Двухпараметрические T-системы функций и их применение для исследования оптимальных по быстродействию линейных нестационарных управляемых систем

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.977

c
⃝ В. В. Лукьянов

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ T-СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Для двухпараметрического семейства функций введено понятие TA-системы, которое является обобщением известного понятия T-системы для однопараметрического семейства функций. Сформулирован и доказан ряд утверждений о системах функций, образующих TA-систему. Построенная теория
TA-систем применена для изучения линейных нестационарных управляемых систем с многомерным
управлением. Для указанных выше систем решена задача о быстродействии в нуль при условии, что
начальная точка движения находится внутри множества докритичности.

Ключевые слова: функции Чебышёва, линейные управляемые системы, задача о быстродействии, функция быстродействия, докритичность, позиционное управление.

Введение

Задача о быстродействии является одним из изучаемых классов задач оптимального управления. Математическая теория оптимального управления, в основе которой лежит принцип
максимума Л. С. Понтрягина [1], была создана в середине 50-х годов XX века.
Наиболее полно изучена задача о быстродействии для линейных стационарных систем ([1]–
[6]), для которых в ряде случаев удается построить позиционное управление [1, гл. 1, § 5], [2].
Вопросы существования и построения позиционного управления достаточно изучены для автономных систем [7] (в том числе для автономных систем с возмущением [8]), тогда как для
неавтономных систем эти вопросы изучены достаточно мало [9, гл. 5, § 20], [10].
В работе Е. Л. Тонкова [11] решена задача о быстродействии в нуль для линейной нестационарной докритической управляемой системы с ограниченным скалярным управлением при
условии, что начальная точка движения находится внутри некоторого множества (множества
докритичности). Для этого автор использовал свойства функций, образующих систему Чебышёва (T-систему) [12]. Впоследствии эти исследования были продолжены его учениками
С. Ф. Николаевым [13]–[16] и Н. В. Миличем [17]–[19]. Они изучали структуру множества управляемости, свойства функции быстродействия и построили позиционное управление линейной
нестационарной докритической системы со скалярным управлением.
В этой работе основные результаты работ [11], [13]–[15] распространены на линейные нестационарные докритические управляемые системы с многомерным управлением. Для этого автор
построил теорию двухпараметрических T-систем (TA-систем) функций, которая излагается в
первом и во втором параграфах представленной работы. В третьем и четвертом параграфах
построенная теория применяется для изучения задачи о быстродействии в нуль для линейных
нестационарных управляемых систем с многомерным управлением. Для таких систем введено
понятие докритичности и определено докритическое множество управляемости по аналогии с
системами со скалярным управлением ([13]–[15]). Основными результатами работы являются
теоремы 7 и 8, позволяющие синтезировать оптимальное в смысле быстродействия позиционное управление для линейной нестационарной докритической управляемой системы внутри ее
докритического множества управляемости.
Ниже приведены используемые в этой работе обозначения.
Rn — стандартное евклидово пространство размерности n, элементы Rn следует представлять
себе в виде вектор-столбцов, даже если они набраны в строку;

В. В. Лукьянов

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

Rn∗ — пространство, сопряженное к Rn; элементы Rn∗ — суть векторы-строки;
| · | — норма в Rn, порожденная скалярным произведением;
N — множество натуральных чисел;
Z+ — множество неотрицательных целых чисел;
C(X, Y ) — пространство непрерывных отображений пространства X в пространство Y ;
AC(R, Rn) — пространство абсолютно непрерывных функций из R в Rn;
L(Rn, Rm) — пространство непрерывных линейных отображений из Rn в Rm, далее элементы
L(Rn, Rm) отождествляются с их матрицами относительно стандартных базисов в Rn и Rm;
AT — матрица, транспонированная к матрице A;
Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1} — сфера размерности n − 1;
On
ε (x) = {y ∈ Rn : |x − y| < ϵ} — открытый шар радиуса ε с центром в точке x;
Int A — внутренность, ∂A — граница множества A;
η → c(η, A) — опорная функция компактного выпуклого множества A.

§ 1. Определение и свойства двухпараметрических T-систем функций на
фиксированном промежутке

На протяжении настоящего параграфа предполагаются фиксированными промежуток I и
двухпараметрическое семейство непрерывных функций
ξj
i : I → R
j=1,...,r
i=1,...,n, где n, r — фиксированные натуральные числа. Под промежутком мы будем понимать связное подмножество
вещественных чисел с непустой внутренностью (то есть не вырождающееся в точку).
Определение 1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций
ξj
i (·)
j=1,...,r
i=1,...,n образует двухпараметрическую T-систему (короче, TA-систему) на промежутке I, если для любого ненулевого вектора c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) корней на I всех линейных комбинаций
ξj(t; c) = c1ξj
1(t) + . . . + cnξj
n(t),
j = 1, . . . , r, не больше n − 1.

При r = 1 определение 1 превращается в известное определение T-системы для однопараметрического семейства функций {ξi(·)}n
i=1 ([12, с. 50]). В дальнейшем для краткости будем
использовать обозначение ξj(t; c) = c1ξj
1(t) + . . . + cnξj
n(t), где c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn.

Определение 2. Систему точек τ =
τ j
i
j=1,...,r
i=1,...,nj, удовлетворяющих условиям

1) τ j
i ∈ I при всех i = 1, . . . , nj, j = 1, . . . , r;
2) точки τ j
1, . . . , τ j
nj попарно различны при каждом j = 1, . . . , r,
будем называть допустимой на промежутке I системой точек.

