Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2003, №1

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

1

УДК 539.3:532.5 
UDC 539.3:532.5 
 
 
УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ  В ФИЗИЧЕСКИ 
ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ 
ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ 

SOLITARY WAVES IN PHYSICALLY LINEAR 
AND NONLINEAR VISCOELASTIC CORES 

 
 
Аршинов Георгий Александрович 
д.т.н., профессор 
 

Arshinov Georgy Aleksandrovich 
Dr. Sci.Tech., professor 

Елисеев Николай Иванович 
соискатель  
Eliseev Nikolai Ivanovich 
competitor 
Кубанский государственный аграрный университет, 
Краснодар, Россия 
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia 

 
 
Метод возмущений применяется для исследования 
дисперсионных волн в геометрически нелинейных 
стержнях из  линейно- и нелинейно-вязкоупругого 
материала. Выведены эволюционное уравнение 
Кортевега де Вриза – Бюргерса  для линейновязкоупугого  и модифицированное уравнение для 
нелинейно-вязкоупугого  стержня. 

Method of indignations is applied to research of 
dispersive waves in geometrically nonlinear cores from 
linearly - and nonlinear viscoelastic material. The 
evolutionary equation of Kortevega de Vriz – Bjurgers 
for linearly viscoelastic and modified equation for 
nonlinear viscoelastic core are deducted.  

 
 
Ключевые слова:  МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ, 
ДИСПЕРСИОННЫЕ ВОЛНЫ, НЕЛИНЕЙНО- 
ВЯЗКОУПРУГИЙ СТЕРЖЕНЬ 

Keywords: METHOD OF INDIGNATIONS, 
DISPERSIVE WAVES, NONLINEAR  
VISCOELASTIC CORE 
 

 
Построим 
одномерную 
модель 
колебаний, 
учитывающую 
в 

определенной степени инерцию поперечных движений стержня. Отнесем 

бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от 

внешних объемных и поверхностных воздействий, к системе координат, 

направив ось x  вдоль оси стержня, а оси y и z  расположим в одном из 

поперечных сечений. 

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1] 

 
)t,x
(
u
u 1 =
,
x
2
yu
u
ν
−
=
,
x
3
zu
u
ν
−
=
, 
 
 
 
 

 
(1) 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

2

где 
3
2
1
u
,
u
,
u
– соответственно перемещения по осям x, y, z, t  – время, ν - 

коэффициент Пуассона. 

Буквенные индексы, которые содержат функции (1), определяют 

частную производную от функции по указанной переменной, т.е.  

x
u
u x
∂
∂
=
,  
2

2

tt
t

u
u

∂

∂
=
    и т.д. 

 

Конечные деформации стержня зададим соотношениями: 

),
u
u
u
u
(
2
1
j,
k
i,k
i,j
j,i
ij
+
+
=
ε
 
 
 
 
 
 

 
(2) 

где индекс после запятой определяет частную производную от функции по 

соответствующей переменной, т.е. 
,
x
u
u

j

i
j,i
∂
∂
=
     
3,2,1
j,i
=
, предполагается, 

что 
,x
x1 =
,  
,y
x 2 =
  
.z
x 3 =
 

Для описания реологических свойств стержня воспользуемся 

уравнениями линейной вязкоупругости [2] 

 

 

τ
τ
µε
+
δ
τ
λθ
α
−
µε
+
δ
λθ
=
σ
∫
∞
−

τ
−
β
−
d
)]
(
2
)
(
[
e
)t(
2
)t(
)t(
ij
ij

t
)
t(
ij
ij
ij
, 
(3) 

 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

3

где 
ij
ij,ε
σ
 − соответственно компоненты тензоров напряжений и 

деформаций; 
ii
ε
=
θ
 − объемное расширение, 
ij
δ  − символы Кронекера; 

,
)
2
1
)(
1(
E
ν
−
ν
+

ν
=
λ
 

)
1(
2
E
ν
+
=
µ
 − параметры Ламе; 
β
α,
 - константы, 

определяющие реологические свойства стержня; Е − модуль Юнга;
ν  − 

коэффициент Пуассона. 

