Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Математика
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Год издания: 2009
Кол-во страниц: 21
Дополнительно
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2009. Вып. 1 МАТЕМАТИКА УДК 517.929 c ⃝ Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1 Предлагается обзор современного состояния теории функционально-дифференциальных уравнений, разработанной участниками Пермского семинара. Приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач. Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, вариационные задачи, асимптотическое поведение решений. Введение В течение последних трех десятилетий участниками Пермского семинара [1] разрабатывалась единая теория широкого обобщения дифференциального уравнения. Проведенные исследования установили тесную связь между многочисленными задачами, изучавшимися ранее вне связи друг с другом, и позволили предложить более совершенные методы их решения. В настоящей работе предлагается обзор общей теории и приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач, иллюстрирующие эффективность разработанной теории. § 1. Уравнения в пространстве абсолютно непрерывных функций Во второй половине минувшего века назрела необходимость в общем подходе к многочисленным классам уравнений относительно дифференцируемых функций — дифференциальным, интегро-дифференциальным, с отклоняющимся аргументом и их многочисленным «гибридам». В монографии [2] была предложена теория уравнения ˙x = Fx, (1) обобщающего обыкновенное дифференциальное. Оператор F здесь действует из банахова пространства ACn абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → Rn в пространство Ln суммируемых z : [a, b] → Rn. Здесь и ниже Rn — пространство векторов α = col{α1, . . . , αn} с действительными компонентами. Обобщение состоит в замене очень специфического «локального» оператора Немыцкого (Nz)(t) = f(t, x(t)) на общий оператор F : ACn → Ln. Теория уравнения (1) применима к широким классам уравнений относительно дифференцируемых функций, в том числе к уравнениям с отклоняющимся аргументом. Следует подчеркнуть, что многочисленные исследования уравнений с отклоняющимся аргументом опирались на концепцию [3, 4, 5], исходящую из специального определения понятия решения как непрерывного продолжения «начальной функции» в силу уравнения. Требование «непрерывной стыковки» было естественным в случае запаздывающего аргумента и при изучении вопросов, связанных 1Николай Викторович Азбелев (1922–2006) начал свою самостоятельную научную деятельность в Ижевском механическом институте в 1954 году. За 12 лет пребывания в Ижевске Николай Викторович создал научную школу, объединённую под названием Ижевский математический семинар. На протяжении всей жизни Николай Викторович периодически навещал Ижевск и оставался идейным вдохновителем этого семинара. Здесь мы публикуем последнюю статью Николая Викторовича, написанную им в 2006 г. совместно со своими учениками. — Главный редактор «Вестника» Е. Л. Тонков. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Пермского края (гранты 06–01–00744-а, 07–01–96060-р-урал-а), программы Рособразования (РНП.2.1.3.7803) и ЗАО «ПРОГНОЗ».
Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов МАТЕМАТИКА 2009. Вып. 1 с начальной задачей Коши, но при попытках подойти к краевым задачам или учитывать возможность импульсного воздействия стало приводить к существенным затруднениям. Поясним сказанное на примере простейшего скалярного уравнения ˙x(t) + p(t)x[h(t)] = ν(t), t ∈ [a, b]. (2) Пусть функции p, h и ν определены на отрезке [a, b]. Если «отклоняющийся аргумент» h(t) принимает значения, выходящие за рамки отрезка [a, b], то уравнение (2) лишено смысла на множестве функций x, определенных на этом отрезке. В таком случае