Вещественный и комплексный анализ. Кн. 4. Ч. 6

Э.И. ЗВЕРОВИЧ



            ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ
            АНАЛИЗ


Допущено
Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования по математическим специальностям
В шести частях
Книга 4

Часть 6
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО








Минск «Вышэйшая школа» 2008

УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73
     3-43



    Рецензенты: кафедра теории функций, функционального анализа и прикладной математики Гродненского государственного университета им. Янки Купалы; А.П. Старовойтов, доктор физико-математических наук профессор кафедры математического анализа Гомельского государственного университета им. Франциска Скорины

    Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.














      Зверович, Э. И.
3-43 Вещественный и комплексный анализ : учеб, пособие. В шести частях. Кн. 4. Ч. 6. Теория аналитических функций комплексного переменного / Э. И. Зверович. -Минск : Выш. шк., 2008. - 319 с.
          ISBN 978-985-06-1547-3.

          В этой книге излагается теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов в пятом и шестом семестрах. Его содержание составляют элементы теории аналитических функций одного комплексного переменного.
          Для студентов математических специальностей вузов.

УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73

ISBN 978-985-06-1547-3 (кн. 4, ч. 6) © Зверович Э.И., 2008
ISBN 978-985-06-1263-2               © Издательство «Вышэйшая школа»,
ISBN 985-06-1263-0                   2008

Предисловие


   В этой книге излагается теоретический материал, который преподается студентам математических специальностей университетов в пятом и шестом семестрах. Его содержание составляют предусмотренные учебными программами элементы теории аналитических функций одного комплексного переменного. Общий объем этого материала составляет приблизительно 25 % общего объема курса математического анализа (и имеет тенденцию к сокращению). Поэтому для сколько-нибудь полноценного изложения часть материала из этого курса перенесена в курс анализа. В целях экономии учебного времени студентов в определение понятия аналитической функции введено требование о непрерывности производной (на самом деле это требование является лишним). Из других особенностей этого пособия отметим более систематическое (по сравнению с другими учебными изданиями) использование элементов общей топологии.
   Нумерация глав продолжает нумерацию глав предыдущих частей. В конце каждой главы приведены подборки задач, которые составила доцент О.Б. Долгополова. В список литературы включены учебники и учебные пособия [1 - 9], [12, 13] и задачники [10, 11]. Учебники и учебные пособия подобраны по принципу близости по методике к предлагаемому учебному пособию; учитывалась также доступность их для студентов университетов республики Беларусь.
   Выражаю благодарность профессору В.Г. Кротову, доцентам А.С. Ляликову и Е.К. Щетникович за квалифицированную помощь при подготовке рукописи в издательской системе 2^, а также доценту Т.Н. Жоровиной за тщательное вычитывание рукописи. Выражаю благодарность рецензентам: ректору Гродненского государственного университета профессору Е.А. Ровбе и профессору того же университета Ю.М. Вувуникяну, а также профессору Гомельского государственного университета А.П. Старовойтову.

Э.И. Зверович

24. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

24.1.   ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

24.1.1. О предмете комплексного анализа

   Теория функций комплексного переменного (ТФКП) — это раздел анализа, в котором изучаются комплекснозначные функции, зависящие от комплексных переменных. Иногда эту теорию называют комплексным анализом в отличие от вещественного анализа, в котором изучаются вещественнозначные функции, зависящие от вещественных переменных. Однако любую функцию комплексного переменного

и + iv = f(x + iy),

где х, у, и, v 6 R, в принципе можно представить в виде равносильного ей отображения из R² в R², а именно

            {и = и(х,у) := Re f(x + iy), v = v(z, у) := Im f(x + iy).

Поэтому изучение свойств функций комплексного переменного в принципе можно свести к изучению соответствующих свойств отображений из R² в R² путем применения к ним методов вещественного анализа. В связи с этим возникает вопрос о целесообразности отдельного изучения функций комплексного переменного. Ответ на этот вопрос состоит в том, что в комплексном анализе изучаются лишь такие свойства, которые зависят от специфики, возникающей за счет введения именно комплексных переменных. Основным из таких специфических свойств является свойство комплексной дифференцируемости и связанное с ним свойство аналитичности

24.1. Вводные замечания

5

функций. В связи с этим комплексный анализ иногда называют теорией аналитических функций.
   Теория аналитических функций позволяет весьма просто решать многие вопросы, которые не поддаются простому решению методами вещественного анализа. В качестве примера рассмотрим два разложения:

