Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2008, №37
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Кубанский государственный аграрный университет
Наименование: Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета
Год издания: 2008
Кол-во страниц: 239
Дополнительно
Вид издания:
Журнал
Артикул: 640650.0001.99
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 1 УДК 303.732.4 UDC 303.732.4 НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА И ОБСУЖДЕНИЕ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ СИСТЕМНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМНОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ (Часть 1-я: задачи 1–3) INFORMAL STATEMENT AND DISCUSSION OF PROBLEMS, COMING OUT UNDER SYSTEMIC SET THEORY GENERALIZATION ON THE BASIS OF SYSTEMIC INFORMATION THEORY Луценко Евгений Вениаминович д. э. н., к. т. н., профессор Lutsenko Evgeny Veniaminovich Dr. Sci. Econ., Cand. Tech. Sci., professor Кубанский государственный аграрный Университет, Краснодар, Россия Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia Ранее автором была обоснована идея системного обобщения математики и сделан первый шаг по ее реализации: предложен вариант системной теории информации. В данной статье осуществлена попытка сделать второй шаг в этом же направлении: на концептуальном уровне рассматривается один из возможных подходов к системному обобщению математического понятия множества, а именно – подход, основанный на системной теории информации. Предполагается, что этот подход может стать основой для системного обобщения теории множеств. The idea of systemic generalization of mathematics was substantiated by the author and the first step on its realization was done: variant of systemic information theory was proposed. There was done an attempt to do the second step in the same way: one of the possible approaches to the systemic generalization of mathematic understanding of set on the conceptual level, namely the approach, based on systemic information theory. It is supposed that this approach can become the basic one for systemic generalization of set theory and creation of mathematic theory of systems. Ключевые слова: МНОЖЕСТВО, ТОЧКА, ПОДМНОЖЕСТВО, СИСТЕМА, ПОДСИСТЕМА, СПЛАЙН, ИНФОРМАЦИЯ, ИЕРАРХИЯ, СТРУКТУРА, ЭЛЕМЕНТ, ПОЛИНОМ, ВЕЙВЛЕТ, ПРОСТРАНСТВО Key words: SET, POINT, SUBSET, SYSTEM, SUBSYSTEM, SPLINE, INFORMATION, HIERARCHY, STRUCTURE, ELEMENT, POLYNOM, WAVELET, SPACE. Данная статья является продолжением работы [19], в которой была обоснована перспективная программная идея системного обобщения ма тематики и сделан первый шаг по ее реализации: предложен вариант сис темной теории информации. Необходимо отметить, что впервые эта идея в явной форме была сформулирована автором в 2005 году в работе [16], а системная теория информации (СТИ) предложена в 2002 году [9], сами же идеи и математические модели развивались и ранее [1–8] c 1981 года. В статье поставлена цель – сделать второй шаг в том же направле нии: на концептуальном уровне (без разработки математического форма лизма) рассмотреть один из возможных подходов к системному обоб щению математического понятия множества, а именно – подход, ос нованный на системной теории информации. Предполагается, что этот
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 2 или подобный подход может способствовать созданию математической теории систем как системного обобщения теории множеств, что являет ся весьма актуальным как для самой математики, так и для наук, исполь зующих математику. Для достижения данной цели осуществим ее декомпозицию в после довательность задач, являющихся этапами ее достижения: Задача 1: найти способ представления системы как совокупности взаимосвязанных множеств. Задача 2: сформулировать, чем отличаются друг от друга различные системы, состоящие из одних и тех же базисных элементов. Задача 3: обосновать принципы геометрической интерпретации по нятий: "элемент системы" и "система". Задача 4: предложить способы аналитического описания (задания) подсистем как элементов системы. Задача 5: описать системное семантическое пространство для ото бражения систем в форме эйдосов (эйдос-пространство, термин автора). Задача 6: описать принцип формирования эйдосов (включая зеркаль ные части). Задача 7: показать, что базовая когнитивная концепция [9] формали зуется многослойной системой эйдос-пространств различных размерно стей. Задача 8: показать, что системная теория информации позволяет не посредственно на основе эмпирических данных определять вид функций принадлежности, т.е. решать одну из основных задач теории нечетких множеств. Задача 9: сформулировать перспективы, в т.ч. подходы к разработке операций с системами: объединение (сложение), пересечение (умножение), вычитание. Привести предварительные соображения по сложению систем.
