Вещественный и комплексный анализ. Часть 4, 5

Э. И. Зверович

ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ

АНАЛИЗ

Учебное пособие
в шести частях

Часть 4
Функциональные последовательности и ряды.
Интегралы, зависящие от параметра

Часть 5
Кратные интегралы. Интегралы по многообразиям

Минск

Вышэйшая школа

2008

Излагается теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов на втором
курсе. В третьем семестре изучают элементы теории функциональных последовательностей и функциональных рядов, степенных рядов, тригонометрических рядов и интегралов Фурье, интегралов, зависящих от параметра, и эйлеровых интегралов. Содержание четвертого семестра составляет теория кратных интегралов
и интегралов по многообразиям.
Для студентов математических специальностей высших учебных заведений.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В четвертой части учебного пособия приводится теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов в третьем семестре.
Его содержание составляют предусмотренные учебными программами факты из теории функциональных последовательностей, функциональных рядов, степенных рядов, тригонометрических рядов Фурье, интегралов Фурье, интегралов, зависящих от параметра, и эйлеровых интегралов. Из особенностей изложения следует отметить, что в теории рядов Фурье
используется понятие ростка.
В пятой части приводится теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей
университетов в четвертом семестре. Его содержание составляют кратные интегралы Римана, криволинейные и поверхностные интегралы. Кроме того, дается исчисление внешних
дифференциальных форм, интегралы по многообразиям и общая теорема Стокса.
Изложение теории кратных интегралов — не концентрическое, т.е. сразу вводятся n-кратные интегралы (а случаи
n = 2 , 3 , . . . рассматриваются как примеры). Сначала изучаются интегралы по брусам, поскольку теория таких интегралов мало отличается от теории одномерного интеграла Римана. Затем рассматриваются интегралы по произвольным
ограниченным множествам, измеримым по Жордану. Даются
теоремы существования таких интегралов, включая критерий
Лебега, и все основные свойства.
Теорема Фубини изложена в степени общности, достаточной для всех приложений, важнейшие из которых приведены.
Доказана теорема существования разложения единицы (известного также под названием «разбиение единицы»), которое
в дальнейшем неоднократно используется. Приведена с полным доказательством теорема о замене переменных в кратных интегралах. Формулы Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского даны на современном уровне строгости, без существенного увеличения объема текста и с минимальными ограничениями. Завершается том изложением исчисления внеш

Излагается теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов на втором
курсе. В третьем семестре изучают элементы теории функциональных последовательностей и функциональных рядов, степенных рядов, тригонометрических рядов и интегралов Фурье, интегралов, зависящих от параметра, и эйлеровых интегралов. Содержание четвертого семестра составляет теория кратных интегралов
и интегралов по многообразиям.
Для студентов математических специальностей высших учебных заведений.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В четвертой части учебного пособия приводится теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов в третьем семестре.
Его содержание составляют предусмотренные учебными программами факты из теории функциональных последовательностей, функциональных рядов, степенных рядов, тригонометрических рядов Фурье, интегралов Фурье, интегралов, зависящих от параметра, и эйлеровых интегралов. Из особенностей изложения следует отметить, что в теории рядов Фурье
используется понятие ростка.
В пятой части приводится теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей
университетов в четвертом семестре. Его содержание составляют кратные интегралы Римана, криволинейные и поверхностные интегралы. Кроме того, дается исчисление внешних
дифференциальных форм, интегралы по многообразиям и общая теорема Стокса.
Изложение теории кратных интегралов — не концентрическое, т.е. сразу вводятся n-кратные интегралы (а случаи
n = 2 , 3 , . . . рассматриваются как примеры). Сначала изучаются интегралы по брусам, поскольку теория таких интегралов мало отличается от теории одномерного интеграла Римана. Затем рассматриваются интегралы по произвольным
ограниченным множествам, измеримым по Жордану. Даются
теоремы существования таких интегралов, включая критерий
Лебега, и все основные свойства.
Теорема Фубини изложена в степени общности, достаточной для всех приложений, важнейшие из которых приведены.
Доказана теорема существования разложения единицы (известного также под названием «разбиение единицы»), которое
в дальнейшем неоднократно используется. Приведена с полным доказательством теорема о замене переменных в кратных интегралах. Формулы Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского даны на современном уровне строгости, без существенного увеличения объема текста и с минимальными ограничениями. Завершается том изложением исчисления внеш