ех

Радиус сходимости первого ряда равен бесконечности, а второго — единице. Возникает вопрос: в чем причина такого различия? Понять причину различия, оставаясь на позициях ве

щественного анализа, затруднительно, так как обе функции

х 1
е И ------2
1 + X²

          «одинаково хороши», т.е. бесконечно дифференци
руемы на R. Если же переменную х считать комплексной, то

причина различия легко устанавливается на основании теоремы из курса ТФКП, согласно которой радиус сходимости сте

пенного ряда равен расстоянию от центра круга его сходимости до ближайшей неустранимой особой точки его суммы. Но у функции ех конечных особых точек нет вовсе, значит, радиус сходимости первого ряда равен +оо. Особые точки второй функции находятся из уравнения х² + 1 = 0, откуда х = ±г, а расстояние от начала координат до точек ±г равно 1.

   История становления и развития комплексного анализа насчитывает более двухсот лет. Его классиками являются Л. Эйлер (1707—1783), О. Коши (1789—1857), Б. Риман (1826—1866), К. Вейерштрасс (1815-1897).
   Комплексный анализ богат связями с другими математическими дисциплинами и имеет большое прикладное значение. Он связан, например, с алгеброй, теорией чисел, теорией дифференциальных уравнений, функциональным анализом, топологией, геометрией и другими науками. Из физических наибольшие приложения комплексный анализ имеет в гидро-и аэромеханике, в теории упругости, в электродинамике и в квантовой механике.

24. Введение в комплексный анализ

      24.1.2. Некоторые обозначения и факты, связанные с комплексными числами

   Символом С принято обозначать поле всех комплексных чисел¹, т.е. чисел z, представимых в алгебраической форме z = х + гу, где х, у G R, а число г (мнимая единица) обладает свойством г² = — 1.
   Приняты следующие обозначения:
   Rez = х — вещественная часть числа z;
   Imz = у — мнимая часть числа z;
   z = х — гу — число, комплексно сопряженное к z = х + гу.
   Комплексное число z называется:
   (чисто) вещественным, если Imz = 0;
   (чисто) мнимым, если Re z = 0.
   Таким образом, R С С. Очевидны следующие утверждения:

                 Im z = 0 <=> z — z;
Re z = 0 <==> z = — z;
                 (z) =z;



z — z
                ¹тг ⁼ ^г;
                z — Re z + alm z.

Кроме того, операция комплексного сопряжения коммутирует с арифметическими операциями.
   Напомним определение равенства комплексных чисел:

_ def J Rezi=Rez2,
²¹ — ²² < > < Imzi=Imz2.

   Биективное отображение

С Э z = х + iy <—> (я, у) е R²

  ХО комплексных числах см. также [4, п. 2.3].

24.1. Вводные замечания

7

между Сий² позволяет каждое комплексное число z = = х + iy изображать точкой (х,у) декартовой плоскости², а также радиусом-вектором этой точки. Декартова плоскость, используемая для геометрического изображения комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс комплексной плоскости называется вещественной (или действительной) осью, так как ее точки (и только они) служат для изображения чисто вещественных чисел. Ось ординат комплексной плоскости называется мнимой осью, так как ее точки (и только они) служат для изображения чисто мнимых чисел. Отметим, что паре комплексно сопряженных чисел z = х + iy и z = х — iy соответствует на комплексной плоскости пара точек, симметричных относительно действительной оси.
   Учитывая указанное соответствие между полем С и комплексной плоскостью, само поле С иногда называют комплексной плоскостью.
   Рассмотрим на комплексной плоскости полярную систему координат (г, </?), помещая полюс в начало координат и совмещая полярную ось с положительным направлением вещественной оси. В силу известных формул

                     {х = г cos ip, у = г sin р

и формулы Эйлера cos р + i sin р = ег<р справедливы следующие равенства:

z = х + iy = г (cos р -I- i sin р) — г ег⁽р , (24.1)

дающие представление комплексного числа в различных формах. Первая из этих форм, как уже отмечалось, называется алгебраической, вторая — тригонометрической, третья — показательной.
   Числа г 0 и р G К, входящие в равенство (24.1), называются соответственно модулем (г = |z|) и аргументом (<£ = Arg z) комплексного числа z = х + iy. Модуль комплексного числа z = х + iy определяется однозначно и равен


