Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.2, 517.5

c
⃝ В. Я. Дерр

НЕОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Памяти А. Ю. Левина

Излагаются основы теории неосцилляции решений обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка с новыми доказательствами некоторых основных теорем: признаки
неосцилляции, ее следствия, свойства неосцилляционных уравнений. Для уравнения второго порядка
приводятся новые достаточные признаки неосцилляции.

Ключевые слова: неосцилляция, сопряженные точки, факторизация, обобщенная теорема Ролля, многоточечная краевая задача Валле Пуссена, функция Грина.

Введение

Предлагаемая вниманию читателей статья представляет собой введение в теорию неосцилляции уравнения

Lx .= x(n) + p1(t)x(n−1) + . . . + pn(t)x = 0,
t ∈ I .= (α, β) ⊂ R,
(0.1)

в котором основные факты этой теории изложены в единых терминах и обозначениях. Введение это, достаточно краткое, написано в основном по результатам работ [1–4]. Некоторые из
утверждений снабжены новыми доказательствами. Для уравнения второго порядка получены
новые достаточные условия неосцилляции (см. § 6, п. 5). Сделана попытка переноса некоторых
определений на систему уравнений

x′ − A(t)x = 0,
t ∈ I,
x ∈ Rn.
(0.2)

Здесь pi, i = 1, 2, . . . , n, и элементы n×n -матрицы A локально суммируемые на I функции.
Уравнение (0.1) называется неосцилляционным на промежутке J ⊂ I, если любое его
нетривиальное решение имеет на этом промежутке не более n − 1 нулей, которые подсчитываются с учетом их кратностей. Говорят также, что имеет место неосцилляция решений
уравнения (0.1), или что J — промежуток неосцилляции уравнения (0.1). Например, уравнение
x(n) = 0
(0.3)

неосцилляционно на всей числовой оси, так как любое его нетривиальное решение есть полином
степени не выше n − 1, который может иметь не более n − 1 нулей; так что (−∞, +∞) —
промежуток неосцилляции уравнения (0.3).
Использование термина неосцилляция в указанном смысле в отечественной литературе относится к концу 1950-х годов (введен этот термин, по-видимому, Н. В. Азбелевым). Соответствующий английский термин disconjugacy принадлежит А. Винтнеру [5].
Всюду, если не оговорено иное, будем предполагать, что функции pi, i = 1, 2, . . . , n, локально суммируемы на I.
Пусть T(J) — класс линейных дифференциальных выражений L, для которых уравнение
(0.1) неосцилляционно на промежутке J,

Φ(x, J)
Φ(x, τ)

Неосцилляция решений
57

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

— число нулей с учетом кратностей функции x на промежутке J ⊂ I
в точке τ ∈ I
.
Приведем несколько примеров использования неосцилляции решений уравнения (0.1). Доказательство сформулированных ниже утверждений будет приведено позднее.
1. Вещественная факторизация линейного дифференциального выражения L (G. Polia [6],
G. Mammana [7]).
Для того чтобы имело место разложение

L = hn
d
dthn−1
d
dt · · · d

dth0,
t ∈ (a, b) ⊂ I,
(0.4)

где достаточно гладкие функции hi : I → R, i = 0, 1, . . . , n, не обращаются в нуль на (a, b),
необходимо и достаточно, чтобы L ∈ T
(a, b)
.
2. Обобщенная теорема Ролля (G. Polia [9]).
Пусть L ∈ T(J), функция Lx непрерывна на J, Φ(x, J) ⩾ n + 1. Тогда Φ(Lx, J) ⩾ 1.
3. Разрешимость интерполяционной краевой задачи (называемой также задачей Валле Пуссена) и знакоопределенность её функции Грина.
Рассмотрим краевую задачу

(Lx)(t) = f(t),
t ∈ [a, b] ⊂ I,
(0.5)

x(i)(tj) = cj
(0.6)

(i = 0, . . . , kj − 1; j = 1, . . . , m; a = t1 < . . . < tm = b; k1 + k2 + . . . + km = n).

