметрии в действительных 
точках, называемых фокусами кривой. Если фокусы 
лежат симметрично оси координат, то их визуализация не столь проста. Поиск мнимой кривой, которой 
касались бы изотропные прямые, пересекающиеся 
в таких фокусах, требует определенной подготовительной работы, например, перенос оси координат 
на фокусы. Некоторые фокусы так и не получили 
своей визуализации в этой работе. Визуализация 
фокусов, лежащих симметрично координатной оси, 
носит еще эскизный характер, требует корректировки, но принципиально подход опирается на касательные изотропные прямые по Плюккеру.

1. Коники
Конические сечения являются кривыми второго 

порядка и второго класса K2
2  и имеют два действи
тельных фокуса. Парабола теряет один фокус, потому что касается несобственной прямой. Различают 
четыре невырожденные коники, это эллипс, гипербола, парабола и мнимый эллипс.

Пример 1. Эллипс
Уравнение в канонической форме x

a

y

b

2

2

2

2
1
+
= . 

Центральная кривая без особых точек имеет две оси 
симметрии. Два фокуса эллипса лежат на большой 
оси и являются внутренними точками кривой, их 
координаты ±
−
a
b
2
2 . Касательные прямые, про
веденные к эллипсу через эти точки, с необходимостью будут мнимыми прямыми. Мнимые прямые 
касаются не действительного эллипса, лежащего в 
плоскости Oxy, а мнимой составляющей эллипса на 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015                                                                      GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17

комплексной плоскости. В данном случае это плоскость 
Oxyi. Перейти к кривой в этой плоскости можно с 

помощью преобразования µ y
yi
x

a

y

b
→
(
)
−
=
:

2

2

2

2
1 . На

рис. 2,б показана картина взаимного положения двух 
сечений комплексного образа эллипса двумя плоскостями Oxy и Oxyi, несущими названные кривые 
и изотропные касательные прямые, пересекающиеся в действительных фокусах кривой.

Разыскание фокусов эллипса по способу (a).

Пусть дан эллипс x
y
2
2

25
9
1
+
= . Уравнение разрешить

относительно переменной y, y
x
= ±
−
3
5
25
2 , и взять 

первую производную, 
′ = −
−
y
x

x

3

5 25
2 . Первую про
изводную приравнять равной i и вычислить коорди
нату x точки касания, i
x

x
x
= −
−
= ±
3

5 25

25
4
2
12
,
. Через

точки касания проходит директриса эллипса, она же 
является полярой фокуса относительно эллипса. По 
данной поляре определяется координата фокуса. 
Фокусы лежат на оси x симметрично относительно 
начала координат, F1,2(±4; 0).

Изотропные касательные лежат симметрично 

направлению i, соответственно, наклонены к оси x
под углом 45°. На следующем примере мы покажем, 
что для изотропных прямых кривая необязательно 
должна находиться в осепараллельном положении. 
Для мнимых касательных при необходимости вступает в силу свойство инволюционного пучка прямых 
(рис. 1,б).

Разыскание фокусов эллипса по способу (b).
Эллипс с осями a = 2, b = 1 расположен к коор
динатным осям под углом 45°, имеет уравнение 
5x2 – 6xy + 5y2 – 8 = 0. Составить систему уравнений 
эллипса и изотропной прямой, {5x2 – 6xy + 5y2 – 
– 8 = 0, x + iy = c}. Из системы исключить переменную y. Из полученного уравнения 6ix2 – (6i + 10)cx + 
+ 5c2 + 8 = 0 выразить координату x точки касания 
линий, 

x
i
i c
i
c

i
c

=
−
−
(
) −
−
−
(
)+
(

−
+
(
)+ )

0 083
10
6
8
1 224
1 224

1 224
1 224

,
,
,

,
,
.

Значение параметра c определяется из условия 

равенства дискриминанта нулю, c = ±(1,224 + 1,224i) 
для касательной x + iy = c. Из уравнения касательной 
x + iy + 1,224 + 1,224i = 0 или y = ix + 1,224 – 1,224i, 
по п. 1.8, запишем координаты одного из двух фокусов данного эллипса, F1(1,224; 1,224) (рис. 3).