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 3 Кратко, на концептуальном уровне, т.е. на уровне идей, без разра ботки соответствующего математического формализма рассмотрим предлагаемый вариант решения этих задач. Задача 1: найти способ представления системы как совокупности взаимосвязанных множеств. Для того чтобы получить системное обобщение теории множеств, необходимо найти способ представления системы как совокупности взаи мосвязанных множеств. Ожидается, что это позволит с минимальными до работками применить прекрасно разработанный аппарат теории множеств для описания систем. Определение 1: 1. Система есть иерархическая структура подсистем. 2. В каждой системе существует нулевой наиболее фундаменталь ный уровень иерархии, представляющий собой классическое множество базисных элементов, не имеющих никаких свойств. 3. Каждая подсистема относится к определенному уровню иерархии системы, который определяется только количеством базисных элемен тов в данной подсистеме. 4. Элементами подсистем каждого уровня иерархии являются как подсистемы предыдущих более фундаментальных уровней иерархии, так и базисные элементы. Таким образом, будем считать, что система отличается от множества базисных элементов, из которых она состоит, тем, что эти элементы обра зуют подсистемы различной структуры и сложности (рисунок 1). В простейшем случае можно считать, что элементы системы (под системы) не имеют внутренней структуры, т.е. не включают в себя подсис тем, а являются подмножествами базисного множества, состоящими не посредственно из базисных элементов. На рисунке 2 показаны как элемен
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 4 ты-подмножества базисного уровня (23, 456 78910: отмечены зеленым цве том), так и элементы-подсистемы, включающие не только непосредствен но элементы базисного уровня, но и их подмножества или подсистемы (123, 23456, 45678910: отмечены желтым цветом). Рисунок 1 – Элементы-подсистемы различных уровней иерархии системы Рисунок 2 – Элементы-подмножества и элементы-подсистемы различных уровней иерархии системы Из рисунка 2 также видно, что различие между элементами подмножествами и элементами-подсистемами возникает только для эле
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года
http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf
5
ментов, начиная со 2-го уровня иерархии, т.к. только для этих элементов
возможен уровень сложности, достаточный для существования этого раз
личия [17], основанного на наличии подсистем. Например, видно, что
элемент-подсистема 123 отличается от элемента-подмножества 456 нали
чием внутренней структуры, т.е. тем, что включает не только базисный
элемент 1, но и подсистему 23, при этом и оба элемента: и 123, и 456 отно
сятся ко 2-му уровню иерархии системы.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что два элемента тож
дественны, если они состоят из одних и тех же базисных элементов и у
них тождественна структура. Отметим, что поскольку у множеств нет
структуры, то для тождества множеств достаточно тождества входящих в
них элементов.
Для системы, состоящей из элементов-множеств, можно применять
термин "аморфная система" (например: газ или жидкость), а из элементов
систем – "структурированная система" (например: кристалл, фрактал).
Аморфные и структурированные системы, состоящие из одних и тех же
базисных элементов, можно считать различными фазовыми состояниями
одной системы, отличающимися уровнем системности [17, 18].
Задача 2: сформулировать, чем отличаются друг от друга раз
личные системы, состоящие из одних и тех же базисных элементов.
Для того чтобы решить эту задачу, сформулируем несколько опреде
лений.
Определение 2:
Полной или максимальной системой будем называть такую систе
му, в которой реализуются все формально возможные сочетания базис
ных элементов.
