Многократная поимка в примере Понтрягина

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.977.8

c
⃝ А. И. Благодатских

МНОГОКРАТНАЯ ПОИМКА В ПРИМЕРЕ ПОНТРЯГИНА1

Получены достаточные условия многократной поимки в примере Понтрягина с одинаковыми возможностями всех участников.

Ключевые слова: дифференциальные игры, групповое преследование, поимка, многократная поимка,
пример Понтрягина.

Введение

Задача простого группового преследования с равными возможностями впервые рассматривалась Б. Н. Пшеничным [1], были получены необходимые и достаточные условия поимки. Для
задачи с простыми движениями и равными возможностями Н. Л. Григоренко [2] были представлены необходимые и достаточные условия многократной поимки. Н. Н. Петров [3] получил
достаточные условия многократной поимки в примере Л. С. Понтрягина с равными возможностями. В данной работе рассматривается обобщенный нестационарный пример Л. С. Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков, получены достаточные условия многократной и нестрогой одновременной многократной поимки, а для случая
простых движений участников получены необходимые и достаточные условия одновременной
многократной поимки. Управления преследователей, гарантирующие разрешимость указанных
задач не позднее некоторого момента времени, построены в явном виде.
Многократная поимка происходит, если заданное количество преследователей ловят убегающего, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче о нестрогой одновременной
многократной поимке дополнительно к условиям задачи о многократной поимке требуется,
чтобы моменты поимки (не обязательно наименьшие) совпадали. Наконец, в задаче об одновременной многократной поимке добавляется требование о том, чтобы совпадали наименьшие
моменты поимки.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Rν (ν ⩾ 2) рассматривается дифференциальная игра Γ
n + 1 лиц: n
преследователей P1, P2, . . . , Pn и убегающего E с законами движения

x(l)
i
+ a1(t)x(l−1)
i
+ a2(t)x(l−2)
i
+ . . . + al(t)xi = ui,
ui ∈ V,
(1.1)

y(l) + a1(t)y(l−1) + a2(t)y(l−2) + . . . + al(t)y = v,
v ∈ V,
(1.2)

соответственно и начальными условиями (при t = t0)

x(q)
i (t0) = Xq
i ,
y(q)(t0) = Y q, причем X0
i ̸= Y 0 для всех i,
(1.3)

здесь xi, y, ui, v ∈ Rν, V
— строго выпуклый компакт в Rν с гладкой границей такой, что
Int V ̸= ∅, функции a1(t), a2(t), . . . , al(t) непрерывны на промежутке [t0, ∞),

i ∈ I = {1, 2, . . . , n},
q = 0, 1, . . . , l − 1.

1Работа поддержана грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-2817.2008.1) и Российским
фондом фундаментальных исследований (проекты 06–01–00258, 09–01–00403).