Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования

«ЮжНыЙ ФЕДЕРАЛЬНыЙ уНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

А. О. ВАТУЛЬЯН

А. Н. СОЛОВЬЕВ

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ 

ОДНОРОДНЫХ  И НЕОДНОРОДНЫХ

 УПРУГИХ И ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТЕЛ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2008

уДК 539.2/.6
ББК 22.251
       В 21

Печатается по решению редакционно-издательского

 совета Южного федерального университета

Ответственный редактор

доктор физико-математических наук, профессор ЮФу Боев Н. В.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор ЮФу Наседкин А. В.,
доктор технических наук, профессор, зав. лаб. ЮНЦ РАН Шевцов С. Н.

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта 

«Образование» по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения высшего профессионального образования 

“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Ватульян А. О., Соловьев А. Н.  

Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих 

и электроупругих тел: монография / А. О. Ватульян, А. Н. Соловьев. – 
Ростов н/Д: Изд-во ЮФу, 2008. – 176 с.

ISBN 978-5-9275-0500-5
В монографии рассмотрены граничные и коэффициентные обратные зада
чи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел, в которых 
дополнительной информацией для их решения являются граничные волновые 
поля, измеренные в поверхностных или частотных областях. Изложен метод 
неклассических граничных интегральных уравнений первого рода с гладкими ядрами и его применение к решению граничных задач по определению 
векторов смещений и напряжений на недоступных для измерения участках 
границы. Предоставлены методы определения пьезоэлектрических характеристик неравномерно поляризованных стержневых пьезоэлементов. Доказаны 
теоремы единственности решения обратных задач, приведены численные примеры их решений, в том числе на основе сочетания граничных интегральных 
уравнений и метода конечных элементов.

Предназначена для научных и инженерно-технических работников в об
ласти механики деформируемого твердого тела, численных методов, проектирования и применения пьезоэлектрических преобразователей, для студентов 
старших курсов и аспирантов, специализирующихся по направлениям «механика», «прикладная механика», «прикладная математика», «приборостроение».

ISBN 978-5-9275-0500-5 
 
 
 
 
        УДК 539.2/.6

 
  
 
 
 
 
 
        ББК 22.251

© Ватульян А. О., Соловьев А. Н., 2008
© Южный федеральный университет, 2008
© Оформление. Макет. Издательство
   Южного федерального университета, 2008

В 21

ВВЕДЕНИЕ

Интерес к расчетам на прочность и колебания составных

упругих и электроупругих тел продиктованы многочисленными приложениями пьезоэлектрических преобразователей в
различных областях науки и техники. Прямые задачи для
составных упругих, электроупругих и акустических тел моделируют функционирование разнообразных пьезоэлектрических устройств, широко применяемых в разных предметных
областях, где используются пьезоустройства (неразрушающий контроль, медицинская диагностика и т. д.).

Работа посвящена разработке методов решения прямых и

обратных задач теории упругости и электроупругости для тел
конечных размеров. Работа состоит из двух частей, первая из
которых включает в себя первую и вторую главы и посвящена разработке и реализации методов решения прямых задач.
В качестве методов решения прямых задач в работе развивается метод неклассических граничных интегральных уравнений (ГИУ).

Разработке неклассических ГИУ, основанных на методе,

предложенном А. В. Белоконем [13], в частности в динамических задачах электроупругости, посвящены работы [17], [18],
[19], [105]–[108], [85], [86], в которых построены ГИУ для тел
ограниченных
координатными
поверхностями
(прямо
угольник), однако для тел более сложной формы прямое применение этих методов невозможно. Говоря о методах решения
задач электроупругости, разработанных в ростовской школе
механики, следует отметить первые в этом направлении работы Ю. А. Устинова и его учеников [83, 58]. Линейная теория электроупругости к настоящему моменту является широко используемой математической моделью с большой степенью адекватности в описании функционирования пьезоэлект

рических устройств. В построение этой модели и изучение
ее свойств внесли вклад многие отечественные и зарубежные исследователи, среди них: И. И. Ворович, В. А. Бабешко,
А. В. Белоконь, А. О. Ватульян, И. П. Гетман, В. Т. Гринченко, В. В. Калинчук, С. А. Калоеров, Б. А. Кудрявцев,
Ж. Можен, А. В. Наседкин, В. Новацкий, В. З. Партон,
О. Д. Пряхина, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, Г. А. Шинкаренко,
Н.
А.
Шульга,
R.
Hollahd,
E.
P.
Eer
Nisse,

R. D. Mindlin, H. F. Tiersten и другие. Несмотря на бурное развитие МКЭ применительно к различным областям механики
деформируемого твердого тела, построению методов решения
краевых задач, основанных на ГИУ, с дальнейшим применением метода граничных элементов (МГЭ) посвящается много
работ в отечественной и мировой литературе. Этот интерес
связан с тем, что применение метода ГИУ снижает размерность задачи, что особенно важно при решении трехмерных
задач, а также возможностью применения ГИУ в проблемах,
где прямое применение МКЭ и других численных методов
невозможно.