Условие L ∈ T([a, b]) необходимо и достаточно для однозначной разрешимости всех задач
(0.5)–(0.6) и существования их функции Грина G(t, s). Более того, имеет место следующее
утверждение.
Пусть π(t) .= sign (t − t1)k1(t − t2)k2 · · · (t − tm)km.
Если L ∈ T([a, b]), то
π(t)G(t, s) ⩾ 0,
t, s ∈ [a, b]
(0.7)

(Чичкин Е. С. [10], Левин А. Ю. [1]).
Интересно отметить, что при выполнении некоторых легко проверяемых условий сформулированное утверждение остается справедливым и для обобщенной задачи Валле Пуссена, в
которой общее число краевых условий больше порядка уравнения, k1 + k2 + . . . + km > n (см.
[11]–[13]).
Из последнего утверждения немедленно вытекает следующая теорема о дифференциальном
неравенстве чаплыгинского типа.
Если L ∈ T([a, b]) и

v(i)(tj) = u(i)(tj), i = 0, . . . , kj − 1; j = 1, . . . , m,
(Lv)(t) ⩾ (Lu)(t),
t ∈ [a, b],

то π(t)v(t) ⩾ π(t)u(t),
t ∈ [a, b].
Теорема С. А. Чаплыгина (см. [14]) получается отсюда при m = 1, так как в этом случае
задача (0.5)–(0.6) превращается в задачу Коши (k1 = n, π(t) = 1 при t > a) (см. также
[38, 16]).
4. Разрешимость краевой задачи с интегральными краевыми условиями (R. Bellman [17]).
Рассмотрим краевые условия

lix .=
b

a
x(t) gi(t) dt = ci,
i = 1, 2, . . . , n.
(0.8)

Если L ∈ T([a, b]) и функции g1, g2, . . . , gn образуют чебышевскую систему на [a, b] (см.
ниже), то задача (0.5), (0.8) однозначно разрешима.
Неосцилляция полезна и при исследовании других типов краевых задач, в частности периодической краевой задачи [18]–[23].

В. Я. Дерр

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

5. Связь между неосцилляцией и теорией осцилляционных по Гантмахеру–Крейну ядер [24].
Ядро G(t, s) называется осцилляционным (в смысле Гантмахера и Крейна), если
G(t, s) > 0
(a ⩽ t, s ⩽ b) и

det (G(tj, sj))m
1 ⩾ 0
a < t1 < . . . < tm < b
a < s1 < . . . < sm < b

(0.9)

(m = 1, 2, . . .), причем при ti = si (i = 1, . . . , m) неравенства (0.9) строгие.
Интегральный оператор, порожденный осцилляционным ядром, обладает многими «хорошими» свойствами; в частности, он не повышает число перемен знака; его собственные числа
все вещественны и различны, а m -я собственная функция имеет в (a, b) ровно m − 1 нуль
[24, 25] (см. также [26, 27]). Однако непосредственная проверка неравенств (0.9) — задача достаточно трудная. Между тем если ядро G(t, s) с точностью до знака совпадает с функцией
Грина уравнения (0.1) при интерполяционных краевых условиях Φ(x, a) ⩾ n − k, Φ(x, b) ⩾ k,
то для выполнения неравенств (0.9) необходимо и достаточно, чтобы L ∈ T([a, b]) [25].
6. В работах [28, 29] вопрос о числе переключений оптимального по быстродействию управления линейной нестационарной системы со скалярным управлением сводится к неосцилляции
некоторого скалярного (квазидифференциального) уравнения.
Приведенные соображения подтверждают актуальность получения эффективных способов
проверки неосцилляции. Классические теоремы Штурма о разделении нулей и теорема сравнения являются, по-видимому, первыми результатами в этом направлении. Центральным результатом здесь является критерий А. Ю. Левина–Ф. Хартмана [1]–[4] (см. § 5.)