Пример 2. Гипербола 
Уравнение гиперболы с осями a и b в канонической 

форме x

a

y

b

2

2

2

2
1
−
= . Центральная кривая без особых

точек имеет две оси симметрии и две асимптоты 

y
b
a x
= ±
. Имеет действительную ось a и мнимую ось 

bi. Связь гиперболы с эллипсом заметна из записи 

x

a

y

ib

2

2

2

2
1
+
( )
=
. Два фокуса гиперболы лежат на дей
ствительной оси и являются ее внутренними точка
ми, их координаты ±
+
(
)
a
b
2
2 0
;
. Изотропные ка
сательные прямые из циклических точек касаются 
не действительной гиперболы, лежащей в плоскости 
Oxy, а ее комплексного дополнения, лежащего в 
плоскость Oxyi. Перейти к кривой в мнимой плоскости можно с помощью преобразования µ(y → yi) 
уравнение комплексного дополнения есть эллипс 
x

a

y

b

2

2

2

2
1
+
= . Изотропные касательные пересекаются

в фокусах гиперболы. Через точки касания изотроп
Рис. 2. а) график эллипса, б) картина совмещенных эпюров, в) картина 
фокусов в комплексном пространстве, г) комплексная картина софоку
сных эллипсов, 
 – действительный фокус, ⊗ – мнимый фокус

Рис. 3. Фокусы эллипса как точки пересечения изотропных касательных, 

проведенных к эллипсу из циклических точек

а)

б)

в)

г)

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17                                                                      ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015

Пример 4. Мнимый эллипс 
Мнимый эллипс – центральная кривая второго 

порядка K2
2 , не имеющая ни одной действительной 

точки. Каноническое уравнение кривой: x

a

y

b

2

2

2

2
1
+
= − . 

Кривая имеет две оси симметрии и две асимптоты 

y
b
a x
= ±
. 

ных прямых с мнимым эллипсом проходят директрисы гиперболы, которые также являются полярами фокусов относительно гиперболы. На рис. 4,б 
показана комплексная картина взаимного положения 
двух совмещенных сечений гиперболы как комплексного образа плоскостями Oxy и Oxyi. Эти плоскости 
несут названные кривые и изотропные касательные 
прямые, пересекающиеся в действительных фокусах 
кривой. На рис. 4,в показано интересное семейство 
эллипсов, составляющих пучок, имеющий огибающие 
изотропные прямые. Каждый эллипс пучка сопряжен 
с одной гиперболой софокусного пучка гипербол.

Рис. 4. а) график гиперболы, б) картина совмещенных эпюров, 

в) комплексная картина софокусных гипербол

а)

б)

в)

Пример 3. Парабола 
Парабола – нецентральная кривая с одной осью 

симметрии, K2
2 . Уравнение параболы y2 = 2px

(рис. 5,а).

Переход y → yi определяет мнимое сечение ком
плексного образа параболы в форме параболы, сопряженной данной. Изотропные прямые касаются 
мнимой параболы и пересекаются в единственном 

фокусе F
p
2 0
;
. Через точки касания изотропных

прямых к мнимой параболе проходит директриса d. 
Прямая d является полярой фокуса F относительно 
мнимой параболы (рис. 5,б).

Параболы, сопряженные параболам софокусного 

семейства, также образуют семейство, имеющее изотропные прямые своими фундаментальными прямыми, т.е. все кривые нового семейства парабол 
касаются изотропных прямых.

Рис. 5. а) график параболы, б) картина совмещенных эпюров, 

в) комплексная картина софокусных парабол

а)
б)

в)

Рис. 6. а) график мнимого эллипса, б) картина фокусов 

на совмещенных эпюрах

Мнимый эллипс изображен своим носителем в 

форме эллипса с полуосями a и b (рис. 6,а, штрихпунктирная линия с двумя точками). Множество 
мнимых эллипсов на комплексной плоскости, представленное его уравнением, огибает носитель. Носитель 
иногда называют граничной или масштабной кривой 
множества мнимых эллипсов. Обе оси мнимого эллипса мнимые, что и определяет его уравнение: 

x

ia

y

ib

2

2

2

2
1
( )
+
( )
= , или x

a

y

b

2

2

2

2
1
+
= − . Мнимый эллипс

на комплексной плоскости имеет форму гиперболы, комплексно сопряженная ему кривая – тоже 
гипербола. Фокусы мнимого эллипса расположены, 
как и у действительного эллипса, на главных осях, 
но с обратным значением действительного и мнимого.

