Управляемость квазидифференциального уравнения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.977.1

c
⃝ В. А. Зайцев

УПРАВЛЯЕМОСТЬ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1

Установлен критерий равномерной полной и дифференциальной управляемости линейной системы с
локально интегрируемыми по Лебегу и интегрально ограниченными коэффициентами, в случае когда
критерий Калмана неприменим. Получены условия дифференциальной управляемости квазидифференциального уравнения.

Ключевые слова: управляемая система, полная управляемость, дифференциальная управляемость, квазидифференциальное уравнение.

§ 1. Определения и критерии полной управляемости

Пусть Rn — евклидово пространство размерности n, |x| =
√

x∗x — норма в Rn, ∗ означает
операцию транспонирования; Mmn — пространство вещественных m × n -матриц с нормой
|A| = max
|x|⩽1 |Ax|; Mn := Mnn. Известно [1, с. 357], что такая норма матрицы A ∈ Mmn совпадает

с
Λ(A∗A), где Λ(A∗A) — наибольшее собственное значение матрицы A∗A, и что |A∗| = |A|
[1, с. 71]. Рассмотрим линейную нестационарную управляемую систему

˙x = A(t)x + B(t)u,
(t, x, u) ∈ R × Rn × Rm.
(1)

Будем предполагать, что матричные функции A : R → Mn, B : R → Mnm измеримы и по
норме локально интегрируемы по Лебегу, то есть для любых ϑ > 0, τ ∈ R
τ+ϑ

τ
|A(s)| ds < ∞,
τ+ϑ

τ
|B(s)| ds < ∞.
(2)

Допустимым управлением будем называть всякую измеримую ограниченную по норме функцию u : R → Rm. Условия (2) обеспечивают существование и единственность решения задачи
Коши для системы (1), и это решение является локально абсолютно непрерывной функцией.
Обозначим через X(t, s) матрицу Коши системы ˙x = A(t)x, то есть решение матричной задачи Коши
˙X = A(t)X,
X(s) = I, I ∈ Mn — единичная матрица. Эта функция является
абсолютно непрерывной по каждой переменной.
Все соотношения между измеримыми функциями будем предполагать выполняющимися
почти всюду (п. в.). Запись G ∈ L1(T, Mnm), где T = [τ, τ + ϑ], означает, что G : T → Mnm,

G(t) = {gij(t)} и gij ∈ L1(T), то есть
τ+ϑ

τ
|gij(s)| ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m .

Лемма 1. |G| ∈ L2(T) ⇐⇒
τ+ϑ

τ
g2
ij(s) ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим матрицу G∗(s)G(s). При каждом s ∈ T эта матрица симметрическая, неотрицательно определенная. Ее собственные значения вещественные и
неотрицательные 0 ⩽ λ1(s) ⩽ . . . ⩽ λm(s). Пусть Λ(s) — это наибольшее собственное значение
этой матрицы, то есть Λ(s) = λm(s). Имеет место неравенство

0 ⩽ Λ(s) ⩽ λ1(s) + . . . + λm(s) = Sp (G∗(s)G(s)) =
i,j
g2
ij(s) ⩽ mΛ(s).
(3)

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06–01–00258, 09–01–00403).

Управляемость квазидифференциального уравнения
101

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

Поскольку
τ+ϑ

τ
|G(s)|2 ds =
τ+ϑ

τ
Λ(s) ds, то из неравенства (3) вытекает требуемое утвер
ждение.
□

Следствие 1. |G| ∈ L2(T) ⇐⇒ G∗G ∈ L1(T, Mm) ⇐⇒ GG∗ ∈ L1(T, Mn).

Лемма 2. Пусть G ∈ Mn. Тогда |G| ⩾ (det G)1/n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λn ⩾ . . . ⩾ λ1 ⩾ 0 — собственные значения матрицы G∗G.
Тогда (det G)2 = det(G∗G) = λ1 · . . . · λn. Имеем |G| = √λn = (λn
n)1/(2n) ⩾ (λ1 · . . . · λn)1/(2n) =
(det G)21/(2n) = (det G)1/n.
□

Определение 1 (см. [2]). Система (1) называется вполне управляемой на отрезке T =
[τ, τ +ϑ], если для любого x0 ∈ Rn найдется допустимое управление u(·), переводящее систему
(1) из состояния x(τ) = x0 в состояние x(τ + ϑ) = 0.

Замечание 1. В силу критерия Калмана система (1) вполне управляема на T
тогда и
только тогда, когда det W(τ + ϑ, τ) ̸= 0, где

W(t, τ) =
t

τ
X(t, s)B(s)B∗(s)X∗(t, s) ds
(4)

(см. [3]). Однако если B не принадлежит L2(T), а принадлежит лишь L1(T), то матрица (4)
может быть не определена и критерий Калмана неприменим. В таком случае критерий полной
управляемости дает следующее утверждение.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны.
1. Система (1) вполне управляема на отрезке T = [τ, τ + ϑ].
2. Строки матрицы B(t) := X(τ, t)B(t) линейно независимы на T.
3. Строки матрицы B(t) := X(τ + ϑ, t)B(t) линейно независимы на T.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 2 эквивалентно утверждению 3 в силу невырожденности матрицы Коши X(t, s) для любых t, s ∈ R.
( 1 ⇒ 2 ). Пусть система (1) вполне управляема на отрезке T = [τ, τ + ϑ]. Тогда для любого
x0 ∈ Rn найдется допустимое управление u(t), t ∈ T, переводящее систему (1) из состояния
x(τ) = x0 в состояние x(τ + ϑ) = 0. Произведем преобразование x = X(t, τ)y системы (1).
Тогда эта система перейдет в систему

˙y = X(τ, t)B(t)u = B(t)u,
(t, y, u) ∈ R × Rn × Rm.
(5)

Эта система также является вполне управляемой на T, и управление u(t), t ∈ T, переводит
систему (5) из состояния y(τ) = x(τ) = x0 в состояние y(τ + ϑ) = X(τ, τ + ϑ)x(τ + ϑ) = 0.
Предположим, что строки матрицы B(t) линейно зависимы на T, то есть существует векторстрока ξ ∈ Rn∗, |ξ| = 1 такая, что ξ B(t) ≡ 0 п. в. t ∈ T. Умножим равенство (5) слева на
строку ξ, получим, что ξ ˙y(t) ≡ 0 п. в. t ∈ T. Производная абсолютно непрерывной функции
почти всюду равна нулю, следовательно, ξy(t) ≡ const = ξx0 для всех t ∈ T. Если мы возьмем
x0 = ξ∗, то ξy(t) ≡ 1 для всех t ∈ T, и какое бы мы ни взяли управление в системе (5), решение
с этим управлением никогда не попадет в ноль, следовательно, система (5), а вместе с ней и
система (1) не являются вполне управляемыми.
( 2 ⇒ 1 ). Пусть строки матрицы
B(t) линейно независимы на T. Покажем, что система
(5) вполне управляема на T. Отсюда будет следовать вполне управляемость системы (1) на T.

Решение уравнения (5) с начальным условием y(τ) = x0 имеет вид y(t) = x0 +
t

τ
B(s)u(s) ds.