§ 1. Уравнение второго порядка

1. Рассмотрим линейное уравнение второго порядка

x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0
(1.1)

c локально суммируемыми на I .= (α, β) коэффициентами p, q. При этом все равенства и
неравенства между суммируемыми функциями понимаются выполняющимися почти всюду
относительно меры Лебега.
В дальнейшем нам придется ссылаться на следующие две теоремы Штурма (см. [30, c. 252],
[31, c. 81], [32, c. 225], [33, т. 1, с. 166]), которые мы сформулируем в удобных для нас терминах.
Хотя в процитированных работах предполагается непрерывность коэффициентов p, q, доказательства остаются в силе и для локально суммируемых p, q.
Теорема 1 (теорема сравнения Штурма). Пусть

Li y .= y′′ + p(t) y′ + qi(t) y = 0,
i = 1, 2,
и
q1(t) ⩽ q2(t)
(t ∈ I).

Тогда, если L2 ∈ T(J), то и L1 ∈ T(J)
(J ⊂ I — промежуток).

Теорема 2 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть
x — решение уравнения (1.1)
такое, что x(t1) = x(t2) = 0,
x(t) ̸= 0 (t ∈ (t1, t2)). Тогда любое другое решение y этого
уравнения, линейно независимое с x, имеет ровно один нуль на (t1, t2).

Из теоремы 2 сразу следует первая часть следующего утверждения.

Теорема 3. 1. Если существует решение уравнения (1.1), не обращающееся в нуль на
[a, b] ⊂ I
(a, b) ⊂ I
, то L ∈ T([a, b])
L ∈ T((a, b))
.
2. Если L ∈ T([a, b])
L ∈ T([a, b))
, то существует решение уравнения (1.1), не обращающееся в нуль на [a, b]
(a, b)
.

Неосцилляция решений
59

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

Д о к а з а т е л ь с т в о. 2. Пусть J = [a, b]. Определим решения y1(t) и y2(t) начальными условиями y1(a) = 0, y′
1(a) = 1 и y2(b) = 0, y′
2(b) = −1. Так как L ∈ T([a, b]), то

y1(t) > 0
(t ∈ (a, b]),
y2(t) > 0
(t ∈ [a, b)).

Решение y1(t) + y2(t) — требуемое.
Если L ∈ T([a, b)), то требуемым является решение y1.
□
Решения, сохраняющего знак на [a, b), может не существовать. Так, L .= d2

dt2 + 1 ∈ T([0, π)).
Однако любое решение уравнения Lx = 0 имеет в [0, π) в точности один нуль.
Теорема 3 представляет собой пример неэффективного критерия, сформулированного в терминах решений уравнения (1.1), а не в терминах самого уравнения. Ряд нижеследующих утверждений — это эффективные (т. е. выраженные через коэффициенты уравнения) достаточные
условия неосцилляции уравнения (1.1), не являющиеся необходимыми. Например, непосредственно из теоремы 1 следует, что
если q(t) ⩽ 0 в J ⊂ I, то L ∈ T(J).
То, что этот признак не является необходимым, видно из примера: L =
d2
dt2 + λ ∈ T([a, b]),
если λ <
π2

(b−a)2 .
2. Приведем здесь лишь несколько достаточных признаков неосцилляции; большое число
других можно найти в [3, 21, 22, 23, 34, 35, 36].

Произвольное уравнение (1.1) умножением на r(t) .= exp
t

α
p(s) ds
можно преобразо
вать к самосопряженному виду (ry′)′ + rqy = 0, а последнее уравнение подходящей заменой
независимой переменной (см. цитированные выше работы) — к виду

Ly .= y′′ + q(t)y = 0
(1.2)

с сохранением неосцилляционных свойств; поэтому здесь мы ограничиваемся рассмотрением
уравнения (1.2).
Непосредственно из теоремы 1 следует

Теорема 4. Если ess sup
t∈[a,b]
q(t) <
π2

(b − a)2 , то L ∈ T([a, b]).

