Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 486155.0010.99.0001
Доступ онлайн
49 ₽
В корзину
Азбелев, Н. В. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов. - Текст : электронный // Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2009. - №1. - С. 3-23. - URL: https://znanium.com/catalog/product/526954 (дата обращения: 24.11.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929

c
⃝ Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1

Предлагается обзор современного состояния теории функционально-дифференциальных уравнений,
разработанной участниками Пермского семинара. Приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, вариационные задачи, асимптотическое поведение решений.

Введение

В течение последних трех десятилетий участниками Пермского семинара [1] разрабатывалась единая теория широкого обобщения дифференциального уравнения. Проведенные исследования установили тесную связь между многочисленными задачами, изучавшимися ранее вне
связи друг с другом, и позволили предложить более совершенные методы их решения.
В настоящей работе предлагается обзор общей теории и приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач, иллюстрирующие эффективность разработанной теории.

§ 1. Уравнения в пространстве абсолютно непрерывных функций

Во второй половине минувшего века назрела необходимость в общем подходе к многочисленным классам уравнений относительно дифференцируемых функций — дифференциальным,
интегро-дифференциальным, с отклоняющимся аргументом и их многочисленным «гибридам».
В монографии [2] была предложена теория уравнения

˙x = Fx,
(1)

обобщающего обыкновенное дифференциальное. Оператор F здесь действует из банахова пространства ACn абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → Rn в пространство Ln суммируемых z : [a, b] → Rn. Здесь и ниже Rn — пространство векторов α = col{α1, . . . , αn} с
действительными компонентами. Обобщение состоит в замене очень специфического «локального» оператора Немыцкого (Nz)(t) = f(t, x(t)) на общий оператор F : ACn → Ln.
Теория уравнения (1) применима к широким классам уравнений относительно дифференцируемых функций, в том числе к уравнениям с отклоняющимся аргументом. Следует подчеркнуть, что многочисленные исследования уравнений с отклоняющимся аргументом опирались на
концепцию [3, 4, 5], исходящую из специального определения понятия решения как непрерывного продолжения «начальной функции» в силу уравнения. Требование «непрерывной стыковки»
было естественным в случае запаздывающего аргумента и при изучении вопросов, связанных

1Николай Викторович Азбелев (1922–2006) начал свою самостоятельную научную деятельность в Ижевском
механическом институте в 1954 году. За 12 лет пребывания в Ижевске Николай Викторович создал научную
школу, объединённую под названием Ижевский математический семинар. На протяжении всей жизни Николай
Викторович периодически навещал Ижевск и оставался идейным вдохновителем этого семинара. Здесь мы
публикуем последнюю статью Николая Викторовича, написанную им в 2006 г. совместно со своими учениками.
— Главный редактор «Вестника» Е. Л. Тонков.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Пермского края (гранты 06–01–00744-а,
07–01–96060-р-урал-а), программы Рособразования (РНП.2.1.3.7803) и ЗАО «ПРОГНОЗ».

Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

с начальной задачей Коши, но при попытках подойти к краевым задачам или учитывать возможность импульсного воздействия стало приводить к существенным затруднениям. Поясним
сказанное на примере простейшего скалярного уравнения

˙x(t) + p(t)x[h(t)] = ν(t),
t ∈ [a, b].
(2)

Пусть функции p, h и ν определены на отрезке [a, b]. Если «отклоняющийся аргумент» h(t)
принимает значения, выходящие за рамки отрезка [a, b], то уравнение (2) лишено смысла на
множестве функций x, определенных на этом отрезке. В таком случае необходимо ввести в
рассмотрение заданную «начальную функцию» ϕ и записывать уравнение (2) в форме
˙x(t) + p(t)x[h(t)] = ν(t),
t ∈ [a, b],
x(ξ) = ϕ(ξ),
если ξ /∈ [a, b].
(3)

Если h(t) принимает значения как левее, так и правее отрезка [a, b], то в случае непрерывной стыковки требуется выполнение краевых условий

x(a) = ϕ(a),
x(b) = ϕ(b).