Предисловие

них дифференциальных форм, элементов анализа на многообразиях, вложенных в Rn, и общей теоремы Стокса на таких
многообразиях.
Из огромного количества имеющейся учебной литературы
по математическому анализу в списке литературы представлены учебники и учебные пособия [2–7], [9–12], а также задачники [1], [8]. Учебники и пособия подобраны по принципу
близости по содержанию и методике изложения к предлагаемому мною учебному пособию. К тому же по крайней мере
большинство книг [1–12] доступны студентам университетов
Республики Беларусь.
Нумерация глав продолжает нумерацию глав предыдущих книг этого учебного пособия. Каждая глава заканчивается подборкой задач по соответствующим темам. Эти подборки
задач составила доцент О.Б. Долгополова.
Выражаю благодарность профессору В.Г. Кротову, доцентам А.С. Ляликову и Е.К. Щетникович за квалифицированную помощь при подготовке рукописи в издательской системе LATEX2ε, доценту Т.Н. Жоровиной за тщательное вычитывание рукописи, а также рецензентам: ректору Гродненского
государственного университета, профессору Е.А. Ровбе и профессору того же университета Ю.М. Вувуникяну, профессору
Гомельского государственного университета А.П. Старовойтову.

Э.И. Зверович

Часть 4

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

Предисловие

них дифференциальных форм, элементов анализа на многообразиях, вложенных в Rn, и общей теоремы Стокса на таких
многообразиях.
Из огромного количества имеющейся учебной литературы
по математическому анализу в списке литературы представлены учебники и учебные пособия [2–7], [9–12], а также задачники [1], [8]. Учебники и пособия подобраны по принципу
близости по содержанию и методике изложения к предлагаемому мною учебному пособию. К тому же по крайней мере
большинство книг [1–12] доступны студентам университетов
Республики Беларусь.
Нумерация глав продолжает нумерацию глав предыдущих книг этого учебного пособия. Каждая глава заканчивается подборкой задач по соответствующим темам. Эти подборки
задач составила доцент О.Б. Долгополова.
Выражаю благодарность профессору В.Г. Кротову, доцентам А.С. Ляликову и Е.К. Щетникович за квалифицированную помощь при подготовке рукописи в издательской системе LATEX2ε, доценту Т.Н. Жоровиной за тщательное вычитывание рукописи, а также рецензентам: ректору Гродненского
государственного университета, профессору Е.А. Ровбе и профессору того же университета Ю.М. Вувуникяну, профессору
Гомельского государственного университета А.П. Старовойтову.

Э.И. Зверович

Часть 4

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

17.1.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИХ ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ

В этой главе будут изучаться последовательности и
ряды, все члены которых — числовые функции одного переменного (вещественного или комплексного). Условимся через
z (возможно, с индексами) обозначать переменные, которые
считаются, вообще говоря, комплексными. Через x (возможно, с индексами) будем обозначать вещественные переменные.
Определение 17.1. Функциональной последовательностью называется последовательность, все члены которой —
функции. Функциональным рядом называется ряд, все члены
которого — функции.
Понятия и обозначения, связанные с функциональными
последовательностями и рядами, по форме не отличаются от
соответствующих понятий и обозначений, связанных с числовыми последовательностями и рядами, поэтому на них не
останавливаемся. Различия начинаются тогда, когда речь заходит о сходимости. Это связано прежде всего с тем, что одна
и та же последовательность (или ряд) может сходиться при
одних значениях аргумента и расходиться — при других.
Определение 17.2. Говорят, что функциональная последовательность (fn)∞
n=1 сходится поточечно на множестве E ⊂ C к функции f :
E −→ C, если все функции fn
определены на множестве E и ∀z ∈ E числовая последовательность (fn(z))∞
n=1 сходится к числу f(z).

