Математика. Теория вероятностей

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежская государственная лесотехническая академия»

Е.О. Уточкина Е.В. Смирнова В.В. Зенина

МАТЕМАТИКА

Теория вероятностей

Учебное пособие

Воронеж 2014

УДК 519.2

М34

Одобрено учебно-методическим советом
ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» ( протокол № 5 от 31 января 2014 г.)

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математической
физики ВГУ Л.А. Минин

М34Математика. Теория вероятностей [Электронный ресурс] : учебное
пособие / Е.О. Уточкина, Е.В. Смирнова, В.В. Зенина ; М-во образования и
науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – 102с.

Учебное пособие включает в себя основные понятия и теоремы теории
вероятностей. Приводится подробное решение примеров различного уровня
сложности и типовых заданий.
Учебное пособие предназначено для студентов технических и
экономических направлений подготовки.

УДК 519.2

© Уточкина Е.О., Смирнова Е.В.,

Зенина В.В., 2014

© ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная

лесотехническая академия», 2014

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Принцип умножения.

Пусть необходимо выполнить одно за другим одновременно r действий. Ес
ли первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе – n2
способами и т.д. до r- го действия, которое можно выполнить nr способами, то
все r действий вместе в указанном порядке можно выполнить
n 1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n r способами.

Пример 1. Бросают три игральных кубика и наблюдают за числом очков,
появившихся на каждом кубике. Сколько различных исходов опыта возможно?

Решение. Бросают три игральных кубика, поэтому по принципу умножения

r=3. На выпавшей грани первого кубика может появиться одно очко, два очка,
три очка, …, шесть очков. Поэтому n1=6. Аналогично для второго кубика –
n2=6 и для третьего кубика – n3=6. Применяя принцип умножения, находим
число всех исходов опыта:

n1 · n2· n3 = 6 ·6 ·6 = 216.

Пример 2. Сколько существует нечетных трехзначных чисел?

Решение. Выбирается три цифры, поэтому r=3. Первая цифра может быть
любой, кроме нуля, поэтому n1=9. Вторая цифра может быть любой, т.е. n2=10.
Третья цифра должна быть нечетной, поэтому n3=5. Тогда всех возможностей

n1 · n2 · n3 = 9 ·10 ·5 = 450.

Пример 3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,

4, 5, 6, если цифры не повторяются?

Решение. По принципу умножения r=4. Для выбора первой цифры имеется
шесть различных способов, т.е. n1=6. После того как выбрана первая цифра, осталось пять способов выбора второй цифры, т.е. n2=5. Для выбора третьей цифры остается четыре способа, т.е. n3=4. Последняя четвертая цифра может быть
выбрана тремя способами, т.е. n4=3. Следовательно, согласно принципу умножения имеется n1 ·n2 ·n3 ·n4 = 6· 5· 4· 3 = 360 способов расстановки цифр, т.е.
всего четырехзначных чисел без повторения цифр можно составить 360.

Замечание к принципу умножения. Если на выполнение какого-либо из r
действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения
именно этого действия.

Пример 4. В машине 5 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 5 человек, если место водителя могут занять только двое из
них?

Решение. По принципу умножения r=5. Подсчет начнем с места водителя

n1=2, следующее место может занять любой из 4-х оставшихся человек, т.е.
n2=4, следующее место может занять любой из 3-х оставшихся человек и т.д.
Поэтому n3=3, n4=2, n5=1.

Итак, всех возможностей: n1 · n2 · n3 · n4 · n5 = 2 ·4 · 3 ·2 ·1 = 48.

2. Размещения (упорядоченные выборки).

Пусть дано множество А, состоящее из n различных элементов a1, a2, a3,…,an.
Упорядоченные наборы, состоящие из m элементов (0<m≤n) множества А,
называются размещениями из n элементов множества А по m элементов множества.
Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации),
состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом
элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по m обозначается символом A m и вычис
n

ляется по формуле

n!

Am =, где n!=1·2·3·…·n, 0! = 1.

n(n − m )!

3. Перестановки.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из

n элементов.

Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и

отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляет
ся по формуле:

Pn = A n = n! .n

4. Сочетания (неупорядоченные выборки).

Неупорядоченные наборы, состоящие из m элементов (0<m≤n) множества А,
называются сочетаниями из n элементов множества A по m элементов.
Сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m
элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга
хотя бы одним элементом, т.е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом Cm

n

и вычисляется по формуле

n!

Cm =.

nm!(n − m )!

Пример 5. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число ва
риантов расписания при выборе из 9 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 9,

отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их
следования (или и тем, и другим), т.е. является размещением из 9 элементов по
5. Число вариантов расписания, т.е. число размещений из 9 по 5, находим по
формуле

9!9! 4!⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9

A5 == == 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 = 15120 .

9(9 − 5)! 4!4!

Пример 6. В шахматном турнире участвует 16 человек. Сколько партий

должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками
должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от

других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из
16 элементов по 2. Их число находим по формуле

16!16!14! ⋅ 15 ⋅ 16 15 ⋅ 162C16 ===== 120 .

2! ⋅ (16 − 2)! 2! ⋅ 14!2! ⋅ 14!1⋅ 2

Пример 7. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число находим по
формуле:

P7 = A 7 = 7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5040 .7

Пример 8. Из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выби
рают 1 красную и 2 розовых гвоздики. Сколькими способами это можно сделать.