В противном случае остается лишь одно условие непрерывной стыковки (( x(a) = ϕ(a) или
x(b) = ϕ(b) ). Таким образом, под решением уравнения (2) предлагается понимать решение
соответствующей краевой задачи. Если h(t) ⩽ t (наиболее актуальный случай «запаздывающего» аргумента), то при естественных предположениях эта задача однозначно разрешима. В
общем же случае такая краевая задача не имеет решения. В работе [6] предложено понятие
решения, применимое к широкому классу уравнений с отклоняющимся аргументом. Сущность
этого определения состоит в отказе от необходимости условий непрерывной стыковки, которые,
кстати сказать, являются лишними с точки зрения определенности операций в левой части (2).
Решением при этом называется абсолютно непрерывная функция x, удовлетворяющая уравнению (2) почти всюду на [a, b].
Уравнение (2) целесообразно записывать, используя линейный оператор «внутренней суперпозиции»

(Shx)(t) def
=

x[h(t)], если h(t) ∈ [a, b],
0, если h(t) /∈ [a, b]

и функцию

ϕh(t) def
=

0, если h(t) ∈ [a, b],
ϕ[h(t)], если h(t) /∈ [a, b].

Тогда уравнение (3) становится линейным:

(Lx)(t) def
= ˙x(t) + p(t)(Shx)(t) = f(t),
f(t) def
= ν(t) − p(t)ϕh(t).

Начальная функция ϕ нашла свое место в правой части уравнения в качестве составляющей
свободного члена.
Линейное уравнение с «сосредоточенным отклонением аргумента»

(Lx)(t) def
= ˙x(t) +

m
k=1
Pk(t)(Shkx)(t) = f(t),
(4)

где n × n -матрицы Pk имеют суммируемые элементы, f ∈ Ln и функции hk измеримы,
является частным случаем уравнения

(Lx)(t) def
= ˙x(t) +
b

a
dsR(t, s)x(s) = f(t),

Функционально-дифференциальные уравнения
5

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

так как (Shx)(t) =
b

a
dsR0(t, s)x(s), где R0(t, s) = −σ(t, s)E,
E — единичная матрица,

σ(t, s) — характеристическая функция множества

{(t, s) ∈ [a, b] × [a, b] : a ⩽ s ⩽ h(t) < b} ∪ {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b) : h(t) = b}.

При hk(t) ⩽ t уравнение (4) является частным уравнения с «распределенным запаздыванием аргумента»

(Lx)(t) def
= ˙x(t) +
t

a
dsR(t, s)x(s) = f(t).
(5)

Важнейшим результатом отказа от классических тенденций в изучении уравнений с запаздывающим аргументом следует считать представление общего решения уравнения (5) в форме

x(t) = C(t, a)x(a) +
t

a
C(t, s)f(s)ds.
(6)

Здесь «функция Коши» C(t, s) является ядром интегрального представления решения

x(t) =
t

a
C(t, s)f(s)ds

полуоднородной задачи Коши

˙x(t) +
t

a
dsR(t, s) x(s) = f(t),
x(a) = 0.
(7)

Отметим, что для обыкновенного дифференциального уравнения C(t, s) = X(t)X −1(s), где
X(t) — матрица фундаментальной системы решений однородного уравнения Lx = 0.
Доказательство представления (6) приведено в [2, 7, 8, 9] и основано на взаимно-однозначном соответствии решений x ∈ ACn задачи (7) и решений z ∈ Ln интегрального уравнения

z(t) −
t

a
R(t, s)z(s)ds = f(t).
(8)

Действительно, положив R(t, t) = 0, получаем с помощью подстановки x(t) =
t

a
z(s) ds,

˙x = z, x(a) = 0 и интегрирования по частям уравнение

z(t) +
t

a
dsR(t, s)
s

a
z(τ) dτ ≡ z(t) −
t

a
R(t, s)z(s) ds = f(t).

В естественных предположениях интегральный оператор Вольтерры в пространстве Ln

слабо вполне непрерывен. Спектральный радиус такого оператора равен нулю. Поэтому для
уравнения (8) сходятся последовательные приближения:

z(t) = f(t) + (Rf)(t) + (R2f)(t) + . . . = f(t) + (Hf)(t),

где (Rf)(t) =
t

a
R(t, s)f(s) ds. Здесь резольвента

(Hf)(t) =
t

a
H(t, s)f(s) ds

и, таким образом,

x(t) =
t

a

f(s) +
s

a
H(s, τ)f(τ)dτ
ds =
t

a
C(t, s)f(s) ds,

Доступ онлайн
49 ₽
В корзину