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в (3) 

дифференциальным, разлагая функцию 
)
(
2
)
(
)
(
f
ij
ij
τ
µε
+
δ
τ
λθ
=
τ
 в ряд 

Тейлора по степеням (
τ
−
t
). Ограничиваясь двумя слагаемыми, что 

возможно для t
β >>1, получаем 

 

)
2
(
L
ij
ij
ij
µε
+
λθδ
=
σ
,  
 
 
 
 
 
 
(4) 

где оператор 
)
1(
t
L
2
β
α
−
+
∂
∂

β
α
=
 и действует на функцию 
)t(
f
 по правилу 

f)
1(
f
Lf
t
2
β
α
−
+
β
α
=
. 

Формулы (4) можно представить в развернутом виде 

(
)
)
(
)
([
]
ν
µ
+
λ
+
λ
ν
+
µ
+
λ
+
Ε
=
σ
2
xx
2
2
2
x
2
x
11
u
r
2
u
2
2
2
1
u
L
 

 

(
)
)
[
]
λν
+
λ
+
ν
µ
+
λ
=
σ
=
σ
2
xx
2
2
2
x
2
33
22
u
r
u
2
(
2
1
L
 

 

(
)]
u
u
u
y
[
L
xx
x
2
xx
12
ν
+
ν
−
µ
=
σ
 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

4

(
)]
u
u
u
z
[
L
xx
x
2
xx
13
ν
+
ν
−
µ
=
σ
 
 
или 
 

(
)]
u
r
u
u
[
L
2
xx
2
2
2
x
1
x
11
Α
+
Α
+
Ε
=
σ
 
 

(
)]
u
r
u
[
L
2
xx
2
2
2
x
1
33
22
Β
+
Β
Ε
=
σ
=
σ
 
 

(
)(
)ν
+
ν
−
ν
+
Ε
=
σ
xx
x
2
xx
12
u
u
u
1
2
y
L
 

 

(
)(
)ν
+
ν
−
ν
+
ΕΖ
=
σ
xx
x
2
xx
13
u
u
u
1
2
L
, 

 
где 
 

(
)1
2
a
3
1
+
ν
−
ν
=
Α
, 
(
)1
2
2
a
2
1
+
ν
−
ν
ν
=
Β
, 
 

 
(
)
ν
−
ν
=
Α
1
a
2
2
, 
3
2
aν
=
Β
, 
(
)(
)
ν
−
ν
+
=
2
1
1
2
1
a
. 

 
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа 

∫∫∫
∫
=
δε
σ
−
δ
ρ
=
δ
V
ij
ij
i
i

t

t
0
dV
}
u
u
{
dt
J

2

1
&
&
, 
 
 
 
 
(5) 

где точкой обозначена производная по t, ρ − плотность материала стержня, 

ij
δε − вариации деформаций, 
iu
δ
 -  вариации перемещений, а тройной 

интеграл вычисляется по объему стержня. 

 
Вычислим вариации деформаций. 

xx
xx
2
2
x
x
x
11
u
u
r
u
u
u
δ
ν
+
δ
+
δ
=
δε
 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

5

x
x
2
33
22
u
)
u
(
δ
ν
+
ν
−
=
δε
=
δε
 

)
u
u
u
u
(
2

y
u
2
y

xx
x
x
xx

2

xx
12
δ
+
δ
ν
+
δ
ν
−
=
δε
 

)
u
u
u
u
(
2

z
u
2
z

xx
x
x
xx

2

xx
13
δ
+
δ
ν
+
δ
ν
−
=
δε
 

 

или в операторной форме 

 

u
]

x

u
r
x
u
x
[
2

2

xx
2
2
x
11
δ

∂

∂
ν
+
∂
∂
−
∂
∂
−
=
δε
 

u
]
x
u
x
[
x
2
33
22
δ
∂
∂
ν
−
∂
∂
ν
=
δε
=
δε
 

u
]

x

u
2

y

x
u
2
y

x
2
y
[
2

2

x

2

xx

2

2

2

12
δ

∂
∂
ν
+
∂
∂
ν
−

∂
∂
ν
−
=
δε
 

u
]

x

u
2
z

x
u
2

z

x
2
z
[
2

2

x

2

xx

2

2

2

13
δ

∂
∂
ν
+
∂
∂
ν
−

∂
∂
ν
−
=
δε
. 

