Работа 8. Моделирование системы двигатель-нагрузка с помощью методов пространства состояний

РАБОТА 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ

ДВИГАТЕЛЬ-НАГРУЗКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ

ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

Цель работы — изучение методов пространства состояний для 

анализа регуляторов линейных объектов управления.

Задачи работы — промоделировать фрагмент системы (объект 

без регулятора) с помощью метода пространства состояний.

Порядок выполнения работы

1. Познакомиться с основными положениями метода простран
ства состояний на примере моделирования подсистемы двигательнагрузка.

2. Построить модель объекта управления (подсистемы двига
тель-нагрузка) с учетом индуктивности якорной цепи в пространстве 
состояний и сравнить результаты с моделированием соответствующей подсистемы из работы 6.

3. Построить модель объекта управления с учетом податливости 

элементов привода в пространстве состояний и сравнить результаты с 
моделированием соответствующей подсистемы из работы 7.

Содержание отчета

1. Модель подсистемы двигатель-нагрузка из желаемой системы 

в пространстве состояний. Сопоставление с результатами моделирования фрагмента из работы 5.

2. Модель подсистемы двигатель-нагрузка с учетом индуктив
ности якорной цепи двигателя в пространстве состояний. Сопоставление с результатами моделирования фрагмента из работы 6.

3. Модель подсистемы двигатель-нагрузка с учетом податливо
сти элементов привода в пространстве состояний. Сопоставление с 
результатами моделирования фрагмента из работы 7.

Пояснения к выполнению работы

Методы пространства состояний

Методы пространства состояний – это мощный и хорошо про
работанный класс формальных подходов к синтезу стабилизирующих 
управлений, разработанный в 60-70 годах XX века американскими и 
советскими учеными.

Сущность методов пространства состояний может быть резю
мирована в следующих положениях [5]:

Не используется преобразование Лапласа (анализ и синтез 

осуществляется непосредственно с использованием математического 
аппарата линейных дифференциальных уравнений).

Объект управления представляется в виде

,
=

,
=

Du
Cx
y

Bu
Ax
x
(42)

где u – управляющее воздействие, x – вектор пространства состояний,
y – выход объекта управления. Все переменные x, y, u могут быть векторными. Матрицы A, B, C, D – постоянные матрицы соответствующих размерностей.

Постулируется, что для линейного объекта в пространстве со
стояний линейная пропорциональная обратная связь стабилизирует 
его динамику, т. е. асимптотически обращает в ноль производные 
вектора состояния, 
0
)
(t
x
. Таким образом, стабилизирующая об
ратная связь ищется в виде 
x
K
u =
, где K – матрица постоянных 

коэффициентов.

Для решения задач синтеза и анализа систем используются 

численные и оптимизационные алгоритмы, реализованные программно, в т. ч. и в системе MATLAB.

Прежде, чем приступить к решению задачи синтеза регулятора 

для системы двигатель-нагрузка, модель которой представлена уравнениями (39), составим модель этой системы в пространстве состояний. Отправной точкой являются пять последних уравнений в (39):

./
=

,
/
=

,
=

,
=

,
)/
(
=

н

м

i

i
M
M
J

I
c
M

c
E

R
E
u
I

д

д
д

д

д
e

д





(43)

Перепишем уравнения (43) таким образом, чтобы в левой части 

были только первые производные (в т. н. форме Коши).

.
)
(
1
=

,
=

1

н i
M
c
u
R
c

J
д
e
д

м

д

д
д





(44)

Входом системы является напряжение на обмотке двигателя 
д
u , 

выходом является угловое положение вала редуктора

.
=
1
i
д
(45)

Заметим, что величина 
н
M
является возмущением, о котором 

известно, что оно может находиться в пределах от 0 до номинального 
значения момента нагрузки.

Запишем уравнения модели в матричном виде

н
м
м
1
0
0

0

1
0

=
M

i
J

u

R
J
c

R
J

c
c
д

д

д

e

д

д



(46)

Далее сделав обозначения
,
x
x
y
u
u
д
д
д
:=
,
:=
,
:=
,
:=
2
1

можно записать модель (43), (44) в стандартном виде (42)

.
i
C
M
i
J

,

R
J
c
B

R
J

c
c
A

,
Cx
y
Bu
Ax
x

e

0
1
=
,
1
0

=

0

=
,
0

1
0

=

=
,
=

н

м
м



(47)

Поскольку в уравнении состояния для x присутствует возмуще
ние
, то рассматриваемая система является возмущенной. Положив