Математическое моделирование различных явлений и про
цессов в естествознании во многих случаях приводит к описанию их с помощью краевых задач с эллиптическими операторами. К этому классу операторов относятся операторы Лапласа и Гельмгольца, операторы, описывающие равновесие и
установившиеся колебания в анизотропной теории упругости,
электроупругости, магнитоупругости и других моделях.

Для большинства краевых задач для этих операторов в

случае достаточно сложной геометрии области точное решение построить не удается, и возникает проблема эффективного численного анализа задачи. В настоящее время наиболее
распространенными являются метод конечных разностей, метод конечных элементов, а также метод ГИУ и основанный
на нем метод граничных элементов.

Родоначальником метода ГИУ можно назвать И. Фред
гольма, который впервые свел краевую задачу для оператора Лапласа к интегральному уравнению по границе области,
используя понятие фундаментального решения и теоремы о
предельных значениях потенциалов простого и двойного слоев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах грузинской школы математиков, возглавляемой В. Д. Купрадзе.
В этих работах построены и исследованы системы ГИУ для
задач изотропной теории упругости и термоупругости
[76,

77]. В 70-х и 80-х годах метод ГИУ в его дискретном варианте – методе граничных элементов (МГЭ – англ. BEM) – стал
бурно развиваться в западных странах, был распространен
на некоторые классы нелинейных задач на основе метода последовательных приближений. Достаточно полное представление о методике и возможностях этого способа можно найти
в монографиях [24, 20, 128]. В этой связи следует отметить
замечательную обзорную работу [136], посвященную истории
развития МГЭ.

Построение ГИУ во всех этих случаях опирается на фунда
ментальные и сингулярные решения соответствующего дифференциального оператора, формулы Грина или ГауссаОстроградского, основные теоремы, аналогичные теоремам
теории потенциала. К сожалению, для многих операторов, которые не обладают свойством сферической симметрии (анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоэлектроупругости) построить фундаментальные решения в явном
виде не удается; возможно лишь построение их интегральных
представлений на базе интегрального преобразования Фурье,
крупным шагом в этом направлении явились работы одного
из авторов настоящей монографии, его учеников и последователей [40, 30, 236, 39].

Обзоры зарубежных исследований в области построения

и использования методов ГИУ, МГЭ и МКЭ можно найти

в [137], а также в цикле работ J. Mackerle [188, 189, 190, 191],
в частности, работа [189] посвящена сравнительному аналитическому анализу применения МКЭ и МГЭ в различных областях,
а
также
информационным
ресурсам
и
програм
мным комплексам. Некоторый анализ публикаций последних
лет, посвященных ГИУ и МГЭ, показывает, что исследования ведутся в нескольких направлениях: развитие новых вариантов этих методов – слабосингулярные и несингулярные
[139, 123] (обзор имеется в [183], граничные узловые методы
(BNM) [238], бессеточные методы (Meshless или MFree) [159],
использование аппроксимаций высокого порядка, в том числе
в описании границы [192, 252], сочетание нескольких методов,
например, МГЭ – МКЭ [226, 154, 153, 202] и другие модификации [237, 171, 162, 202, 240, 248, 208, 234]; многочисленные
применения в решении прямых задач для тел с дефектами,
включениями, полостями, трещинами, как в статических, так
и в динамических постановках, с изучением условий разрушения и движения трещин [148, 193, 226, 239, 180, 147, 224, 157,
143, 249, 243, 216, 121, 219, 149, 213, 248, 174, 129, 152, 192, 250,
245, 150, 251]; применениe и развитие для сред с усложненными физическими свойствами – термопьезоэлектрики, функционально неоднородные материалы (FGM), композитные материалы и контактные задачи [141, 140, 147, 207, 224, 225, 215,
157, 186, 218, 217, 185, 184, 250, 194, 223, 214]; применение в
различных обратных задачах (обзор будет дан ниже).

Следует отметить (согласно [136], что общее число пуб
ликаций, посвященных тематике ГИУ и МГЭ меньше, чем
работ в областях МКЭ (примерно в шесть раз) и конечноразностных методов (примерно в два раза), однако их число
продолжает возрастать (пик приходится на 1998, 1999 гг.), как
следует из диаграммы, приведенной в той же работе (рис. 1).
Этот рост связан как с расширением областей применения,
так и с построением новых вариантов этих методов. Одним

Рис. 1: В

из обстоятельств, инициирующих эти построения, является
отсутствие явных представлений ядер интегральных операторов в получаемых системах ГИУ, в частности для анизотропных тел при дискретизации этот подход приводит к необходимости вычисления большого количества кратных нерегулярных интегралов, что в значительной степени снижает эффективность МГЭ. Поэтому в последние годы возрос интерес
к построению систем неклассических ГИУ без использования
фундаментальных решений. В связи с этим следует отметить
работы В. А. Бабешко [10, 9], в которых предложен МГИУ
первого рода с гладкими ядрами и работы А. О. Ватульяна
и его учеников [26, 41, 27, 56, 42], в которых этот метод получил дальнейшее развитие. Среди работ этого направления
отметим работу М. А. Сумбатяна [115], в которой для соот
Рис. 1