Записывается этот факт так:

lim
n→∞ fn(z) = f(z)
или
fn(z) → f(z)
при
n → ∞ , z ∈ E .

17.1. Функциональные последовательности и ряды
7

Определение 17.3. Говорят, что функциональный ряд
∞
n=1
fn сходится поточечно на множестве E ⊂ C к сумме

f : E −→ C, если последовательность его частичных сумм
сходится поточечно к функции f на множестве E.
Записывается этот факт так:

f(z) =

∞
n=1
fn(z)
при
z ∈ E .

Напомним, что сходимость последовательностей и сходимость рядов — понятия равносильные в том смысле, что одно

из них сводится к другому. Именно сходимость ряда
∞
k=1
fn

определяется как сходимость последовательности (sn)∞
n=1 его
частичных сумм sn := f1 + . . . + fn. Обратно, сходимость последовательности (sn)∞
n=1 можно определить как сходимость

ряда
∞
n=1
fn, где

f1 = s1 , f2 = s2 − s1 , . . . , fn = sn − sn−1 , . . . .

Учитывая это замечание, мы в дальнейшем (в зависимости от удобства формулировок) некоторые вопросы будем
излагать только для функциональных последовательностей,
другие — только для функциональных рядов, а часть вопросов — и для последовательностей, и для рядов.
Для изучения функциональных последовательностей и
рядов целесообразно ввести понятие области сходимости.
Определение 17.4. Областью сходимости функциональной последовательности (fn)∞
n=1 или функционального

ряда
∞
n=1
fn называется множество всех значений аргу
мента z ∈ C, для которых сходится числовая последовательность (fn(z))∞
n=1 или соответственно числовой ряд
∞
n=1
fn(z).

Рассмотрим простые примеры на нахождение областей
сходимости.

17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

17.1.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИХ ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ

В этой главе будут изучаться последовательности и
ряды, все члены которых — числовые функции одного переменного (вещественного или комплексного). Условимся через
z (возможно, с индексами) обозначать переменные, которые
считаются, вообще говоря, комплексными. Через x (возможно, с индексами) будем обозначать вещественные переменные.
Определение 17.1. Функциональной последовательностью называется последовательность, все члены которой —
функции. Функциональным рядом называется ряд, все члены
которого — функции.
Понятия и обозначения, связанные с функциональными
последовательностями и рядами, по форме не отличаются от
соответствующих понятий и обозначений, связанных с числовыми последовательностями и рядами, поэтому на них не
останавливаемся. Различия начинаются тогда, когда речь заходит о сходимости. Это связано прежде всего с тем, что одна
и та же последовательность (или ряд) может сходиться при
одних значениях аргумента и расходиться — при других.
Определение 17.2. Говорят, что функциональная последовательность (fn)∞
n=1 сходится поточечно на множестве E ⊂ C к функции f :
E −→ C, если все функции fn
определены на множестве E и ∀z ∈ E числовая последовательность (fn(z))∞
n=1 сходится к числу f(z).

Записывается этот факт так:

lim
n→∞ fn(z) = f(z)
или
fn(z) → f(z)
при
n → ∞ , z ∈ E .

17.1. Функциональные последовательности и ряды
7

Определение 17.3. Говорят, что функциональный ряд
∞
n=1
fn сходится поточечно на множестве E ⊂ C к сумме

f : E −→ C, если последовательность его частичных сумм
сходится поточечно к функции f на множестве E.
Записывается этот факт так:

f(z) =

∞
n=1
fn(z)
при
z ∈ E .

Напомним, что сходимость последовательностей и сходимость рядов — понятия равносильные в том смысле, что одно

из них сводится к другому. Именно сходимость ряда
∞
k=1
fn

определяется как сходимость последовательности (sn)∞
n=1 его
частичных сумм sn := f1 + . . . + fn. Обратно, сходимость последовательности (sn)∞
n=1 можно определить как сходимость

ряда
∞
n=1
fn, где

f1 = s1 , f2 = s2 − s1 , . . . , fn = sn − sn−1 , . . . .

