Об одном классе почти периодических по Вейлю сечений многозначных отображений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.518.6

c
⃝ Л. И. Данилов

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВЕЙЛЮ
СЕЧЕНИЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1

Рассмотрен класс почти периодических по Вейлю функций, для которых множество ε -почти периодов,
определяемых с помощью псевдометрики Вейля, относительно плотно при всех ε > 0. Для этого класса
функций при некоторых дополнительных ограничениях доказано существование почти периодических
сечений многозначных почти периодических отображений.

Ключевые слова: почти периодическая функция, сечение, многозначное отображение.

Введение

В [1, 2] в связи с исследованием почти периодических (п. п.) дифференциальных включений был поставлен вопрос о существовании п. п. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений
многозначных отображений R ∋ t → F(t) ⊆ H с замкнутыми образами в банаховом пространстве H. Известно, что п. п. по Бору многозначные отображения могут не иметь п. п. по Бору
сечений [3, 4]. С другой стороны, у п. п. по Степанову многозначных отображений всегда существуют п. п. по Степанову сечения. Впервые это было доказано в [5] на основе результатов
Фришковского [6]. Другое доказательство, использующее равномерную аппроксимацию п. п.
по Степанову функций элементарными п. п. по Степанову функциями, приведено в [4]. В [7]
предложен также вариант доказательства, в котором используются «овыпукливание» задачи и
теорема Майкла. Существование п. п. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений у многозначных
п. п. (соответственно по Вейлю и по Безиковичу) отображений было доказано в [8] и [9]. П. п. по
Степанову и п. п. по Вейлю сечения имеются также у многозначных отображений, которые являются носителями п. п. мерозначных функций (но сами могут не быть почти периодическими)
[10, 11]. В настоящей работе (при некоторых дополнительных ограничениях) дается положительный ответ на вопрос (см. [2]) о существовании п. п. по Вейлю сечений многозначных п. п.
по Вейлю отображений, когда рассматривается другой класс п. п. функций, определяемый не с
помощью замыкания в псевдометрике Вейля множества тригонометрических многочленов (или
множества п. п. по Степанову функций), а как класс функций, для которых ε -почти периоды
в псевдометрике Вейля для всех ε > 0 относительно плотны.
В § 1 приведены определения и некоторые утверждения о п. п. функциях, которые используются в дальнейшем. Большинство утверждений о п. п. функциях можно найти в [12, 13].
Многие свойства п. п. по Вейлю функций приведены также в [14]. Разные классы п. п. по Вейлю
функций и соотношения между ними подробно рассмотрены в [15]. Основным результатом
работы является теорема 2, сформулированная в § 1. Доказательство этой теоремы приведено
в § 4. В § 2 собраны вспомогательные результаты. В § 3 доказывается теорема 7 из § 2.

§ 1. Определения, обозначения и основное утверждение

Пусть (U, ρ) — полное метрическое пространство, meas — мера Лебега на R. Функция
f : R → U называется элементарной, если существуют точки xj ∈ U и попарно непересекающиеся измеримые по Лебегу множества Tj ⊆ R, j ∈ N, такие, что meas R \ j
Tj = 0 и

f(t) = xj при t ∈ Tj . Обозначим такую функцию через f(·) = F({xj}, {Tj}; ·). Для произвольных функций fj : R → U, j ∈ N, пусть F({fj}, {Tj}; ·) — функция, совпадающая с fj(·)

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09–01–00403).

Об одном классе почти периодических по Вейлю сечений
35

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

на множествах Tj (функции fj и множества Tj будут нумероваться в дальнейшем также с
помощью нескольких индексов, при этом можно рассматривать и конечное число множеств
Tj , которые всегда можно дополнить пустыми множествами до счетной совокупности). Функция f : R → U (сильно) измерима, если для любого ε > 0 существует элементарная функция
fε : R → U такая, что ρ(f(t), fε(t)) < ε при почти всех (п. в.) t ∈ R. Совокупность измеримых
функций f : R → U обозначим через M(R, U), при этом функции, совпадающие при п. в.
t ∈ R, отождествляются (поэтому измеримые функции и в том числе элементарные функции
F({xj}, {Tj}; ·), а также функции F({fj}, {Tj}; ·) могут не определяться на множествах нулевой меры). Пусть (L∞(R, U), D(ρ)
∞ ) — метрическое пространство в существенном ограниченных
измеримых функций f : R → U с метрикой

D(ρ)
∞ (f, g) = ess sup
t ∈ R
ρ(f(t), g(t)) ,
f, g ∈ L∞(R, U) .