Таким образом, если в системе имеется n базисных элементов, то
полная система включает
m
n
C
подсистем, представляющих собой сочета
ния базисных элементов по m, где m={1, 2, 3, ..., n}. Подсистемы полной
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 6 системы можно классифицировать различными способами, но одним из наиболее простых и естественных является классификация по их мощно сти (в смысле теории множеств), т.е. по количеству входящих в них ба зисных элементов. Определение 3: Мощностью подсистемы будем называть количество входящих в нее базисных элементов. Определение 4: k-й уровень иерархии системы состоит из всех ее подсистем мощ ности (k+1). Из определений 3 и 4 следует, что: 1-й уровень иерархии системы состоит из подсистем, включающих 2 базисных элемента; 2-й уровень иерархии системы состоит из подсистем, включающих 3 базисных элемента; ....................... k-й уровень иерархии системы состоит из подсистем, включающих (k+1) базисных элемента. Из этих определений следует также, что базисный уровень является 0-м (нулевым) уровнем иерархии системы и состоит из подсистем мощно сти 1. Это означает, что сами базисные элементы можно рассматривать как подсистемы, имеющие мощность, равную 1, т.е. в определенном смысле можно считать, что базисный элемент состоит из самого себя, в отличие от элементов других иерархических уровней системы, которые включают ба зисные элементы, но сами себя не включают. Необходимо отметить, что если бы элементы различных иерархических уровней системы включали не только базисные элементы, но и самих себя, то мощность подсистем различных уровней изменялась бы следующим образом: – элементы 0-го уровня иерархии, т.е. базисные элементы: мощность 1;
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 7 – элементы 1-го уровня иерархии: мощность 3 (2 базисных элемента + 1, т.к. элемент включает сам себя); – элементы 2-го уровня иерархии: мощность 4 (3 базисных элемента + 1, т.к. элемент включает сам себя); ......................... – элементы k-го уровня иерархии: мощность (k+2) ((k+1) базисных эле мента + 1, т.к. элемент включает сам себя), что, как мы считаем, неприемлемым, т.к. это нарушает простую и очевид ную логическую последовательность между 0-м и 1-м уровнями иерархии. Определение 5: Реальной системой будем называть систему, в которой реализуют ся не все формально-возможные сочетания базисных элементов, а лишь некоторые из них. В этом случае возникает естественный и закономерный вопрос: "По какой причине получается так, что в реальной системе реализуются не все, а лишь некоторые сочетания базисных элементов?" Для ответа на этот во прос введем понятие "правила запрета". Определение 6: Правилами запрета будем называть механизм или способ, с помо щью которого обеспечивается формирование различной структуры сис тем, состоящих из одних и тех же базисных элементов. Таким образом, правила запрета являются средством получения конкретных реальных систем из максимальной, включающей все возмож ные сочетания базисных элементов. Определение 7: n-тождественными системами (т.е. системами, тождественными на n-м уровне иерархии) будем называть системы, состоящие из одних и тех же элементов на n-м уровне иерархии. Два элемента-подсистемы тождественны, если они состоят из одних и тех же базисных элементов
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 8 и у них тождественна структура, т.е. связи между базисными элемен тами. В частности, 0-тождественными являются системы, состоящие из одних и тех же базисных элементов, независимо от того, отличаются ли они друг от друга связями между этими элементами, т.е. своей структурой. Из определений 2 и 7 следует, что: – реальные 0-тождественные системы являются подмножествами одной и той же полной системы; – полная система является объединением или суперпозицией всех возможных 0-тождественных реальных систем. Отметим, что поскольку у множеств нет структуры, то для тождества множеств достаточно тождества входящих в них элементов. Задача 3: обосновать принципы геометрической интерпретации понятий "элемент системы" и "система". Основываясь на аналогии между базисными элементами и геометри ческими точками (и первые и вторые не имеют никаких свойств, кроме свойства отличаться друг от друга), припишем базисным элементам смысл, аналогичный смыслу геометрической точки. Тогда элементы подмножества различных иерархических уровней системы, отличающиеся друг от друга лишь количеством базисных элементов, можно представить в виде геометрических систем из соответствующего количества точек. Однако как геометрически интерпретировать эти системы? Для того чтобы ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что: – пространство 0-й размерности представляет собой одну точку 0-й размерности, т.