Учитывая это замечание, мы в дальнейшем (в зависимости от удобства формулировок) некоторые вопросы будем
излагать только для функциональных последовательностей,
другие — только для функциональных рядов, а часть вопросов — и для последовательностей, и для рядов.
Для изучения функциональных последовательностей и
рядов целесообразно ввести понятие области сходимости.
Определение 17.4. Областью сходимости функциональной последовательности (fn)∞
n=1 или функционального

ряда
∞
n=1
fn называется множество всех значений аргу
мента z ∈ C, для которых сходится числовая последовательность (fn(z))∞
n=1 или соответственно числовой ряд
∞
n=1
fn(z).

Рассмотрим простые примеры на нахождение областей
сходимости.

17. Функциональные последовательности и ряды

Пример 1. Пусть fn(x) =
1

x2 + n, n ∈ N, x ∈ R. Так как

∀x ∈ R : 0 ⩽
1

x2 + n ⩽ 1

n ,

то
lim
n→∞
1

x2 + n = 0

для любого x ∈ R. Поэтому областью сходимости данной последовательности является множество R всех вещественных чисел.
Пример 2. Пусть fn(z) = nz, где n ∈ N, z ∈ C. Так как fn(0) =
= 0, то lim
n→∞ fn(0) = 0. При z ̸= 0 имеем lim
n→∞ fn(z) = z lim
n→∞ n = ∞.

Таким образом, область сходимости данной последовательности
состоит из одной точки z = 0.

Пример 3. Пусть fn(x) =
n!

x2 + n, n ∈ N, x ∈ R. Так как

lim
n→∞
n!

x2 + n = +∞ ,

то областью сходимости данной последовательности является пустое множество ∅.

Основные проблемы теории функциональных последовательностей и рядов можно сформулировать следующим образом. Пусть все члены функциональной последовательности
или ряда обладают некоторым свойством (например, непрерывны, интегрируемы, дифференцируемы и т.п.). Обладает
ли предельная функция или сумма ряда соответствующим
свойством? Если да, то каковы соотношения между f ′
n и f ′,
между интегралами от fn и f, и т.п.?
Пусть, например, f(t) =
lim
n→∞ fn(t), где все функции fn
непрерывны в точке x. Непрерывность функции fn в точке x
означает, что lim
t→x fn(t) = fn(x). Задаваясь вопросом о непрерывности предельной функции f в точке x, мы должны проверить равенство lim
t→x f(t) = f(x). Выражая теперь f через fn
и используя непрерывность функции fn в точке x, получим

lim
t→x

lim
n→∞ fn(t)
= lim
n→∞ fn(x) = lim
n→∞

lim
t→x fn(t)
.

Таким образом, вопрос о непрерывности предельной функции

17.1. Функциональные последовательности и ряды
9

f в точке x сводится к вопросу о том, справедливо ли равенство
lim
t→x

lim
n→∞ fn(t)
= lim
n→∞

lim
t→x fn(t)
,
(17.1)

т.е. важен ли порядок, в котором осуществляются предельные переходы?
Мы покажем сейчас на примерах, что, вообще говоря, равенства типа (17.1) неверны. Первый, самый простой пример
связан с рассмотрением «двойной последовательности».
Пример 1. Положим smn :=
m

m + n, где m , n ∈ N. При каж
дом фиксированном n имеем

lim
m→∞ smn = lim
m→∞
m

m + n = 1 ,

и, значит,
lim
n→∞

lim
m→∞ smn
= lim
n→∞ 1 = 1 .

Если же фиксировать m, то получим

lim
n→∞ smn = lim
n→∞
m

m + n = 0 ,

и, значит,
lim
m→∞

lim
n→∞ smn
= lim
m→∞ 0 = 0 .

Таким образом, имеем

lim
n→∞ lim
m→∞ smn ̸= lim
m→∞ lim
n→∞ smn .