2. Кубики
Алгебраические кривые третьего порядка без осо
бых точек имеют шестой класс K6
3  и могут иметь до 

шести действительных фокусов. Кривые третьего 
порядка сильно различаются по форме, но из-за 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015                                                                      GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17

нечетной степени их уравнений все они имеют бесконечные ветви.

Из различных классификаций кривых третьего 

порядка приведем классификацию Ньютона [16]. По 
этой классификации любое уравнение третьей степени может быть приведено к одной из следующих 
форм:

A. xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d,
B. xy = ax3 + bx2 + cx + d,
C. y2 = ax3 + bx2 + cx + d,
D. y = ax3 + bx2 + cx + d.
Каноническая форма D определяет кубические 

параболы. Каноническая форма С определяет расходящиеся параболы. Если уравнение формы С разложить на линейные множители,

 
y2 = k(x – α)(x – β)(x – γ),

где α, β, γ – корни уравнения, то выделяется пять 
случаев, определяющих пять типов кривых (рис. 7). 

Пример 5. Расходящаяся парабола, тип 1. 
Расходящаяся парабола с овалом и бесконечной 

ветвью, K6
3  тип 1, рис. 7. Для примера взята пара
бола с уравнением [13]:

y2 = 0,15x3 – x2 + 0,5x + 3,5. 
(1)

Корни уравнения: –1,4986, 3,0347, 5,1305 (рис. 8,а). 

Поиск фокусов этого примера проведем по способу (b). 

Составляют систему из уравнения (1) и уравнения 

изотропной прямой,

y
x
x
x
x
iy
c
2
3
2
0 15
0 5
3 5
=
−
+
+
+
=
{
}
,
,
, ,
(2)

и из системы уравнений исключают переменную y, 
что дает выражение (2)

 
0,15x3 + 0,5x – 2cx + c2 + 3,5 = 0. 
(3)

Чтобы изотропная прямая стала касательной к 

данной кривой, необходимо, чтобы две точки пересечения прямой с кривой слились в одну точку касания. Для этого уравнение (3) разрешается относительно переменной x. Каждое из трех значений c
содержит радикал. Дискриминант D(c) приравнивают нулю и определяют значения параметра c: 

c1 = 2,7088, c2 = 5,5463, c34 = –0,1769 ± 0,89Oi. 
Параметр c есть свободный член уравнения изо
тропной прямой и состоит из двух частей: c = a + bi, 
отсюда x0 = a, y0 = b (см. п. 3.4). Соответственно 
этому фокусы исследуемой кривой имеют следующие 
координаты: F1(2,7088; 0), F2(5,5463; 0), F34(–0,1769 
± 0,89) (рис. 8,а).

Рис. 7. Пять типов расходящейся параболы

1. Характеристики корней расходящейся параболы:
a) α < β < γ. Все корни действительные и различ
ные, кривая состоит из овала и бесконечной ветви;

б) α = β < γ. Кривая состоит из бесконечной вет
ви и изолированной точки;

в) α < β = γ. Кривая состоит из одной ветви с 

петлей;

г) α и β – пара комплексно сопряженных чисел, 

γ – действительное число. Кривая состоит из одной 
бесконечной ветви;

д) α = β = γ – все три корня совпадают. Кривая 

состоит из одной бесконечной ветви с точкой возврата на оси x.

2. Некоторые особенности расходящихся парабол:
a) если некоторая прямая проходит через две точ
ки перегиба, то она проходит и через третью ее точку перегиба;

б) расходящиеся параболы типов 1, 2 и 4 имеют 

две собственные и одну несобственную точки перегиба. Несобственная прямая касается параболы в 
точке перегиба. Точка касания считается за две;

в) кривые типов 1 и 4 не имеют особых точек и 

являются кривыми K6
3 . Из-за двойного касания 

несобственной прямой, число фокусов сокращается 
на два и равно 6 – 2 = 4; 

г) кривые типов 2 и 3 имеют собственную двойную 

точку, что уменьшает класс кривой на два, K4
3 . Число 

действительных фокусов кривой равно 4 – 2 = 2;

д) кривые типа 5 имеют несобственную точку 

возврата, которая считается за три. Класс кривой 
m = 6 – 3 = 3, K3
3 . Кривые типа 5 имеют только один 

фокус, 3 – 2 = 1.