Фиксируем точку x0 ∈ U. Пусть при p ⩾ 1

Mp(R, U) =
f ∈ M(R, U) : sup
ξ ∈ R

ξ+1

ξ
ρ p(f(t), x0) dt < +∞
.

На множестве Mp(R, U) для всех l > 0 определяются метрики

D(ρ)
p, l(f, g) =
sup
ξ ∈ R

1
l

ξ+l

ξ
ρ p(f(t), g(t)) dt
1

p
,
f, g ∈ Mp(R, U).

При l1 ⩾ l справедливы оценки

l

l1

1

p
D(ρ)
p, l(f, g) ⩽ D(ρ)
p, l1(f, g) ⩽
1 + l

l1

1

p
D(ρ)
p, l(f, g),

поэтому все метрики D(ρ)
p, l , l > 0, эквивалентны и существует предел

D(ρ)
p (f, g) =
lim
l → +∞ D(ρ)
p, l(f, g) = inf
l > 0 D(ρ)
p, l(f, g),
f, g ∈ Mp(R, U),

который является псевдометрикой на Mp(R, U).
Если U = (H, ∥.∥) — банахово пространство ( ρ(x, y) = ρH(x, y) = ∥x − y∥,
x, y ∈ H;
ρR(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R ), то для функций f ∈ L∞(R, H) определена норма

∥f∥∞ = ess sup
t ∈ R
∥f(t)∥ ,

а для функций f ∈ Mp(R, H), p ⩾ 1, определены нормы

∥f∥p, l =
sup
ξ ∈ R

1
l

ξ+l

ξ
∥f(t)∥p dt
1

p
,
l > 0,

и полунорма
∥f∥p =
lim
l → +∞ ∥f∥p, l .

В дальнейшем удобно предполагать, что (H, ∥.∥) — комплексное банахово пространство. Если
банахово пространство (H, ∥.∥) вещественное, то можно рассматривать его комплексификацию
H+iH, отождествляя пространство H с вещественным подпространством (норма ∥.∥H+iH на
вещественном подпространстве H совпадает с исходной нормой).
Множество T ⊆ R называется относительно плотным, если существует число a > 0 такое, что [ξ, ξ + a] ∩ T ̸= ∅ для всех ξ ∈ R. Совокупность относительно плотных множеств
T ⊆ R будем обозначать через Srd . Число τ ∈ R называется (ε, D(ρ)
∞ ) -почти периодом (или

Л. И. Данилов

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

просто ε -почти периодом) функции f ∈ L∞(R, U),
ε > 0, если D(ρ)
∞ (f(·), f(· + τ)) < ε.
Непрерывная ограниченная функция f : R → U принадлежит пространству CAP (R, U)
п. п. по Бору функций, если для любого ε > 0 множество (ε, D(ρ)
∞ ) -почти периодов функции
f относительно плотно. Число τ ∈ R называется (ε, D(ρ)
p, l) -почти периодом (соответственно

(ε, D(ρ)
p ) -почти периодом) функции f ∈ Mp(R, U), если D(ρ)
p, l(f(·), f(·+τ)) < ε (соответственно

D(ρ)
p (f(·), f(· + τ)) < ε ). Функция f ∈ Mp(R, U), p ⩾ 1, принадлежит пространству Sp(R, U)
п. п. по Степанову функций степени p, если для любого ε > 0 относительно плотно множество (ε, D(ρ)
p, 1) -почти периодов функции f (вместо метрики D(ρ)
p, 1 можно использовать любую