  ² Иногда эту точку называют Аффиксом комплексного числа х 4- iy>

24. Введение в комплексный анализ

|z| = \/т² 4- J/² 0. Кроме того, имеем z~z = |z|². Геометрический смысл модуля — расстояние между точками 0 и z.
   Аргумент (т.е. величина угла между положительным направлением вещественной оси и радиусом-вектором³ точки z) определяется из системы уравнений
х         у
cos р — — , Sin р = -г                 т
не однозначно, а с точностью до слагаемого вида 2/стг, где к — любое целое число. Требуя, например, чтобы было 0 р < 2тг, мы получим так называемую главную ветвь аргумента⁴ р = arg z. Таким образом, имеем Arg z = arg z+2тгА:, где к 6 Z. Поле С всех комплексных чисел и различные его подмножества обычно снабжаются топологией, порожденной евклидовой метрикой, т.е. расстоянием
    d(zi, z-i) := |zi - z₂| = у/(zi - x₂)² + (yi - y₂)². (24.2)
Таким образом, топологические свойства в С не отличаются от топологических свойств в R². Например, компактные подмножества С — это в точности замкнутые и ограниченные его подмножества. Само множество С не является компактным, поскольку оно не ограничено.
    24.1.3.  Расширенная комплексная плоскость и стереографическая проекция

   Присоединим к комплексной плоскости С «бесконечно удаленную точку», т.е. элемент оо, обладающий свойством оо С. Полученное в результате объединение С := С U {оо} называется расширенной комплексной плоскостью. Снабдим С топологией, добавляя к совокупности открытых подмножеств плоскости базу окрестностей точки оо, т.е. все множества вида С\Л\ где К с С — всевозможные компактные множества. Основное свойство топологического пространства С устанавливается в следующей теореме.

  ³Значение аргумента считается положительным (отрицательным), если отсчет углов производится в направлении против (по) часовой стрелки.

  ⁴Часто главную ветвь аргумента выбирают так, чтобы для нее выполнялось неравенство —тг < ср тг.

24.1. Вводные замечания

9

   Теорема 24.1. Расширенная комплексная плоскость го-меоморфна сфере и, следовательно, компактна.
   ◄ Доказательство проведем с использованием стереографической проекции (рис. 1). В пространстве R³ с координат тами £, т], £ рассмотрим сферу S² : £² 4- т/² + £² = 1. Координатную плоскость С = 0 совместим с комплексной плоскостью, причем О£ — с вещественной, а От/ — с мнимой осью. На сфере S² возьмем точку Р(£,т/, £) / ЛГ(0,0,1), где N(0,0,1) Е§² -«северный полюс». Через точки Р и N проведем прямую и обозначим z = х + гу = (х, у, 0) точку пресечения прямой PN с плоскостью £ = 0. Соответствие z i—> Р представляет собой биективное отображение С на S² \ЛГ. Доопределяя его соответствием оо ।—> N(0,0,1), получим биективное отображение С на S², которое и называется стереографической проекцией.
   Для того чтобы найти для нее аналитическое выражение, запишем сначала уравнение прямой, проходящей через точки 7V(0,0,1) и z = (ж, у, 0):


€-о ₌ g-о ₌ <-i ₌ ₜ
х — 0 у — 0    0—1     ’

откуда £ = ta, ту = ty, £ — 1 — t. Подставляя эти значения в

2. Зак. 1923.

24. Введение в комплексный анализ

уравнение сферы, получим

(tx)² -b (ty)² 4- (1 — t)² = 1 или t²x² 4- t²y² 4-1 - 2t 4-1² = 1.

Найдем значение параметра t, соответствующее точке Р пересечения:
ₜ ₌_____1____₌ _2_.
х² + у² + 1  |z|² + 1
   Таким образом, координаты точки Р будут:




<Т} |*|² + г             ⁽²⁴-³⁾
, Н²-1
е м²+1
Это отображение непрерывно на С, так как выражается элементарными функциями, определенными всюду на С. Далее, очевидно, что (£, т/, С) —► (0,0,1) при |z| —> 4-оо, т.е. отображение непрерывно и в точке z = оо. Отображение, обратное к (24.3), имеет вид


при ¹ >
оо при С ~ 1 •


Оно, очевидно, непрерывно на сфере S². Итак, стереографическая проекция — гомеоморфизм. Сфера S² компактна как замкнутое и ограниченное множество в IR³. А так как при гомеоморфизмах компактные множества переходят на компактные, то расширенная комплексная плоскость С = Cl_l{oo} компактна. ►
   Таким образом, расширенная комплексная плоскость С (иногда называемая сферой Римана), представляет собой компактификацию комплексной плоскости.
   Замечание. В соответствии с двумя способами геометрического изображения комплексных чисел на множестве С вводятся две метрики: евклидова и сферическая. Евклидова метрика