Теория автоматического управления: элементарное введение с применением MATLAB

Теория автоматического
управления: элементарное введение
с применением MATLAB

Борисевич Алексей

28 июня 2011 г.

Введение

Теория управления является междисциплинарной научной областью знания, методы которой применяется как в технике, так и в
социальных и естественных науках. В глубине этой науки находятся фундаментальные принципы, характеризующие цели управления
и принятие решений на основании информации о состоянии управляемого объекта или процесса. Теория управления включает множество систематических подходов к решению практических задач,
основа которых состоит в математическом моделировании (анализе) и построении систем принятия решений для управления (синтезе). Управление как комплексная техническая задача включает в
себя решение теоретических проблем (в англоязычной литературе
теоретические исследования в области объединяются под термином
control theory), а также задач, связанных с определением и изменением состояния объекта управления, и реализацией систем принятия
решения (все эти практические аспекты объединяются под термином
process control). Теория управления – вторая после физики наука,
в которой самые сложные и глубокие математические результаты
непосредственно используются для понимания и изменения окружающего мира.
Для чего нужна еще одна книга или учебное пособие по теории
автоматического управления (ТАУ)? Разве недостаточно информации из классических книг и современных руководств и монографий?
[1,2,3]
К сожалению, следует признать, что теория управления – одна
из самых таинственных дисциплин для студентов технических специальностей. Будучи практикующим инженером по системам управ
1

ления, я часто общаюсь со студентами, выпускниками и просто коллегами из смежных технических областей. И мне всегда становится
очень досадно, что идеи и средства теории управления вспоминаются в последнюю очередь при решении конкретных задач. Этому
есть множество различных объяснений, в большинстве системных
по свей сути. Сложные операционные методы, которые изучались
при недостаточной математической подготовке. Недостаток или отсутствие практических иллюстраций и решения задач практики при
изучении. Наконец, недобросовестное отношение студентов и преподавателей к этой дисциплине. Результат предсказуем – это стойкая и
неправильная ассоциация: ТАУ = сплошная математика = слишком
сложно для решения реальных задач.
Более глобально, существует разрыв между тремя аспектами теории и практики управления: множество теоретических исследований
еще ждут своего часа для широкого применения на практике; появляются все более и более сложные задачи практики, которые далеки
от своей окончательной формализации и теоретической разрешимости; изучение теории управления становится особо трудным делом
из-за наличия разных парадигм, сложного математического аппарата и различия задач. Все это накладывается на еще один особый
аспект теории управления, который состоит в том, что эта дисциплина относится к компьютерным наукам (computer science), где нет
общих фундаментальных подходов, а существует множество частных
теорий, которые решают разные или даже одни и те же задачи.
Мое глубокое убеждение состоит в том, что изучение ТАУ должно
происходить с пользовательской точки зрения, а не с операционной.
Самым важным является что мы можем решить, а уже потом как.
Причем на вопрос как должен быть один ответ – используя средства
для анализа моделей и синтеза систем управления, реализованные
в программных пакетах (например, MATLAB). Инженеру совсем не
интересны математические выкладки и аналитика, а также то, как
методы теории управления устроены изнутри. Важно знать какой
результат можно получить, используя минимальные усилия. В результате имеем прагматичный подход: если результат решения задачи не устраивает, то берем другие средства или меняем что-то в

объекте управления. Но не тратим время на рефлексирование над
теорией.
И необходимо начать с простого: с понимания, что такое обратная связь, что мы можем отталкиваться от простых моделей объекта
управления или вообще без моделей, что синтез системы управления
– это оптимизация, и эту задачу оптимизации можно решить интуитивно или систематически. И далее можно рассматривать более
тонкие методы, основанные на математических результатах: классические подходы для моделей в пространстве состояний и частотной
области, а также робастное управление, управление дискретными и
нелинейными системами. И как применять все это с минимальными
усилиями.
Целью настоящей книги является освещение основных аспектов
теории управления в наиболее простой форме и с наибольшим приближением к задачам практики. В ней вы найдете пошаговое описание решений различных задач управления техническими системами на примере простых механизмов, электронных схем и тепловых
процессов. Мы начнем с понимания основных концепций в теории
управления, далее кратко рассмотрим моделирование систем с применением MATLAB, после рассмотрим методы построения систем
управления, которые базируются на линейных моделях во временной области, и, наконец, управление системами с нелинейными моделями.
Каждая раз мы начинаем соответствующий параграф с обсуждения тех или иных вопросов в абстрактной форме, заканчивая практическими примерами.
Я надеюсь, что настоящая книга будет вам полезной. Все программы и модели из примеров доступны в интернете по адресу:
http://sites.google.com/site/akpc806a/ControlTheoryTextbook_0.rar
Также автор будет рад любым предложениям и замечаниям, отправленным по электронной почте: alex.borysevych@gmail.com

