Управляемость квазидифференциального уравнения
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Математика
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Автор:
Зайцев В.
Год издания: 2009
Кол-во страниц: 11
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2009. Вып. 1 УДК 517.977.1 c ⃝ В. А. Зайцев УПРАВЛЯЕМОСТЬ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1 Установлен критерий равномерной полной и дифференциальной управляемости линейной системы с локально интегрируемыми по Лебегу и интегрально ограниченными коэффициентами, в случае когда критерий Калмана неприменим. Получены условия дифференциальной управляемости квазидифференциального уравнения. Ключевые слова: управляемая система, полная управляемость, дифференциальная управляемость, квазидифференциальное уравнение. § 1. Определения и критерии полной управляемости Пусть Rn — евклидово пространство размерности n, |x| = √ x∗x — норма в Rn, ∗ означает операцию транспонирования; Mmn — пространство вещественных m × n -матриц с нормой |A| = max |x|⩽1 |Ax|; Mn := Mnn. Известно [1, с. 357], что такая норма матрицы A ∈ Mmn совпадает с Λ(A∗A), где Λ(A∗A) — наибольшее собственное значение матрицы A∗A, и что |A∗| = |A| [1, с. 71]. Рассмотрим линейную нестационарную управляемую систему ˙x = A(t)x + B(t)u, (t, x, u) ∈ R × Rn × Rm. (1) Будем предполагать, что матричные функции A : R → Mn, B : R → Mnm измеримы и по норме локально интегрируемы по Лебегу, то есть для любых ϑ > 0, τ ∈ R τ+ϑ τ |A(s)| ds < ∞, τ+ϑ τ |B(s)| ds < ∞. (2) Допустимым управлением будем называть всякую измеримую ограниченную по норме функцию u : R → Rm. Условия (2) обеспечивают существование и единственность решения задачи Коши для системы (1), и это решение является локально абсолютно непрерывной функцией. Обозначим через X(t, s) матрицу Коши системы ˙x = A(t)x, то есть решение матричной задачи Коши ˙X = A(t)X, X(s) = I, I ∈ Mn — единичная матрица. Эта функция является абсолютно непрерывной по каждой переменной. Все соотношения между измеримыми функциями будем предполагать выполняющимися почти всюду (п. в.). Запись G ∈ L1(T, Mnm), где T = [τ, τ + ϑ], означает, что G : T → Mnm, G(t) = {gij(t)} и gij ∈ L1(T), то есть τ+ϑ τ |gij(s)| ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m . Лемма 1. |G| ∈ L2(T) ⇐⇒ τ+ϑ τ g2 ij(s) ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим матрицу G∗(s)G(s). При каждом s ∈ T эта матрица симметрическая, неотрицательно определенная. Ее собственные значения вещественные и неотрицательные 0 ⩽ λ1(s) ⩽ . . . ⩽ λm(s). Пусть Λ(s) — это наибольшее собственное значение этой матрицы, то есть Λ(s) = λm(s). Имеет место неравенство 0 ⩽ Λ(s) ⩽ λ1(s) + . . . + λm(s) = Sp (G∗(s)G(s)) = i,j g2 ij(s) ⩽ mΛ(s). (3) 1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06–01–00258, 09–01–00403).
Доступ онлайн
В корзину