метрику D(ρ)
p, l , l > 0 ). Функция f ∈ Mp(R, U), p ⩾ 1, принадлежит пространству Wp(R, U)
п. п. по Вейлю функций степени p, если для любого ε > 0 существует число l = l(ε, f) > 0
такое, что множество (ε, D(ρ)
p, l) -почти периодов функции f относительно плотно. Функция
f ∈ Mp(R, U) принадлежит пространству Wp(R, U) тогда и только тогда, когда для любого
ε > 0 найдется функция fε ∈ Sp(R, U) такая, что D(ρ)
p (f, fε) < ε. Если U = (H, ∥.∥) — банахово пространство, то в качестве функций fε можно выбирать тригонометрические многочлены

fε(t) =

N(ε)
j = 1
h(ε)
j e iλ(ε)
j
t,
t ∈ R ,

где N(ε) ∈ N, h(ε)
j
∈ H, λ(ε)
j
∈ R, j = 1, . . . , N(ε). Множество Wp(R, U) замкнуто в псев
дометрическом пространстве (Mp(R, U), D(ρ)
p ). Справедливы вложения Sp(R, U) ⊆ Wp(R, U),
Wp1(R, U) ⊆ Wp(R, U), 1 ⩽ p ⩽ p1 .
Будем далее обозначать через P(ρ)
p (ε; f) множество (ε, D(ρ)
p ) -почти периодов функции
f ∈ Mp(R, U). Функция f ∈ Mp(R, U) принадлежит пространству Wp(R, U),
p ⩾ 1, если для любого ε > 0 множество (ε, D(ρ)
p ) -почти периодов функции f относительно плотно ( P(ρ)
p (ε; f) ∈ Srd ). Если 1 ⩽ p ⩽ p1 , то Wp1(R, U) ⊆ Wp(R, U) и для любой функции
f ∈ Wp1(R, U) и любого числа ε > 0 выполняется вложение P (ρ)
p1 (ε; f) ⊆ P(ρ)
p (ε; f). Для всех
p ⩾ 1 имеем Wp(R, U) ⊆ Wp(R, U), при этом в общем случае пространство Wp(R, U) не совпадает с пространством Wp(R, U). Например, для функции f(t) = sin
|t|, t ∈ R, справедливо
включение f ∈ Wp(R, R) ∩ L∞(R, R), но f /∈ Wp(R, R) (при всех p ⩾ 1 ). Множество Wp(R, U)
замкнуто в псевдометрическом пространстве (Mp(R, U), D(ρ)
p ). В ряде недавних статей почти периодическими по Вейлю функциями степени p называются функции из пространства
Wp(R, U) (см., например, [2, 15]), а для функций f ∈ Wp(R, U) используется название «equiWeyl almost periodic functions». В данной работе функции f ∈ Wp(R, U) также называются п. п.
по Вейлю функциями степени p, но будет уточняться, какому именно из рассматриваемых
пространств ( Wp(R, U) или Wp(R, U) ) они принадлежат.
На пространстве U определим также метрику ρ ′(x, y) = min {1, ρ(x, y)}, x, y ∈ U, эквивалентную метрике ρ в смысле порождаемой топологии; (U, ρ ′) — полное метрическое пространство. Пусть W(R, U) .= W1(R, (U, ρ ′)) — пространство п. п. по Вейлю функций f : R → U
степени 1 со значениями в метрическом пространстве (U, ρ ′). Аналогично определяется пространство W(R, U) .= W1(R, (U, ρ ′)). При этом W1(R, U) ⊆ W(R, U) и W1(R, U) ⊆ W(R, U).
Если f ∈ W1(R, U), то для любого числа ε > 0 справедливо вложение P (ρ)
1 (ε; f) ⊆ P(ρ ′)
1
(ε; f).
Обозначим через cl b U = cl b (U, ρ) совокупность непустых замкнутых ограниченных подмножеств A ⊆ U. На cl b U определяется метрика Хаусдорфа

dist (A, B) = dist ρ(A, B) = max { sup
x ∈ A
ρ(x, B), sup
x ∈ B
ρ(x, A) } ,
A, B ∈ cl b U ,

где ρ(x, F) =
inf
y ∈ F ρ(x, y) — расстояние от точки x ∈ U до непустого множества F ⊆ U.

Пусть cl U = cl (U, ρ) = cl b (U, ρ ′) — совокупность непустых замкнутых подмножеств A ⊆ U