Глава 1

Быстрый старт:
основные принципы

В этой главе вы найдете основную информацию про то, что такое управление динамическими (меняющимися со временем) процессами без привязки к конкретным подходам и моделям из теории управлении. Эта глава является отправной точкой для остальных, но она также самодостаточна, поскольку в ней рассматривается самый простой и часто применяемый в индустрии регулятор
– пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор.

1.1
Что такое управление

Понятие управления известно нам с самого детства. Это одно из
наиболее интуитивных и естественных понятий природы и человеческой деятельности.
Сила и сложность теории управления состоит в том, что она рассматривает явления в самых разных областях науки и техники, без
какой-то конкретной привязки. Системы управления – это, в первую
очередь, информационные системы. Это означает, что мы абстрагируемся от физической сущности процессов, происходящих в управляемых системах, и описываем их состояние с помощью информа
5

ционных сигналов 𝑥(𝑡) – безразмерных переменных, значения которых меняются со временем. Значение конкретного сигнала в системе
управления может соответствовать какому-то конкретному физическому параметру (например, влажности воздуха), но в общем случае явного соответствия может и не быть. В этом состоит одно из
отличий теории управления от естественнонаучных дисциплин (например, физики), где принципиально важна физическая сущность
переменных и зависимостей между ними.
Управление – это достижение заданного состояния физического
объекта за счет совершения над ним определенных действий. Физический объект, состояние которого необходимо изменить, называется
объектом управления или в англоязычной литературе – plant. Далее
мы будем обозначать его символом 𝑃. Объект управления 𝑃 – это
некоторая система, которая имеет выходные сигналы 𝑦(𝑡) и входные
𝑢(𝑡). Значение входных сигналов 𝑢(𝑡) всегда задаются извне, значения выходных определяется поведением объекта управления по
входным сигналам 𝑢(𝑡). Принята следующая математическая нотация: 𝑃 : 𝑢(𝑡) ↦→ 𝑦(𝑡), что означает: система 𝑃 отображает сигнал
𝑢(𝑡) в 𝑦(𝑡) – каждому входному сигналу 𝑢(𝑡) ставится в соответствие
выходной сигнал 𝑦(𝑡).
Более конкретно, управление – это планирование управляющего
воздействия 𝑢(𝑡) и его применение к объекту управления для достижения заданного состояния или режима работы объекта управления.
Устройство или подсистема, которая вычисляет воздействие 𝑢(𝑡) на
основе заданного целеполагания и информации о состоянии объекта
управления, называется регулятором или системой управления (в
англоязычной литературе – controller). Далее мы будем обозначать
его символом 𝐶.
В теории управления принято, что объект управления задается
изначально, и мы не можем его изменять. Безусловно, на практике
часто происходит взаимодействие при конструировании собственно
объекта управления и системы управления: мы берем конкретный
объект управления и пытаемся решать заданные задачи управления, если возникают принципиальные трудности, то меняем что-то
в объекте управления и снова занимаемся системой управления, и

так по кругу. Но все методы теории управления сконцентрированы
вокруг существующего и заданного объекта управления.
Регулятор всегда соединяется последовательно с объектом управления в том смысле, что выход регулятора – это управляющее воздействие, которое непосредственно подается на объект управления.
Существуют самые разные варианты целей и структур управления,
но все они могут рассматриваться как частный случай одной: мы
пытаемся достичь на выходе объекта управления 𝑦(𝑡) желаемого
нам сигнала 𝑟(𝑡). Т.е. сделать так, чтобы 𝑦(𝑡) ≈ 𝑟(𝑡) или в идеале 𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡), где 𝑟(𝑡) – сигнал, заданный пользователем нашей
системы (объекта управления и регулятора в целом).
В этой связи полезно вспомнить или ввести понятие инверсии.
Если мы имеем объект управления 𝑃 : 𝑢(𝑡) ↦→ 𝑦(𝑡), то его инверсией является некоторый гипотетический объект 𝑃 −1, который делает
тоже самое, но только наоборот 𝑃 −1 : 𝑦(𝑡) ↦→ 𝑢(𝑡). Очевидно, что
инверсия объекта управления – это как раз то, что нужно для решения задач управления: если мы желаем получить сигнал 𝑟(𝑡) на
выходе объекта управления 𝑃, то мы просто подаем 𝑟(𝑡) на вход 𝑃 −1