 
Используя формулы (4) и вариации компонент деформации, определим 

вариацию внутренней энергии: 

(
)
{
+
Α
+
Α
+
+
Α
+
Α
+
−
Ε
=
δ
x
2
xx
x
2
2
3
x
1
2
x
2
xx
2
2
2
x
1
x
u
u
r
u
u
u
r
u
u
[
L
w
 
 
+
(
)
+
Α
+
Α
+
ν
xx
3
xx
2
2
2
x
xx
1
xx
x
2
2
u
r
u
u
u
u
r
 
 

(
) +
Β
ν
−
Β
ν
−
Β
ν
+
Β
ν
+
x
2
xx
x
2
2
2
3
x
1
2
2
xx
2
2
2
x
1
u
u
r
u
u
r
u
2
 
 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

6

+ (
) (
)
(
(
) +
ν
+
−
ν
−
ν
+
−
ν
+
ν

x
2
xx
x
2
xx
xx
xx
x
xx

2
2
u
u
u
u
u
4
1
4
r
 

 
+ (
) ) ] } u
u
u
u
u
xx
xx
2
x
xx
x
δ
ν
+
−
ν
 
 
или 
 

(
[
{
+
Α
+
+
Α
+
Α
−
Ε
=
δ
xx
2
x
1
xx
x
xxx
xx
2
2
xx
x
1
xx
u
u
3
u
u
2
u
u
r
2
u
u
2
u
L
w
 
 

)
(
+
Α
+
+
ν
+
Α
+
Α
+
2
x
xxx
1
xxx
x
2
xx
2
2
xxx
xx
x
2
2
4
xx
2
2
u
u
u
u
u
r
u
u
u
r
2
u
r
 
 

)
(
−
Β
ν
+
Β
ν
+
Α
+
Α
+
xxx
xx
2
2
xx
x
1
x
xxx
2
xx
2
2
x
2
xx
1
u
u
r
2
u
u
2
2
u
u
r
3
u
u
2
 
 
 
)+
Β
ν
−
Β
ν
−
Β
ν
−
xxx
xx
x
2
2
2
3
xx
2
2
xx
2
x
1
u
u
u
r
2
u
r
u
u
3
 

 
+ (
)
(
)
(
−
ν
−
ν
−
ν
+
ν

xx
xx
x
2
xx
x
xxxx

2
2
u
u
u
u
2
u
1
4
r
(
) ) ] } u
u
u
u
x
2
xx
x
2
xx
δ
ν
+
−
ν
. 

 
Подставляя значение вариации внутренней энергии в выражение (5), 

получим уравнение движения стержня: 

(
)
(
)
[
{
(
)
+
ν
+
ν
−
−
Α
−
Β
ν
−
Ε
+
ν
+
−
ρ
xxxx

2
2

xx
x
1
1
xx
ttxx
2
2
tt
u
1
4
r
u
u
2
2
u
u
L
u
r
u
 

 

(
) −
ν
+
ν
−
Β
ν
−
Α
−
Α
ν
+
ν
+
ν
−
Β
ν
+
Α
−
ν
+
1
2
r
3
r
4
r
2
r
6
u
u
1
r
r
4
r
2
r
3

2
4
2
2
2
2
2
1
2
2
xxx
xx

2
3
2
2
2
2
2
2
 

 

