Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.2, 517.5

c
⃝ В. Я. Дерр

НЕОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Памяти А. Ю. Левина

Излагаются основы теории неосцилляции решений обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка с новыми доказательствами некоторых основных теорем: признаки
неосцилляции, ее следствия, свойства неосцилляционных уравнений. Для уравнения второго порядка
приводятся новые достаточные признаки неосцилляции.

Ключевые слова: неосцилляция, сопряженные точки, факторизация, обобщенная теорема Ролля, многоточечная краевая задача Валле Пуссена, функция Грина.

Введение

Предлагаемая вниманию читателей статья представляет собой введение в теорию неосцилляции уравнения

Lx .= x(n) + p1(t)x(n−1) + . . . + pn(t)x = 0,
t ∈ I .= (α, β) ⊂ R,
(0.1)

в котором основные факты этой теории изложены в единых терминах и обозначениях. Введение это, достаточно краткое, написано в основном по результатам работ [1–4]. Некоторые из
утверждений снабжены новыми доказательствами. Для уравнения второго порядка получены
новые достаточные условия неосцилляции (см. § 6, п. 5). Сделана попытка переноса некоторых
определений на систему уравнений

x′ − A(t)x = 0,
t ∈ I,
x ∈ Rn.
(0.2)

Здесь pi, i = 1, 2, . . . , n, и элементы n×n -матрицы A локально суммируемые на I функции.
Уравнение (0.1) называется неосцилляционным на промежутке J ⊂ I, если любое его
нетривиальное решение имеет на этом промежутке не более n − 1 нулей, которые подсчитываются с учетом их кратностей. Говорят также, что имеет место неосцилляция решений
уравнения (0.1), или что J — промежуток неосцилляции уравнения (0.1). Например, уравнение
x(n) = 0
(0.3)

неосцилляционно на всей числовой оси, так как любое его нетривиальное решение есть полином
степени не выше n − 1, который может иметь не более n − 1 нулей; так что (−∞, +∞) —
промежуток неосцилляции уравнения (0.3).
Использование термина неосцилляция в указанном смысле в отечественной литературе относится к концу 1950-х годов (введен этот термин, по-видимому, Н. В. Азбелевым). Соответствующий английский термин disconjugacy принадлежит А. Винтнеру [5].
Всюду, если не оговорено иное, будем предполагать, что функции pi, i = 1, 2, . . . , n, локально суммируемы на I.
Пусть T(J) — класс линейных дифференциальных выражений L, для которых уравнение
(0.1) неосцилляционно на промежутке J,

Φ(x, J)
Φ(x, τ)
Неосцилляция решений
57

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

— число нулей с учетом кратностей функции x на промежутке J ⊂ I
в точке τ ∈ I
.
Приведем несколько примеров использования неосцилляции решений уравнения (0.1). Доказательство сформулированных ниже утверждений будет приведено позднее.
1. Вещественная факторизация линейного дифференциального выражения L (G. Polia [6],
G. Mammana [7]).
Для того чтобы имело место разложение

L = hn
d
dthn−1
d
dt · · · d

dth0,
t ∈ (a, b) ⊂ I,
(0.4)

где достаточно гладкие функции hi : I → R, i = 0, 1, . . . , n, не обращаются в нуль на (a, b),
необходимо и достаточно, чтобы L ∈ T
(a, b)
.
2. Обобщенная теорема Ролля (G. Polia [9]).
Пусть L ∈ T(J), функция Lx непрерывна на J, Φ(x, J) ⩾ n + 1. Тогда Φ(Lx, J) ⩾ 1.
3. Разрешимость интерполяционной краевой задачи (называемой также задачей Валле Пуссена) и знакоопределенность её функции Грина.
Рассмотрим краевую задачу

(Lx)(t) = f(t),
t ∈ [a, b] ⊂ I,
(0.5)

x(i)(tj) = cj
(0.6)

(i = 0, . . . , kj − 1; j = 1, . . . , m; a = t1 < . . . < tm = b; k1 + k2 + . . . + km = n).

Условие L ∈ T([a, b]) необходимо и достаточно для однозначной разрешимости всех задач
(0.5)–(0.6) и существования их функции Грина G(t, s). Более того, имеет место следующее
утверждение.
Пусть π(t) .= sign (t − t1)k1(t − t2)k2 · · · (t − tm)km.
Если L ∈ T([a, b]), то
π(t)G(t, s) ⩾ 0,
t, s ∈ [a, b]
(0.7)

(Чичкин Е. С. [10], Левин А. Ю. [1]).
Интересно отметить, что при выполнении некоторых легко проверяемых условий сформулированное утверждение остается справедливым и для обобщенной задачи Валле Пуссена, в
которой общее число краевых условий больше порядка уравнения, k1 + k2 + . . . + km > n (см.
[11]–[13]).
Из последнего утверждения немедленно вытекает следующая теорема о дифференциальном
неравенстве чаплыгинского типа.
Если L ∈ T([a, b]) и

v(i)(tj) = u(i)(tj), i = 0, . . . , kj − 1; j = 1, . . . , m,
(Lv)(t) ⩾ (Lu)(t),
t ∈ [a, b],

то π(t)v(t) ⩾ π(t)u(t),
t ∈ [a, b].
Теорема С. А. Чаплыгина (см. [14]) получается отсюда при m = 1, так как в этом случае
задача (0.5)–(0.6) превращается в задачу Коши (k1 = n, π(t) = 1 при t > a) (см. также
[38, 16]).
4. Разрешимость краевой задачи с интегральными краевыми условиями (R. Bellman [17]).
Рассмотрим краевые условия

lix .=
b

a
x(t) gi(t) dt = ci,
i = 1, 2, . . . , n.
(0.8)

Если L ∈ T([a, b]) и функции g1, g2, . . . , gn образуют чебышевскую систему на [a, b] (см.
ниже), то задача (0.5), (0.8) однозначно разрешима.
Неосцилляция полезна и при исследовании других типов краевых задач, в частности периодической краевой задачи [18]–[23].