и имеем в результате искомое управляющее воздействие 𝑢(𝑡).
Например, некоторый объект управления 𝑃 задается уравнением 𝑦 = 𝑢3. Его инверсией 𝑃 −1 является 𝑢 =
3√𝑦. Пусть мы хотим
сделать так, чтобы сигнал на выходе объекта управления повторял
синусоиду 𝑟(𝑡) = sin 𝑡 = 𝑦(𝑡) и для этого необходимо определить какое управляющее воздействие подать на вход 𝑢(𝑡). Зная инверсию
𝑃 −1, тут же заключаем, что 𝑢(𝑡) =
3√︀

𝑟(𝑡) =
3√

sin 𝑡.
Задача управления – классическая обратная задача. Всякое управление явно или неявно использует инверсию объекта управления.
Вообще говоря, решение обратной задачи может не существовать
(управления 𝑢(𝑡) для желаемого 𝑦(𝑡) может не быть), может быть
не единственным (множество управлений 𝑢(𝑡) приводит к одному
желаемому 𝑦(𝑡)), а также решение может быть чрезвычайно сложно найти. В математике обратные задачи называют некорректно поставленными (по-английски – ill-posed), если наблюдается по крайне
мере одно из вышеперечисленных свойств.

1.2
Замкнутое и разомкнутое управление

Самые основные концепции теории управления всегда легко обсуждаются и узнаются на простых примерах. Теория управления во
многом – суть формализация повседневного опыта, ведь человеческая деятельность всегда сконцентрирована вокруг управления событиями и объектами.
Представим, что у нас есть лампа накаливания, яркость которой
можно плавно регулировать. Для конкретики: лампа мощностью 5
Вт на напряжение 12 В, запитанная через регулятор BM4511 [4].
Наша задача заключается в том, чтобы с помощью лампы накаливания нагреть поверхность находящегося рядом объекта (например,
шариковой ручки) до определенной температуры и поддерживать
ее, установив соответствующий уровень яркости лампы. Температура нагреваемого объекта измеряется с помощью закрепленного на
нем электронного термометра (рисунок 1.1) [5].

Рисунок 1.1. Цифровой датчик, отслеживающий температуру
рядом с лампой накаливания.

Пусть температура окружающего воздуха будет меньше, чем требуемая температура нагреваемого объекта. Физика процесса состоит

в том, что если при включенной лампе устанавливается равновесие
между подводимым лампой теплом и рассеиванием тепла в окружающее пространство. Если лампу выключить, то через определенное время нагреваемый объект остынет, и его температура окажется
равной температуре воздуха. Поэтому для поддержания заданной
температуры необходимо постоянного подводить тепло с помощью
лампы накаливания, причем, чем больше яркость свечения – тем
выше температура нагрева. В целом, процесс нагрева и остывания
тела под действием внешнего источника тепла и окружающей среды
может быть описан с помощью линейных дифференциальных уравнений. Однако из повседневного опыта знаем, что человек вполне
в состоянии решить задачу стабилизации температуры без всяких
математических уравнений, просто наблюдая за термометром и регулируя яркость лампочки.
Рассматриваемую задачу можно решить разными способами. Один
из них состоит в том, что температура нагреваемого объекта – есть
зависимость от яркости (мощности) свечения лампочки. Мы можем
просто заранее составить таблицу соответствия мощности свечения и
температуры объекта (таблица 1.1). В результате, когда нужно будет
удерживать какую-то конкретную температуру объекта, мы просто
заглянем в таблицу и выставим необходимую мощность. Если в таблице нет данных о нужной температуре, но есть данные близких значений (например, там есть мощности для температуры 38 и 40 градусов, но отсутствует для 39 градусов), то мы просто прикидываем,
что должно быть между (такой процесс называется интерполяцией).
Таблица 1.1. Фрагмент зависимости температуры от мощности
𝑇(𝑃)

T, C
P, %

...
...

44
59

45
62

46
64

...
...

Проблема такого подхода состоит в том, что зависимость температуры нагреваемого тела от яркости лампочки меняется со вре