ветствующего граничного уравнения для задачи Гельмгольца
в плоской области с гладкой границей предложен специальный проекционный метод, сводящий соответствующее ГИУ
к квазивполнерегулярной бесконечной алгебраической системе. Однако последний вариант этого метода невозможно было применить к операторам с нулевыми компонентами характеристического уравнения (операторы Лапласа, статической
теории упругости, электроупругости), и в работах [37, 50, 38,
43, 49, 47, 45] предложена модификация метода ГИУ первого
рода, в рамках которой возможно решение краевых задач для
этих операторов. Кроме того, для эллиптических операторов
в последнее время ставятся неклассические краевые задачи, в
которых по переопределенной информации на части границы
требуется найти граничные поля на оставшейся части, решение таких некорректных задач основано на сведении краевых
задач к системам неклассических ГИУ [29, 52] и их анализе.

Первая глава настоящей монографии посвящена постро
ению неклассических ГИУ и их численной реализации в краевых задачах с эллиптическими операторами. В п. 1.1 рассматриваются краевые задачи для эллиптических операторов в конечной области. К дифференциальным уравнениям
движения применяется преобразование Фурье, и ГИУ формулируются на основе анализа характеристического многочлена и свойства аналитичности образов Фурье для функций с компактными носителями. Следует отметить, что ядра полученных ГИУ являются гладкими функциями, а сами
уравнения относятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода. Решение полученных ГИУ сводится к обращению вполне непрерывных операторов, а эта процедура в общем случае является некорректной и требует регуляризации.
В п. 1.2 предлагается один из возможных способов решения
сформулированных ГИУ на основе идей МГЭ и регуляризации А. Н. Тихонова. В п. 1.3 приводятся примеры численной

реализации построенных ГИУ и их конечномерных аналогов.
В п. 1.4 предложенная методика распространяется на случай
составных анизотропных упругих тел, рассмотрен модельный
пример.

Вторая глава книги посвящена построению неклассиче
ских ГИУ в электроупругости. В п. 2.1 развитая в первой
главе общая методика применяется к оператору электроупругости, и на основе характеристического оператора формулируются соответствующая система ГИУ. Пункт 2.2 посвящен
некоторым частным реализациям предложенного метода, задачам об антиплоских и плоских колебаниях электроупругого
тела. В приведенных численных примерах исследуется вопросы сходимости, осуществлено сравнение с точными решениями и решениями, полученными МКЭ в ACELAN.

Вторая часть монографии, состоящая из третьей и чет
вертой глав, посвящена относительно новому направлению
современной механики – постановкам и разработке методов
решения обратных задач в анизотропной теории упругости
и электроупругости, ряд аспектов которых отражен в новой
монографии [28].

Это граничные обратные задачи (глава 3) и обратные ко
эффициентные задачи электроупругости (глава 4).

Отметим, что современная инженерная практика основана

на моделировании явлений и процессов, встречающихся в различных сферах деятельности. Стремление познавать окружающий мир, осуществлять краткосрочное и долгосрочное прогнозирование и управление приводит исследователя к некоторой идеализации окружающих предметов и явлений и построению некоторых математических моделей, отличающихся уровнем и детализацией. Для описания поведения некоторого процесса или явления и использования некоторой математической модели необходимо знание некоторых физических параметров или функций, использующихся в ней. Эти

параметры или функции обычно определяются из результатов наблюдений или экспериментов по косвенным проявлениям и требуют решения некоторых обратных задач, для которых характерно обращение причинно-следственных связей.
Проблема идентификации нагрузок, свойств объектов является одной из важнейших задач математического моделирования в механике деформируемого твердого тела и в электроупругости в частности.

Для введения в некоторые аспекты методологии матема
тического моделирования и решения проблем идентификации
материалов, нагрузок по данным косвенных измерений требуется некоторая дополнительная подготовка в области математического моделирования обратных задач, знакомство с математическими аспектами построения их решений. Отметим,
что с точки зрения соотношения причина–следствие все задачи математического моделирования можно разбить на два
больших класса: прямые задачи и обратные задачи. Заметим, что для современного исследователя необходимо четкое
понимание различий, как в постановке, так и в методах решения прямых и обратных задач. С точки зрения соотношения причина–следствие для прямых задач известны только причины, поэтому требуется найти следствия. В качестве
причин могут фигурировать следующие факторы.

1. Начальные условия для модели.
2. Коэффициенты дифференциальных операторов, описы
вающих модель.

3. Граничные условия.
4. Область, занятая изучаемым объектом (геометрия обла
сти).

В качестве следствий в механике и физике используют
ся обычно компоненты физических полей (перемещения, напряжения, деформации, температура, электрический потенциал). Прямые задачи составляют суть современной меха