Решение. Одну красную гвоздику можно выбрать n 1 = C1 = 10 способами.10

Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно

4!3⋅42n 2 = C4 === 6 способами. Поэтому букет из одной красной и двух

2! ⋅ 2! 1 ⋅ 2

розовыхгвоздикможносоставит(попринципуумножения)

2n1·n2=C 1 ⋅C 4 = 10 ⋅ 6 = 60 способами.10

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1
(Элементы комбинаторики)

Вариант 1

1. Бросают одновременно три монеты и наблюдают за выпадением герба или
цифры на верхних гранях каждой монеты. Сколько различных исходов опыта
возможно?
2. В розыгрыше первенства по футболу участвует 10 команд. Известно, что те,
кто займет первые 3 места получат золотую, серебряную и бронзовую медали, а
последние две команды выбывают. Сколько различных результатов первенства
возможно?

Вариант 2

1. В карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 6. Каково число всех возможных вариантов?
2. Сколькими способами могут 8 человек встать в очередь в театральную кассу?

Вариант 3

1. Сколько пятизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8,
если никакую цифру не использовать более одного раза?
2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами
можно составить ему расписание, если в один день нельзя сдавать более одного
экзамена?

Вариант 4

1. Сколько различных «слов», состоящих из четырех букв, можно образовать из
букв слова ЭКЗАМЕН?
2. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3
студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

Вариант 5

1. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами
можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно
быть 4 разных занятия?
2. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5
шаров, чтобы среди них было 3 белых и 2 черных шара?

Вариант 6

1. Три мальчика и три девочки садятся на шесть мест, мальчики на четные, а
девочки на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
2. В урне 10 белых и 7 черных шаров. Сколькими способами из них можно выбрать 5 шаров черного цвета?

Вариант 7

1. На окружности выбрано 10 точек. Сколько существует треугольников с
вершинами в этих точках?
2. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

Вариант 8

1. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных
места?
2. Сколькими способами 3 награды за I, II и III места могут быть распределены
между 10 участниками соревнований?

Вариант 9

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещено?
2. В вазе стоят 9 красных и 7 белых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее любые 3 гвоздики?

Вариант 10

1. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
2. Металлург, изучающий сплавы, при проведении эксперимента может использовать 3 различных температурных режима, 6 различных значений времени остывания и 4 различные присадки меди. Выбор температурного режима,
значения времени остывания и типа присадки полностью определяют эксперимент. Сколько различных экспериментов может провести металлург?

Вариант 11

1. В распоряжении агрохимика есть 6 различных типов минеральных удобрений. Ему необходимо провести эксперименты по изучению влияния любой
тройки минеральных удобрений. Сколько всего таких экспериментов придется
провести?
2. Сколько различных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?

Вариант 12

1. Из 10 спортсменов выбирают 4-х участников эстафеты 800 x 400 x 200 x 100.
Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах соревнования?
2. В урне 8 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 6
шаров, чтобы среди них было 4 белых и 2 черных?

Вариант 13

1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три
горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов?
2. На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами можно
составить наряд по охране границы, если он состоит из двух офицеров и четырех рядовых?

Вариант 14

1. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из
пункта В в пункт С – пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими
способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через пункт В?
2. Сколькими способами можно расставить на книжной полке пятитомник произведений Дж. Лондона, располагая книги в произвольном порядке?

Вариант 15

1. Группу из 15 студентов нужно разделить на две подгруппы так, чтобы в одной подгруппе было 4 человека, а в другой оставшиеся 11 человек. Сколько
способов для этого найдется?
2. Подбрасывают одновременно три игральных кубика и наблюдают за числом
очков, выпавших на каждом из них. Сколько возможно различных исходов
опыта таких, что на каждом игральном кубике выпадет четное число очков?

Вариант 16

1. Сколько можно составить четырехзначных чисел, у которых две последние
цифры различные?
2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с
любого из 5 языков непосредственно на любой из этих языков?

Вариант 17

1. Сколько существует пятизначных чисел, у которых на четных местах стоят
четные цифры?
2. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в соревнованиях надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и
девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 18

1. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различные?
2. В группе 12 девушек и 8 юношей. Сколькими способами можно назначить 5
дежурных так, чтобы среди них было 2 девушки?

Вариант 19

1. Сколько различных инициалов (Ф.И.О.) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита?
2. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек,
так, чтобы среди них было ровно 2 женщины. Сколькими способами это можно
сделать?

Вариант 20

1. В футбольной команде 13 полевых игроков и 2 вратаря. Сколькими способами можно выбрать играющий состав из 10 полевых игроков и одного вратаря?
2. Сколько различных «слов», состоящих из не менее четырех букв, можно образовать из букв слова БУРАН?

Вариант 21

1. Два стрелка должны поразить 6 мишеней (каждый по 3 любых мишени).
Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые начинаются цифрой 2 и
оканчиваются цифрой 7?

Вариант 22

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с цифры
пять?
2. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на три
бригады численностью 3, 7 и 5 человек?

Вариант 23

1. Из группы в 10 человек надо выбрать 2-х для выполнения одной работы и 3-х
для другой. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколько разных сигналов можно поднять на мачте, имея четыре вымпела
различных цветов, если каждый сигнал должен состоять из 3-х вымпелов?

Вариант 24

1. Сколькими способами из 9 человек можно избрать комиссию, состоящую из
5 человек, так чтобы один определенный человек вошел в состав этой комиссии?
2. Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация
букв) можно составить, переставляя буквы в слове Л Е Т О?

Вариант 25

1. В ящике 10 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается
комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых только
2 детали бракованные?
2. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых на четных местах стоят нечетные цифры, а на нечетных местах – четные цифры?

Вариант 26

1. Сколькими способами можно среди 9 студентов распределить 4 билета в
цирк и 3 билета в театр?
2. Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, строятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом?

Вариант 27

1. Сколько существует пятизначных нечетных чисел, которые не содержат
цифру 6?