Далее, общее решение уравнения Эйлера

Ly .= y′′ + λ y

t2 = 0

при λ < 1

4 имеет вид:

y(t) = t
1
2 (1−√1−4λ)(c1 + c2t
√1−4λ),

а при λ = 1

4 —

y = t
1
2 (c1 + c2 ln t),

где c1 и c2 — произвольные постоянные. Отсюда видно, что при λ ⩽
1
4
L ∈ T
(0, ∞)
. Это
вместе с теоремой 1 опять дает нам эффективное достаточное условие неосцилляции (на этот
раз на полуоси (0, +∞) ).

Теорема 5. Если q(t) ⩽
1
4t2 ,
t ∈ (0, +∞), то L ∈ T
(0, ∞)
.

Теорема 6 (А. М. Ляпунов, см. [3]). Если q(t) ⩾ 0 и
b
a q(t) dt ⩽
4

b−a, то L ∈ T([a, b]).

В. Я. Дерр

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть уравнение (1.2) имеет такое нетривиальное решение y(t),
что Φ(y, [a, b]) = 2. Так как y не может иметь кратных нулей, то, не ограничивая общности,
можно считать, что
y(a) = y(b) = 0.
(1.3)

Функция y как решение краевой задачи (1.2), (1.3) удовлетворяет интегральному уравнению

y(t) = −
b

a
G(t, s)q(s)y(s) ds,
(1.4)

где

G(t, s) =

−(b − t)(s − a)

b − a
,
если a ⩽ s < t,

−(t − a)(b − s)

b − a
,
если t ⩽ s ⩽ b,

— функция Грина уравнения y′′ = 0 при краевых условиях (1.3). Отсюда видно, что при t ̸= s

|G(t, s)| < (b − s)(s − a)

b − a
.
(1.5)

Пусть max
s∈[a,b] |y(s)| = |y(t∗)|. Тогда из (1.4) и (1.5) следует

|y(t∗)| =
b

a
G(t∗, s)q(s)y(s) ds
⩽
b

a
|G(t∗, s)| |y(s)|q(s) ds <

< |y(t∗)|
b

a

(b − s)(s − a)q(s)

b − a
ds ⩽ b − a

4

b

a
q(s) ds,

так как (b − s)(s − a) ⩽ (b − a)2

4
для s ∈ [a, b]. Отсюда 1< b − a

4

b

a
q(s) ds, что противоречит

условию.
□

Замечание 1. Константа 4 в условии теоремы 6 неулучшаема.

Это видно из следующего примера.
Пусть функция v дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1] и v(t) = t (0 ⩽ t ⩽ 1

2−δ),

v(t) = 1 − t
t > 1

2 + δ
,
v(t) > 0,
v′′(t) < 0
1

2 − δ < t < 1

2 +δ
.

Положим

q(t) =

− v′′(t)

v(t) ,
если t ∈ (0, 1),

0,
если t = 0, t = 1.

Очевидно, что q непрерывна, q(t) ⩾ 0 на [0, 1]; L .= d2

dt2 + q(t) /∈ T([0, 1]), так как уравнение
Ly = 0 имеет решение y = v(t) и Φ(v, [0, 1]) = 2. Однако

v′′

v =
v′

v

′
+
v′

v

2
⩾
v′

v

′
,

поэтому интеграл
1

0
q(t) dt = −
1
2+δ

1
2 −δ

v′

v

′
dt = −v′

v

1
2+δ

1
2−δ
=
4

1 − 2δ

может быть сделан сколь угодно близким к 4 при достаточно малом δ.
Тем не менее, как показывает нижеследующий пример, условие теоремы 6 не является
необходимым.