е. классическую точку, известная в математике (в частно сти, в геометрии, дифференциальном и интегральном исчислении), а также в основанной на них физике;
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 9 – пространство 1-й размерности – это прямая линия, которая одно значно определяется системой из двух точек 0-й размерности; – пространство 2-й размерности – это плоскость и однозначно опре деляется системой из трех точек 0-й размерности; – пространство 3-й размерности – это пространство, однозначно определяемое системой из четырех точек 0-й размерности; ...................... – пространство i-й размерности однозначно определяется системой из (i+1) точек 0-й размерности. Однако различным количеством точек однозначно определяется не только положение пространства или гиперплоскости соответствующей размерности в многомерном пространстве, но и определенный тип гео метрической фигуры: – одна точка 0-й размерности задает точку; – система из двух точек 0-й размерности задает отрезок прямой ли нии; – система из трех точек 0-й размерности задает треугольник; – система из четырех точек 0-й размерности задает тетраэдр (одно из пяти 3-мерных многогранников Платона); ............................ – система из i точек 0-й размерности задает многомерную фигуру, называемую i-мерный симплекс (i-мерный аналог тетраэдра). В этой связи возникает один очень существенный вопрос: "Каким образом получается так, что геометрические фигуры, образованные из точек нулевой размерности, вдруг приобретают новое качество, а именно ненулевую размерность, которого ни в какой форме не было у базисных элементов, из которых они состоят?" По мнению автора, ответ на поставленный вопрос самым непосред ственным образом связан с понятием системных или эмерджентных
Научный журнал КубГАУ, №37(3), 2008 года http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf 10 свойств [17, 18, 1–20], т.е. с тем, что система имеет качественно новые системные или эмерджентные свойства, которых не было у ее элементов (т.е. свойства, не сводящиеся к сумме свойств ее элементов). Кроме сис темного анализа, проблемами изучения системных свойств занимаются практически все науки, в частности: химия, биология, физика, синергетика и математика (особенно теория фракталов). Таким образом, новые свойства возникают у системы, когда количе ство переходит в качество (один из законов диалектики). Но здесь возни кает известная "проблема кучи", состоящая в том, что очень сложно или даже невозможно уловить этот момент возникновения нового качества. Проиллюстрируем "проблему кучи" следующим образом: "Одно зерно – это явно еще не куча, два – тоже, и три, и четыре и пять – тоже, а вот 10 – это уже вроде как маленькая кучка, а вот "куча" – это, наверное, где-то от 1531 до 73568 зерен и более". В контексте данной статьи и решаемой зада чи "проблему кучи" можно переформулировать следующим образом: "Ка кой минимальный по количеству 0-точек элемент пространства или геометрической фигуры некоторой размерности можно считать об ладающим той же размерностью, что и само пространство или фигу ра?" В химии аналогичный вопрос звучит примерно так: "Какой мини мальный объем вещества (химического соединения) обладает теми же хи мическими свойствами, что и макроколичество этого вещества". В химии ответ известен: это молекула данного вещества. Если молекулу любого вещества расщепить на элементы (атомы), перечисленные в таблице Д.И. Менделеева, из которых она состоит, то свойства этого вещества ис чезнут, хотя элементы останутся. Однако что же при этом исчезает такое, что приводит к исчезновению свойств вещества? Ответ вполне очевиден: при расщеплении молекулы исчезают взаимосвязи между элементами (атомами), благодаря которым они и образовывали минимальную систему