необходимо ввести в рассмотрение заданную «начальную функцию» ϕ и записывать уравнение (2) в форме ˙x(t) + p(t)x[h(t)] = ν(t), t ∈ [a, b], x(ξ) = ϕ(ξ), если ξ /∈ [a, b]. (3) Если h(t) принимает значения как левее, так и правее отрезка [a, b], то в случае непрерывной стыковки требуется выполнение краевых условий x(a) = ϕ(a), x(b) = ϕ(b). В противном случае остается лишь одно условие непрерывной стыковки (( x(a) = ϕ(a) или x(b) = ϕ(b) ). Таким образом, под решением уравнения (2) предлагается понимать решение соответствующей краевой задачи. Если h(t) ⩽ t (наиболее актуальный случай «запаздывающего» аргумента), то при естественных предположениях эта задача однозначно разрешима. В общем же случае такая краевая задача не имеет решения. В работе [6] предложено понятие решения, применимое к широкому классу уравнений с отклоняющимся аргументом. Сущность этого определения состоит в отказе от необходимости условий непрерывной стыковки, которые, кстати сказать, являются лишними с точки зрения определенности операций в левой части (2). Решением при этом называется абсолютно непрерывная функция x, удовлетворяющая уравнению (2) почти всюду на [a, b]. Уравнение (2) целесообразно записывать, используя линейный оператор «внутренней суперпозиции» (Shx)(t) def = x[h(t)], если h(t) ∈ [a, b], 0, если h(t) /∈ [a, b] и функцию ϕh(t) def = 0, если h(t) ∈ [a, b], ϕ[h(t)], если h(t) /∈ [a, b]. Тогда уравнение (3) становится линейным: (Lx)(t) def = ˙x(t) + p(t)(Shx)(t) = f(t), f(t) def = ν(t) − p(t)ϕh(t). Начальная функция ϕ нашла свое место в правой части уравнения в качестве составляющей свободного члена. Линейное уравнение с «сосредоточенным отклонением аргумента» (Lx)(t) def = ˙x(t) + m k=1 Pk(t)(Shkx)(t) = f(t), (4) где n × n -матрицы Pk имеют суммируемые элементы, f ∈ Ln и функции hk измеримы, является частным случаем уравнения (Lx)(t) def = ˙x(t) + b a dsR(t, s)x(s) = f(t),
Функционально-дифференциальные уравнения 5 МАТЕМАТИКА 2009. Вып. 1 так как (Shx)(t) = b a dsR0(t, s)x(s), где R0(t, s) = −σ(t, s)E, E — единичная матрица, σ(t, s) — характеристическая функция множества {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b] : a ⩽ s ⩽ h(t) < b} ∪ {(t, s) ∈ [a, b] × [a, b) : h(t) = b}. При hk(t) ⩽ t уравнение (4) является частным уравнения с «распределенным запаздыванием аргумента» (Lx)(t) def = ˙x(t) + t a dsR(t, s)x(s) = f(t). (5) Важнейшим результатом отказа от классических тенденций в изучении уравнений с запаздывающим аргументом следует считать представление общего решения уравнения (5) в форме x(t) = C(t, a)x(a) + t a C(t, s)f(s)ds. (6) Здесь «функция Коши» C(t, s) является ядром интегрального представления решения x(t) = t a C(t, s)f(s)ds полуоднородной задачи Коши ˙x(t) + t a dsR(t, s) x(s) = f(t), x(a) = 0. (7) Отметим, что для обыкновенного дифференциального уравнения C(t, s) = X(t)X −1(s), где X(t) — матрица фундаментальной системы решений однородного уравнения Lx = 0. Доказательство представления (6) приведено в [2, 7, 8, 9] и основано на взаимно-однозначном соответствии решений x ∈ ACn задачи (7) и решений z ∈ Ln интегрального уравнения z(t) − t a R(t, s)z(s)ds = f(t). (8) Действительно, положив R(t, t) = 0, получаем с помощью подстановки x(t) = t a z(s) ds, ˙x = z, x(a) = 0 и интегрирования по частям уравнение z(t) + t a dsR(t, s) s a z(τ) dτ ≡ z(t) − t a R(t, s)z(s) ds = f(t). В естественных предположениях интегральный оператор Вольтерры в пространстве Ln слабо вполне непрерывен. Спектральный радиус такого оператора равен нулю. Поэтому для уравнения (8) сходятся последовательные приближения: z(t) = f(t) + (Rf)(t) + (R2f)(t) + . . . = f(t) + (Hf)(t), где (Rf)(t) = t a R(t, s)f(s) ds. Здесь резольвента (Hf)(t) = t a H(t, s)f(s) ds и, таким образом, x(t) = t a f(s) + s a H(s, τ)f(τ)dτ ds = t a C(t, s)f(s) ds,