Таким образом, допустимая на промежутке I система точек — это множество точек, принадлежащих промежутку I и явно разделенных на r групп попарно различных точек. При
этом не исключается случай, когда некоторые группы (возможно, все) могут быть пустыми.
Общее количество точек в системе τ мы будем обозначать символом |τ| = n1 + . . . + nr.

Утверждение 1. Семейство функций
ξj
i
j=1,...,r
i=1,...,n образует TA-систему на промежутке

I тогда и только тогда, когда для любой допустимой на I системы точек τ =
τ j
i
j=1,...,r
i=1,...,nj,
где |τ| = n, определитель матрицы

Ξ(τ) =

ξ1
1(τ 1
1 )
ξ1
2(τ 1
1 )
· · ·
ξ1
n(τ 1
1 )
...
...
...
...
ξ1
1(τ 1
n1)
ξ1
2(τ 1
n1)
· · ·
ξ1
n(τ 1
n1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ξr
1(τ r
1 )
ξr
2(τ r
1)
· · ·
ξr
n(τ r
1 )
...
...
...
...
ξr
1(τ r
nr)
ξr
2(τ r
nr)
· · ·
ξr
n(τ r
nr)

(1.1)

не равен нулю.

Двухпараметрические T-системы функций
113

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

Утверждение 2. Если семейство
ξj
i
j=1,...,r
i=1,...,n образует TA-систему на промежутке I,

то для любой заданной допустимой на промежутке I системы точек τ =
τ j
i
j=1,...,r
i=1,...,nj, где
|τ| = n − 1, существует такой ненулевой вектор c ∈ Rn, что каждая линейная комбинация
функций ξj(t; c), j = 1, . . . , r, имеет нули в точках τ j
1, . . . , τ j
nj и не имеет других нулей на
промежутке I. Этот вектор c определяется с точностью до постоянного множителя, то
есть c = kc, k ̸= 0, где

c =

ξ1
1(τ 1
0 )
ξ1
2(τ 1
0 )
· · ·
ξ1
n(τ 1
0 )
ξ1
1(τ 1
1 )
ξ1
2(τ 1
1 )
· · ·
ξ1
n(τ 1
1 )
...
...
...
...
ξ1
1(τ 1
n1)
ξ1
2(τ 1
n1)
· · ·
ξ1
n(τ 1
n1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ξr
1(τ r
1)
ξr
2(τ r
1 )
· · ·
ξr
n(τ r
1)
...
...
...
...
ξr
1(τ r
nr)
ξr
2(τ r
nr)
· · ·
ξr
n(τ r
nr)

−1

×

1
0
...
0
.
0
...
0

,
(1.2)

а τ 1
0 — произвольная точка промежутка I, отличная от всех точек τ 1
1 , . . . , τ 1
n1.

Утверждение 3. Если семейство функций
ξj
i
j=1,...,r
i=1,...,n образует TA-систему на промежутке I, то для любой заданной допустимой на промежутке I
системы точек τ =
τ j
i
j=1,...,r
i=1,...,nj, где |τ| = n, существует и при том единственный такой вектор c ∈ Rn, что

каждая линейная комбинация функций ξj(t; c), j = 1, . . . , r, принимает в точках τ j
1, . . . , τ j
nj
наперед заданные значения ξj
1, . . . , ξj
nj. Вектор c определяется равенством c = Ξ−1(τ) × ξ,

где матрица Ξ определена равенством (1.1), а вектор ξ =
ξ1
1, . . . , ξ1
n1, . . . , ξr
1, . . . , ξr
nr
T
∈ Rn.

Доказательства утверждений 1–3 аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для однопараметрических TA-систем ([12, с. 51–53]), поэтому мы их не приводим.
Напомним ([12, с. 53]), что изолированный корень непрерывной функции ξ(t), лежащий во
внутренности промежутка I, называется узлом, если при переходе через этот корень функция
ξ(t) меняет знак, и пучностью, если эта функция знака не меняет. В случае если корнем
функции ξ(t) является граничная точка промежутка I, принадлежащая этому промежутку,
такой корень считается узлом.

Теорема 1. Пусть семейство непрерывных функций
ξj
i
j=1,...,r
i=1,...,n образует TA-систему на
промежутке I, c ∈ Rn — произвольный ненулевой вектор, k — общее количество пучностей
на I всех линейных комбинаций ξj(t; c) (j = 1, . . . , r), а l — их общее количество узлов на
I. Тогда 2k + l ⩽ n − 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть c1 ∈ Rn — произвольный ненулевой вектор. Если k = 0, то
утверждение теоремы непосредственно следует из определения TA-системы функций.
Пусть k > 0. Обозначим inf I < τ j
1 < . . . < τ j
nj < sup I
(j = 1, . . . , r) — корни линейной
комбинации ξj(t; c1), расположенные внутри промежутка I. Произвольным образом выберем
точки ϑj
i ∈
τ j
i−1, τ j
i
(i = 1, . . . , nj + 1, j = 1, . . . , r; τ j
0 = inf I, τ j
nj+1 = sup I). Положим

µj
i =
ξjϑj
i; c1> 0,
i = 1, . . . , nj + 1,
j = 1, . . . , r;
µ = min
1⩽j⩽r
min
1⩽i⩽nj+1 µj
i > 0.

По условию теоремы семейство функций
ξj
i
j=1,...,r
i=1,...,n образует TA-систему на промежутке I, поэтому k + l ⩽ n − 1. Согласно утверждению 3 существует такой ненулевой вектор
c2 ∈ Rn, что каждая линейная комбинация ξj(t; c2), j = 1, . . . , r, принимает значение +µ в
пучностях линейной комбинации ξj(t; c1), в окрестности которых ξj(t, c1) ⩽ 0, и значение −µ