Пример 2. Все функции fn(x) :=
x2

(1 + x2)n , n ∈ N, непрерыв
ны на R и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

0 <
1

1 + x2 < 1 при x ̸= 0. Поэтому ряд
∞
n=1
fn(x) =
∞
n=1

x2

(1 + x2)n
сходится. Его сумма

f(x) =

0 при x = 0 ,
1 при x ̸= 0

разрывна в точке x = 0. Таким образом, сходящийся ряд, все члены которого — непрерывные функции, может иметь разрывную
сумму.

Пример 3. Рассмотрим семейство функций
fmn
m , n ∈ N
,
где
fmn(x) = |cos(n!πx)|m .

17. Функциональные последовательности и ряды

Пример 1. Пусть fn(x) =
1

x2 + n, n ∈ N, x ∈ R. Так как

∀x ∈ R : 0 ⩽
1

x2 + n ⩽ 1

n ,

то
lim
n→∞
1

x2 + n = 0

для любого x ∈ R. Поэтому областью сходимости данной последовательности является множество R всех вещественных чисел.
Пример 2. Пусть fn(z) = nz, где n ∈ N, z ∈ C. Так как fn(0) =
= 0, то lim
n→∞ fn(0) = 0. При z ̸= 0 имеем lim
n→∞ fn(z) = z lim
n→∞ n = ∞.

Таким образом, область сходимости данной последовательности
состоит из одной точки z = 0.

Пример 3. Пусть fn(x) =
n!

x2 + n, n ∈ N, x ∈ R. Так как

lim
n→∞
n!

x2 + n = +∞ ,

то областью сходимости данной последовательности является пустое множество ∅.

Основные проблемы теории функциональных последовательностей и рядов можно сформулировать следующим образом. Пусть все члены функциональной последовательности
или ряда обладают некоторым свойством (например, непрерывны, интегрируемы, дифференцируемы и т.п.). Обладает
ли предельная функция или сумма ряда соответствующим
свойством? Если да, то каковы соотношения между f ′
n и f ′,
между интегралами от fn и f, и т.п.?
Пусть, например, f(t) =
lim
n→∞ fn(t), где все функции fn
непрерывны в точке x. Непрерывность функции fn в точке x
означает, что lim
t→x fn(t) = fn(x). Задаваясь вопросом о непрерывности предельной функции f в точке x, мы должны проверить равенство lim
t→x f(t) = f(x). Выражая теперь f через fn
и используя непрерывность функции fn в точке x, получим

lim
t→x

lim
n→∞ fn(t)
= lim
n→∞ fn(x) = lim
n→∞

lim
t→x fn(t)
.

Таким образом, вопрос о непрерывности предельной функции

17.1. Функциональные последовательности и ряды
9

f в точке x сводится к вопросу о том, справедливо ли равенство
lim
t→x

lim
n→∞ fn(t)
= lim
n→∞

lim
t→x fn(t)
,
(17.1)

т.е. важен ли порядок, в котором осуществляются предельные переходы?
Мы покажем сейчас на примерах, что, вообще говоря, равенства типа (17.1) неверны. Первый, самый простой пример
связан с рассмотрением «двойной последовательности».
Пример 1. Положим smn :=
m

m + n, где m , n ∈ N. При каж
дом фиксированном n имеем

lim
m→∞ smn = lim
m→∞
m

m + n = 1 ,

и, значит,
lim
n→∞

lim
m→∞ smn
= lim
n→∞ 1 = 1 .

Если же фиксировать m, то получим

lim
n→∞ smn = lim
n→∞
m

m + n = 0 ,

и, значит,
lim
m→∞

lim
n→∞ smn
= lim
m→∞ 0 = 0 .

Таким образом, имеем

lim
n→∞ lim
m→∞ smn ̸= lim
m→∞ lim
n→∞ smn .

Пример 2. Все функции fn(x) :=
x2

(1 + x2)n , n ∈ N, непрерыв
ны на R и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

0 <
1

1 + x2 < 1 при x ̸= 0. Поэтому ряд
∞
n=1
fn(x) =
∞
n=1

x2

(1 + x2)n
сходится. Его сумма

f(x) =

0 при x = 0 ,
1 при x ̸= 0

разрывна в точке x = 0. Таким образом, сходящийся ряд, все члены которого — непрерывные функции, может иметь разрывную
сумму.