Рис. 8. а) график расходящейся параболы типа 1; б) картина фокусов F1 и 
F2 на совмещенных эпюрах полей Oxy и Oxyi, в) картина фокусов F3 и F4

В интервалах (3,0347, 5,1305) и (–1,4986, ∞) дей
ствительным значениям аргумента уравнения (1) 
соответствуют комплексные значения функции. Эти 
интервалы заполняет сечение комплексного образа, 
определенного уравнением (1), комплексной плоскостью Oxyi. Плоскость Oxy рассекает комплексный 
образ по действительной кривой (1), которую в некоторых источниках называют ядром римановой 
поверхности. Уравнение дополняющей кривой получают в переходе µ(y → yi) соответствующей подстановкой в уравнении (1):

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17                                                                      ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015

а)

б)

в)

y2 = –0,15x3 + x2 – 0,5x – 3,5.  
(4)

Корни уравнения (4) те же: –1,4986, 3,0347, 5,1305. 

По классификации Ньютона, кривая есть кубика K6
3

канонической формы С. Именно этой мнимой кривой касаются изотропные прямые, сопряженные 
пары которых пересекаются в действительных фокусах F1 и F2 (рис. 8,б). 

Фокусы F3 и F4 лежат симметрично оси x. Отыскание 

сечения комплексной поверхности, порожденной 
уравнением (1), в плоскости которого лежали бы 
изотропные касательные, проходящие через фокусы 
F3 и F4, не выглядит столь же просто, как в случае с 
фокусами F1 и F2. 

Уравнение мнимой кривой получают подстанов
кой x = xi в уравнении (1):

y2 = –0,15x3 + x2 + 0,5ix + 3,5.  
(5)

Одна из изотропных прямых касается кривой с 

уравнением (5), сопряженная с нее прямая проходит 
через точку перегиба w кривой (рис. 8,в). 

Пример 6. Расходящаяся парабола, тип 2. 
Расходящаяся парабола с бесконечной ветвью и 

изолированной точкой, K4
3  тип 2. Для примера взя
та парабола с уравнением

y2 = x3 – x2.  
(1)

Корни уравнения: x12 = 0, x3 = 1. Кривая сущест
вует в интервале (1, ∞) оси x и имеет два фокуса 
F1(0; 0) и F2(1,185; 0) (рис. 9,а), P – изолированная 
точка.

Кубика K4
3 , тип 3, состоит из одной ветви с уз
ловой точкой на оси x. Кривая называется Ньютонов 
узел, или параболический лист, и имеет уравнение:

y2 = x3 + x2.  
(1)

Корни уравнения: x1 = –1, x23 = 0. Аргумент из
меняется в пределах (1, ∞). Кривая имеет два действительных фокуса (рис. 10,а):

F12
20
27
4 2
27
−
±
;
или F12(–0,74; ±0,209).

Рис. 9. а) график расходящейся параболы типа 2; б) картина фокусов 

на совмещенных эпюрах

Сечение комплексной поверхности, порожденной 

уравнением (1), плоскостью Oxyi дает кривую с уравнением

y2 = –x3 + x2.  
(2)

Кривая (2) существует в интервале (1, –∞) оси x

и имеет корни x12 = 0, x3 = 1. Кривая состоит из бесконечной ветви с узловой точкой и есть расходящаяся парабола типа 3 (рис. 9,б, штриховая линия). 
Этой кривой касаются изотропные прямые, проведенные из циклических точек (пунктирная линия). 
Сопряженные мнимые прямые пересекаются в действительных фокусах на оси x, несопряженные – 
в мнимых фокусах, лежащих симметрично оси x
(в дальнейшем они показываться не будут).

Пример 7. Расходящаяся парабола, тип 3. 

 Рис. 10. а) график расходящейся параболы типа 3; б) картина фокусов 

на совмещенных эпюрах

Уравнение кривой после совмещения оси y с фо
кусами: 

y2 = x3 – 1,222x2 + 0,164x + 0,142.  
(2)

Подстановка x → xi в уравнение (2) дает уравнение 

мнимой кривой: 

y2 = –ix3 + 1,222x2 + 0,164ix + 0,142.  
(3)

Одна из изотропных прямых касается мнимой 

кривой (3), сопряженная ей прямая проходит через 
точку перегиба w кривой (рис. 10,б). 

Пример 8. Расходящаяся парабола, K6
3  тип 4. 

Расходящаяся парабола с одной бесконечной 

ветвью, тип 4. Уравнение параболы

y2 = x3 – x + 0,5.  
(1)

Кривая касается несобственной прямой и имеет 

четыре действительных фокуса: F12(–0,6582; ±0,6868) 
(рис. 11,а). 