(
)
(
)
(
)
+
ν
+
ν
+
ν
+
Α
−
Β
ν
+
Α
−
ν
+
ν
−
xxxx
x

2
3
2
2
4
xx
2
2
xx
2
x
1
1
xxx
xx
x

2
3
u
u
1
2
r
r
u
r
u
u
6
3
u
u
u
1
2
r
 

 

(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
ν
Α
+
ν
+
ν
+
Β
ν
−
Α
ν
+
xxxx
2
x

4
2
2
2
1
3
xx

2
4
2
2
2
2
1
2
u
u
1
4
r
r
u
1
2
r
r
2
r
2
 

 

] }
0
u
u
r
3
u
u
r
6
xxxx
2
xx
2
4
2
2
xxx
xx
4
2
2
=
ν
Α
+
ν
Α
+
. 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

7

  
 
После преобразования имеем: 
 

(
)
{
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
+
Β
ν
−
Α
+
Ε
+
ν
+
−
ρ
xxxx

2
2

xx
x
1
1
xx
ttxx
2
2
tt
u
1
4
r
u
u
2
4
2
u
L
u
r
u
 

 

(
+
Β
ν
+
Α
ν
−
Α
+
ν
+
ν
+
Β
ν
−
ν
−
Α
+
2
2
1
2
2
2
xxx
xx

3

2
2
2
2
4
6
2
r
u
u
1
4
3
2
z
 

 

(
)
(
) )
(
)
(
)
+
ν
+
ν
+
ν
−
α
+
Β
ν
+
Α
+
ν
+
ν
+
ν
+
ν
+
xxxx
x

3
2
2
4
xx
2
2
xx
2
x
1
1
xxx
xx
x

3
4
u
u
1
2
z
u
r
u
u
6
3
u
u
u
1
2
1
2
3

 
 

+
(
)
(
)
−
ν
Α
−
ν
Α
−
ν
+
ν
+
ν
+
ν
−
Β
ν
+
Α
ν
−
3
xxx
xx
4
2
2
2
1

4
2
3
xx

4

2
2
1
2
2
u
u
r
6
1
4
r
u
1
2
2
2
r
 

 

}
0
u
u
r
3
xxxx
2
xx
4
2
2
=
ν
Α
−
. 
 
Перейдем в последнем уравнении к безразмерным переменным  

t
l
c

l
x −
=
ξ
, 
t
l
c
ε
=
τ
, 
A
u
*
u =
, 
d
x
x* =
, 
d
y
y* =
,  

где A  – амплитудный параметр возмущения, l, d – соответственно 

характерные длина волны и поперечный размер стержня, −
c
скорость волны, 

l
A
=
ε
 - характеристика нелинейности волнового процесса и допустим, что 

l
A
=
ε
 – малый параметр, т.е. характерная длина волны l значительно 

превосходит амплитудный параметр A , а поперечные размер стержня и 

реологические постоянные 
,
,β
α
 определяют отношения порядков 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

8

)
(
O
l

c

2
ε
=
β
α
, 
 
)
(
O
l
d
ε
=
. 

 
 
Пренебрегая членами порядка выше, чем ε , получаем уравнение 
движения стержня: 
 

+
β
α
−
β
α
−
+
ν
+
ε
+
−
Ε
ρ

ξξξ
ξξ
ξξξξ
ξτ
ξξ
u
l
c
u
1
u
l
r
u
2
u
c

2
2

2
2
2
 

(
)
(
)
0
u
1
l
1
4
r
u
u
1
2
4
2
2

2
2

1
1
=
β
α
−
ν
+
ν
−
ε
β
α
−
+
Β
ν
−
Α
+
ξξξξ
ξξ
ξ
   
 
(6) 

 

Представим функцию 
)
,
(
u
τ
ξ
в виде асимптотического разложения 

K
+
ε
+
=
1
0
u
u
u
. 
 
 
 
 
 
 
 
(7) 

Учитывая введенные соотношения порядков и асимптотическое разло- 

жение (7), из уравнения (6) в нулевом приближении получим  

0
u
1
E
c
0

2
=
β
α
−
+
ρ
−
ξξ
. 