Пример 3. Рассмотрим семейство функций
fmn
m , n ∈ N
,
где
fmn(x) = |cos(n!πx)|m .

17. Функциональные последовательности и ряды

Все эти функции, очевидно, непрерывны на R. Однако предел

fn(x) := lim
m→∞ fmn(x) =

= lim
m→∞ |cos(n!πx)|m =

⎧
⎪
⎨

⎪
⎩

1 при x = k

n! ,

0 при x ̸= k

n!

(17.2)

есть функция, разрывная во всех точках множества
k

n!

k ∈ Z
.

Таким образом, опять предел последовательности непрерывных
функций оказывается разрывной функцией.
Рассмотрим теперь последовательность (fn)∞
n=1, где fn — сужение функции (17.2) на отрезок [0 , 1]. Все функции этой последовательности интегрируемы в силу критерия Лебега1. Действительно,
каждая из этих функций ограничена и имеет конечное множество
точек разрыва. Переходя к пределу по n, получим знакомую нам
функцию Дирихле

lim
n→∞ fn(x) = D(x) =

1 , x ∈ Q ,
0 , x /∈ Q ,

которая всюду разрывна и, значит, не интегрируема по Риману.

Пример 4. Пусть fn(x) = sin nx
√n , где n ∈ N, x ∈ R. В си
лу очевидного неравенства 0 ⩽
| sin nx|
√n
⩽
1
√n имеем f(x) =

= lim
n→∞
sin nx
√n
= 0. Все функции fn и функция f, очевидно, диф
ференцируемы, причем f ′
n(x) = √n cos nx, f ′(x) ≡ 0. Однако
lim
n→∞ f ′
n(x) ̸= f ′(x), так как уже при x = 0 имеем
lim
n→∞ f ′
n(0) =

= lim
n→∞
√n = +∞ ̸= 0.

Пример 5. Пусть fn(x) = n2x (1 − x2)n, x ∈ [0 , 1], n ∈ N.
Обозначим f(x) =
lim
n→∞ fn(x). Так как fn(0) = fn(1) = 0, то и

f(0) = f(1) = 0. Далее, при x ∈ (0 , 1) имеем

f(x) = lim
n→∞ fn(x) = x lim
n→∞
n2(1 − x2)n= 0 .

1Напоминаю критерий Лебега: интегрируемость по Риману функции равносильна тому, что она ограничена, а множество всех ее точек разрыва имеет меру нуль.

17.2. Равномерная сходимость
11

Итак, f(x) ≡ 0, и потому

10
f(x)dx = 0. Однако

1
0
fn(x) dx = n2

1
0
x(1 − x2)ndx = −n2

2

1
0
(1 − x2)nd(1 − x2) =

= −
n2

2(n + 1)(1 − x2)n+1
1

0
=
n2

2(n + 1) → +∞
при
n → ∞ .

Если же взять fn(x) = nx(1 − x2)n, то опять будет f(x) ≡ 0,

откуда

10
f(x)dx = 0, однако

1
0
fn(x) dx = n

1
0
x(1 − x2)ndx =
n

2(n + 1) → 1

2
при
n → ∞ .

Таким образом, в обоих случаях имеем

lim
n→∞

1
0
fn(x) dx ̸=

1
0
lim
n→∞ fn(x) dx .

Приведенные примеры показывают, что произвольная перестановка порядка вычисления пределов может приводить
к ошибкам. Одна из причин такого рода неточностей заключается в том, что поточечная сходимость является слишком
слабой для того, чтобы обеспечить выполнение нужных нам
равенств. В связи с этим мы введем новый тип сходимости
(равномерную сходимость) и с использованием этого нового
понятия получим положительные результаты.

17.2.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ

17.2.1.
Равномерная сходимость. Критерии

Определение
17.5.
Функциональная
последовательность (fn)∞
n=1 называется сходящейся равномерно на мно