Параллельный перенос начала координат на ли
нию фокусов F1 и F2, x = –0,6582, кривая (1) получит 
другую запись уравнения:

y2 = x3 – 1,9746x2 + 0,2996x + 0,8730.  
(2)

На мнимой плоскости Oxiy уравнении кривой 

получают подстановкой x → xi: 

y2 = –ix3 + 1,9746x2 + 0,2996ix + 0,8730.  
(3)

Изотропные прямые касаются кривой (3) и пере
секаются в фокусах F1 и F2 (рис. 11,б). 

Два дальнейших фокуса F3 и F4 кривой (1) также 

лежат симметрично оси x, их визуализацию проведем 
по той же схеме. Начало координат смещается по 
оси x на величину x = 0,5841, ось y пройдет через 
фокусы F3 и F4.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015                                                                      GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17

б)
а)

б)
а)

Рис. 11. а) график расходящейся параболы типа 4; б) картина фокусов 

F1 и F2; в) картина фокусов F3 и F4 на совмещенных эпюрах

Уравнение (1) получит новую запись:

y2 = x3 + 1,7523x2 + 0,0236x + 0,1151.  
(4)

Переход x → xi дает уравнение мнимой кривой: 

y2 = –ix3 – 1,7523x2 + 0,0236ix + 0,1151.  
(5)

Изотропные касательные к кривой (5) пересека
ются в фокусах F3 и F4 (рис. 11,в). 

Пример 9. Расходящаяся парабола, K6
3  тип 4.

Расходящаяся парабола с одной бесконечной 

ветвью, тип 4. Пусть парабола имеет уравнение

y2 = x3 – x – 0,5.  
(1)

Корни уравнения: x12 = –0,5957 ± 0,2544i, 

x3 = 1,1914. Кривая существует в интервале (1,1914, ∞) 
оси x как не имеющая особых точек, содержит четыре фокуса: F1(–0,3395; 0) F2(1,7209; 0) и F34(–0,7647; 
±0,0367) (рис. 12,а). 

Уравнение кривой на мнимой плоскости Oxyi

получается подстановкой y → yi в уравнении (1): 

y2 = x3 + x + 0,5.  
(2)

Пример 10. Расходящаяся парабола, тип 5. 
Полукубическая парабола Нейла имеет уравнение

y2 = x3,  
(1)

является кривой K3
3 , имеет в начале координат точ
ку возврата и только один фокус (рис. 13,а). 

а)
б)

в)

Рис. 12. а) график расходящейся параболы типа 4; б) картина фокусов 

на совмещенных эпюрах

Изотропные прямые касаются кривой (2) и пере
секаются на оси x в фокусах F1 и F2 (рис. 12,б). Два 
дальнейших фокуса F3 и F4 кривой (1) лежат симметрично оси x.

а)
б)

а)
б)

Рис. 13. а) график полукубической параболы Нейла; б) картина фокуса 

на совмещенных эпюрах

Уравнение кривой (2) на мнимой плоскости Oxyi

получается подстановкой y → yi в уравнении (1). 
Изотропные прямые касаются кривой (2) с уравнением

y2 = –x3  
(2)

и пересекаются на оси x в фокусе F (рис. 13,б). 

Пример 11. Кубическая парабола
Кубическая парабола с уравнением

y = x3  
(1)

имеет, по классификации Ньютона, каноническую форму D, является кубикой K3
3 , имеет в начале координат 

точку перегиба и два фокуса F1
2 27
2 27
/
;
/
(
) , 

F2
2 27
2 27
−
−
(
)
/
;
/
 или F1(0,2721; 0,2721), F2(–0,2721; 

–0,2721) (рис. 14,а).

а)
б)

Рис. 14. а) график кубической параболы; б) картина фокусов 

на совмещенных эпюрах

Эта незатейливая, на первый взгляд, кривая по
казала ряд особенностей комплексной плоскости, 
а именно, что плоскость изотропных касательных прямых необязательно должна быть координатной плоскостью; что в данном случае уравнение кривой (2) 

y2 = –0,5ix3  
(2)

достигается более сложным преобразованием, а именно, µ x
xi
→
(
)
0 5
3 ,
.

Пример 12. Верзиера Аньези
Versiera Agnesi, уравнение кривой:

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 3. 4–17                                                                      ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2015