          Так как  
0
u0
≠
ξξ
, то из последнего уравнения следует, что скорость 

распространения волны 

 

)
1(
E
с
β
α
−
ρ
=
  
 
 
 
 
 
 
(8) 

            Из первого приближения получаем условие разрешимости уравнения 

для 
1
u , которое дает известное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса: 

 

0
b
b
b
3
2
1
=
ψ
+
ψ
+
ψψ
+
ψ
ξξ
ξξξ
ξ
τ
,  
 
 
 
(9) 

 

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

9

где  

ξ
=
ψ
0
u
, 
,
1
b1
β
α
−
=
 

ε

ν
=
2

2
2

2
l2

d
r
b
, 

ε
β
ρ

α
=
l
c
2
b
2
3
. 

 

Как и в линейном случае, рассмотрим бесконечный стержень 

неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и 

поверхностных воздействий в системе координат с осью x , направленной 

вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, и осями y , z , 

расположенными в одном из них.  

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями (1), а 

конечные деформации стержня определим формулами (2). 

Для 
описания 
реологических 
свойств 
стержня 
в 
отличие 
от 

предыдущего случая воспользуемся уравнениями квадратичной теории 

вязкоупругости [2] 

 

∫
∞
−

τ
−
β
−
τ
τ
τ
µγε
+
τ
µε
+
δ
τ
λθ
α
−
µε
+
λθδ
=
σ
t

ij
2
u
ij
ij
)
t(
ij
ij
ij
d
)]
(
e)
(
2
)
(
2
)
(
[
e
2
)t(
,(10) 

 

где λ ,µ - параметры Ламе, 
ii
ε
=
θ
 - объемное расширение, 
ij
δ   - символы 

Кронекера 
ij
ij
ij
3
1
e
θδ
−
ε
=
 - компоненты девиатора деформаций, 
γ
β
α
,
,

физические константы материала, 
ij
ij
2
u
e
e
3
2
=
ε
 - интенсивность деформаций.  

Научный журнал КубГАУ, №01(1), 2003 года 
 

http://ej.kubagro.ru/2003/01/pdf/01.pdf

10

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в 

уравнениях (10) дифференциальным, разлагая функцию  

)
(
e)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
f
ij
2
u
ij
ij
τ
τ
µγε
+
τ
µε
+
δ
τ
λθ
=
τ
  

в ряд Тейлора по степеням 
)
t(
τ
−
. Ограничиваясь двумя слагаемыми ряда, 

что возможно для 
1
t >>
β
, получаем   

),
e
(
p
2
)
2
(
P
ij
2
u
ij
ij
ij
ε
γµ
+
µε
+
λθδ
=
σ
 

 где введены операторы  

)
1(
t
P
2
β
α
−
+
∂
∂

β

α
=
, 
 

β
α
−
∂
∂

β

α
=
t
p
2
, 

действующие на функцию 
)t(
f
 по правилу  

f)
1(
f
Pf
t
2
β
α
−
+
β

α
=
,  
f
f
pf
t
2
β
α
−
β

α
=
. 

Вычислим компоненты девиатора деформаций: 

 

)
u
2
r
u
2
2
1
(
3
1
u
3
2
1
)
u
r
u
(
2
1
u
3
e
2
xx

2
2
2
x

2

x
2
xx
2
2
2
x
x
11
11
ν
+
ν
+
−
ν
−
−
ν
+
+
=
θ
−
ε
=

 

)
u
2
r
u
2
2
1
(
3
1
u
3
2
1
u
2
u
3
e
e
2
xx

2
2
2
x

2

x
2
x

2

x
22
33
22
ν
+
ν
+
−
ν
−
−
ν
+
ν
−
=
θ
−
ε
=
=
 

xx
x

2

xx
12
12
u
u
2

y
u
2
y
e
ν
+
ν
−
=
ε
=